东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2025届高三下学期第二次联合模拟考试数学试题（图片版，含答案）

哈尔滨师大附中
2025 年高三第二次联合模拟考试
C. (a 2b) b =1 D. (a 2b) b = 1
东 北 师 大 附 中 f (x) = e|x+1 m|6.已知函数 满足 f (1 x) = f (x 1)，则（ ）
数 学
辽宁省实验中学 A. f (x) f (m) B. f (x 1) f (m)
注意事项：
C.函数 f (x) x有 1个零点 D.函数 f (x) m有 1个零点
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如
7.已知数列 an 满足a1 = 3,an+1 = an + 4 an +1+ 4，则an =（ ） 需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答
题卡上，写在本试卷上无效.
A.a = 2n+1 B.a = 2n C.an = 4n
2 1
n n D.an = 4n+1 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
2
第Ⅰ卷（选择题共 58 分） x x, x 0,
8.已知函数 f (x) = 若x1, x2 R, x1 x2 ,则（ ）
x ln x, x 0,
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求. x + x
A. f ( 1 2
f (x1)+ f (x) 2
)
2 2 2
1.已知集合 A={x | x 1 0}，B ={x Z | x 4}，则 A B =（ ）
1
B.当 x x 时， (x x )[ f (x ) f (x )] 0 1 2 1 2 1 2
2
A.{ 2, 1,0,1,2} B.{ 2, 1,0,2} C.{ 2, 1,0} D.{ 1,0,2}
C.当 f (x1) = f (x2 )时， x1 + x2 1
i(1+ i)
2.若 z = ，则（ ）
1 i
D.当 f ( x1)+ f (x1) = 0, f ( x2)+ f (x2) = 0时， x1 0 x2
z
A. z + z = 0 B. z z = 0 C. z z = 1 D. = i 二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合
z
题目要求,全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.下列说法中正确的是（ ）
3.已知直线 x 2y+1= 0与圆 (x 2)2 + (y +1)2 = a2 相切，则正实数 a 的值为( )
A.数据 1，2，5，7，8，9，11，15的上四分位数是 10
3 5 2 5 5
A. 5 B. C. D. B.设样本数据 x1, x2 , , xn 的方差为 5，则2x1 +m, 2x2 +m, , 2xn +m的标准差为 20
5 5 5
C.随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有 1～6 共六个数字，记事件 A＝“骰子
4.某同学测得连续 7天的最低气温（均为整数）分别为 6,1, 2,t,2,1,5（单位：℃），若这组数据的平 向上的点数是奇数”，事件 B＝“骰子向上的点数是 2或 3”，则事件 A与事件 B是相互独立事件
均数与中位数相等，则 t = ( )
1 n
D.在二项式 (x ) 的展开式中, 若只有第 4项的二项式系数最大，则各项系数和是 64
A. 5 B.6 C.10 D.11 2 x
5.已知向量a,b满足a = (1,0),| b |=| 2a b |，则下列结论一定成立的是（ ） 10. 已知函数 f (x) = 2sin x+cos x, 若x0 ( , ),且f (x) f (x0) ，则下列说法正确的是（ ）
A. (a 2b) a = 1 B. (a 2b) a =1 A.函数 f (x x0 )为偶函数 B.函数 f (x + x0 )为偶函数
数学试卷 第1页 （共 3 页）
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四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
C. f (x) f (x0 ) D.区间 (0, x0 + )上 f (x)单调递减
15.（满分 13分）已知函数 f (x) = a ln x x + a4 (a R)．
11.如图，四棱锥 S ABCD的外接球球心为点O ,且底面 ABCD为正方形, SA⊥平面 ABCD，
AB = 3, SC = 2 3 .若点M 为 SD上靠近点D的三等分点，点P,Q分别为线段SC 与平面 SAB上的 （1）当a = 2时，求曲线 y = f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
点，则PM +PQ最小时，下列说法正确的是（ ） S （2）若 f (x)有极大值，且极大值大于0 ，求实数a 的取值范围.
A.OM ⊥ SC
B.点P为线段 SC 的中点
C.平面MPQ截四棱锥 S ABCD
M
所得的截面是直角梯形
A D
6 1
D.三棱锥 S AMQ的体积为 B C 16.（满分 15分）已知锐角 ABC ，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a = 3 ， 3 cos B+ b = c .
3 2
第Ⅱ卷（非选择题共 92 分） （1）求 A；
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
2b2 + c2
（2）求 的取值范围.
12. 5(1+ x)(1+ 2x) 的展开式中 x3的系数为_________.（用数字作答） bc
x2 y2
13.已知双曲线 =1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1,F2 ，过F2且斜率为 3 的直线 l 交双
a2 b2
曲线右支于点A （在第一象限）， AF1F2 的内心为 I，直线AI交 x 轴于点P，且 | AI |= 2| IP |，则双
4
曲线的离心率为_________. 17.（满分 15分）如图，四棱锥P ABCD的体积为 ，底面 ABCD为平行四边形，PA⊥底面 ABCD，
3
14.图 1 所示几何体是一个星形正多面体,称为星形十二面体,是由 6 对(12 个)平行五角星面组成的,每
对平行五角星面角度关系如图 2 所示.一个星形十二面体有_________个星芒(凸起的正五棱锥),将所有 PBC的面积为 2 ．
的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是_________.
（1）求点 A到平面PBC 的距离；
2 5 （2）设 AP = AB，二面角 A PB C 为90 ，求直线 PD与平面PBC 所成角的正弦值.
(参考数据: tan2 18 =1 )
5 P
A
B
图 1 图 2 D
C
数学试卷 第2页 （共 3 页）
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18.（满分 17分）某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最 19.（满分 17分）已知抛物线C : y2 = 4x，焦点为 F0 . 抛物线上有一点 P1(x1, y1)(x1 1, y1 0) ，直线 F0 P1
后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是52.28%，至冬季结束仍然有95% 的居民未接种疫苗，这
与抛物线的另一个交点为 P0 . 按照如下方式依次构造点 F2k 1 ， P2k ， P2k +1， F2k (k =1,2,3, )，过 P2k 1作
些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为55% .
x 轴的垂线，垂足为 F2k 1 ，垂线与抛物线C 的另一个交点为 P2k . 作直线 P C2k 2F2k 1 ，与抛物线 的另一
（1）现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率；
个交点为 P2k +1，直线 P2k P2k+1 与 x 轴的交点为 F2k . 记Pn (xn , yn )，Fn (mn ,0)，m1 = m ， (n = 0,1,2, ).
k
（2）已知泊松分布的概率分布列为 P(X = k) = e (k = 0,1,2, ) ，其中 e为自然对数的底数， 是泊松
k !
（1）若 P (2,2 2)，求m1 0 ，m1 ，m2 ，m3 ；
分布的均值．若随机变量 X 服从二项分布，当 n 100 且 p 0.01时，二项分布近似于泊松分布，其中
（2）求证：数列{mn}是等比数列，并用m表示数列{mn}的通项公式；
e np (np)i
= np ，即 X B(n, p), P(X = i) = (i N ) .现从该地区接种疫苗的人群中随机抽取 1000人， （3）对任意的正整数 k ， P2k 2P2k 1F2k 1与 F2k 1P2k P2k+1 的面积之比是否为定值？若是，请用m表示这个
i!
定值；若不是，请说明理由.
按上述泊松分布近似计算：
①求 1000人中流感的患病率小于 0.3% 的概率约为多少；
②设 1000人中患流感的人数为 X ,求使得 P(X = i)最大时的 X 值.
（参考数据：e 6 0.0025）
数学试卷 第3页 （共 3 页）
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三校二模答案
一、单选题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B A D C D
二、多选题答案
题号 9 10 11
答案 AC BCD AC
三、填空题
5
12、120 13、 14、12、1: 5
4
四、解答题
15、（满分 13 分）
a
解：（1） f (x)的定义域为 (0, )， f '(x) 1
x
2
当 a 2时， f (1) 15， f (x) 1，故 f (1) 1． 2'
x
曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y f (1) f (1)(x 1)，即 y x 14． 4'
a a x
（2） f (x) 1
x x
①当 a 0时， f '(x) 0 ，则 f (x)在 (0, )单调递减，无极值 6'
②当 a 0时，0 x a 时， f '(x) 0； x a时， f '(x) 0
f (x)的增区间为 (0,a)； f (x)的减区间为 (a, )
所以， f (x) 取极大值 f (a) a(ln a 1 a3)， 8'
所以， f (a) 0 lna 1 a3 0
1
设 g(a) ln a 1 a3 (a 0)，则 g '(a) 3a2 0，则 g(a)在 (0, )单调递增，
a
又 g(1) 0 ，则 g(a) 0的 a的取值范围为 (1, )． 13'
16、（满分 15 分）
1
解：（1）由题意得： acos B b c
2
1
由正弦定理得： sin Acos B sin B sinC sin(A B) 2'
2
1
sin Acos B sin B sin Acos B cos Asin B 4'
2
1
所以， sin B cos Asin B， A、B (0, )，则sin B 0
2
1
所以， cos A ，即： A . 6'
2 3

0 C 0 C
（2） 锐角 ABC中， 2 2 C 8'
2 6 20 B 0 C
2 3 2
1
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1 3
sin(C ) sinC cosC
b sin B 3 2 2 1 3 10'
c sinC sinC sinC 2 2 tanC
1 1
又 tan C ，则 0 3
3 tan C
b 1
所以， 的取值范围为 ( , 2) 12'
c 2
2b2 c2 2b c 1 1
又 ，所以，设 f (t) 2t , t ( ,2)
bc c b t 2
2 2
2 2(t )(t )1 2t 1
f '(t) 2 2 2
t2 t2 t2
1 2 2
所以， f (t)在 ( , ) 递减， ( , 2) 递增
2 2 2
9 2b2 c2 9
f (t)的取值范围为[2 2, ) ，即： 的取值范围为[2 2, ) . 15'
2 bc 2
17、（满分 15 分）
解：（1）在四棱锥P ABCD中，设点 A 到平面PBC 的距离为 h.
1 2 1 1 2
则VA PBC S PBC h h VP ABC S ABC AP VP ABCD ， 2'
3 3 3 2 3
解得h 2 ，
所以点 A 到平面PBC 的距离为 2 ； 4'
（2）如图，取PB的中点 E，连接 AE，因为 AP AB，所以 AE PB ,
又二面角 A PB C 为90 ，所以平面 APB 平面PBC ，
平面PAB 平面PBC

平面PAB 平面PBC PB
AE 平面PBC 6'
AE 平面PAB
AE PB
所以， AE BC
AP 平面 ABCD，由BC 平面 ABCD，可得 AP BC，
PA BC

AE BC
BC 平面PBA，即：BC AB
AE PA A
8'

AE、PA 平面PAB
建立如图所示空间直角坐标系 A xyz
由（1）得 AE 2 ，所以 AP AB 2，PB 2 2，所以BC 1
A(0,0,0), P(0,0,2), B(2,0,0),C(2,1,0), D(0,1,0)

则PD 0,1, 2 ，PB 2,0, 2 , BC 0,1,0 10'

n PB 2x 2z 0
设平面 PBC 的一个法向量n x, y, z ，则 ，可取n 1,0,1 ， 12'
n BC y 0
2
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设 PD与平面PBC 所成角为 ，

| PD n | 2 10
则 sin | cos PD,n | 14'
PD n 5 2 5
所以直线PD与平面PBC 所成角的正弦值为 10 . 15'
5
18、（满分 17 分）
（1）记：事件 A “患流感”，事件 A “未患流感”， P(A) 0.5228
事件 B “接种疫苗”，事件 B “未接种疫苗”，则 P(A | B) 0.55 2'
由已知可得： A AB AB
P(A) P(AB) P(AB) P(A | B)P(B) P(A | B)P(B)
P(A | B) 0.006
即现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，这人患病的概率为 0.006． 4'
（2）由已知：当 n 100且 p 0.01时，二项分布近似于泊松分布
np 6,1000 0.3% 3，
设 1000 人中患流感的人数为Y 人，则Y 0,1,2
P(Y 0) e 6，
P(Y 1) 6e 6 ，
P(Y 2) 18e 6 7'
P(Y 3) e 6 6e 6 18e 6 0.0625 1 0 '
e 6 6i 1 e 6 6i
（3）由题意得：， P(X i 1) ， P(X i)
(i 1)! i!
P(X i 1) 6i 1 i! 6
所以， 12'
P(X i) (i 1)! 6i i 1
P(X i 1)
①当 i 5时， 1 , P(X i)随 i 的增大而增大
P(X i)
P(X i 1)
②当 i 5 时, 1， P(X i)随 i 的增大而减小
P(X i)
P(X i 1)
③当 i 5 时, 1，
P(X i)
所以， X 5或 X 6 时， P(X i)最大. 17'
3
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19、（满分 17 分）
解：（1）m0 1，F1(2,0) ，m1 2
2 1
直线P1F0 : x y 1，联立可得P 0 ( , 2)
4 2
3 2
直线P0F : x y 2，联立可得P3(8,4 2)，则F3(8,0)1
4
由 P3(8,4 2)，P2 (2, 2 2)，可得F2 (4,0)
综上可得：m0 1，m1 2，m2 4，m3 8 4'
（2）一方面，对任意的自然数 k ，都有直线P2k P2k 1过点F2k (m2k ,0)
设直线P2k P2k 1的方程为： x t2k y m2k
x t2k y m2k
y
2 4t2k y 4m2k 0 ，则 y2k y
2
2 2k 1
4m2k ， x2k x2k 1 m2k
y 4x
2
因为， x2k m2k 1, x2k 1 m2k 1，故m2k 1 m2k 1 m2k ……① 7'
另一方面，对任意的自然数 k ，都有直线P2k P2k 3过点F2k 1(m2k 1,0)
设直线P2k P2k 3的方程为： x n2k y m2k 1
x n2k y m2k 1 2 2
y 4n y 4m2 2k 2k 1 0，则 y2k y2k 3 4m2k 1， x2k x2k 3 m2k 1
y 4x
2 m2k 3 m因为， x 2k 12k m2k 1, x2k 3 m2k 3，故m2k 1 m2k 3 m2k 1 ……② 10'
m2k 1 m2k 1
由①得：m 2 22k 1 m2k 1 m2k m2k 1 m2k 3 m2k 2
2 2 2
两式相乘得：m2k 1 m2k 1 m2k 3 m2k m2k 2 ......③
4 2 2 2
把②带入③，得：m2k 1 m2k m2k 2 m2k 1 m2k m2k 2，
4
{#{QQABRYAgxgKYgBaACY4KBw2wCEoQkIMiLWoMQQCUuAQLwBFIBIA=}#}
m
即： 2k 2
m
2k 1
m2k 1 m2k
m
综上可得：递推知数列{mn}是等比数列，且公比为
1 m .
m0
又m0 1
n
，故mn m (n 0,1,2,3, ) . 13'
（3）对任意的自然数 k
1
S | F2k 1P2k 1 | | F2k 1P2k | sin P2k 1F2k 1P2k P | F2k P2k 1F2k 1 2 2k 1
F2k 1 |
S 1 P P F | F2k 3F2k 1 |2k 2 2k 3 2k 1 | F2k 1P2k 3 | | F2k 1P2k 2 | sin P2k 2F2k 1P2k 3
2
m2k 1 m2k 1 m2k 1 m2k 1 1
17'
m2k 3 m2k 1 m2 (m2k 1 m2k 1) m2
另解：
1 1
S (m m ) | y y | m2k 2 P2k 2P2k 1F2k 1 2k 1 2k 2 2k 1 2k 2 (m 1)(y2k 1 y2k 2)2 2
1
m2k 2 (m 1)(2 x2k 1 2 x
2k 2
2k 2 ) m (m 1)( x2k 1 x2k 2 )
2
m2k 2(m 1)( m2k 1 m2k 3 )
1 1
S 2k 1 P2k P (m2k 1F2k 1 2k m2k 1) | y2k 1 y2k | m (m 1)(y2k 1 y2k )2 2
1
m2k 1(m 1)(2 x2k 1 2 x2k ) m
2k 1(m 1)( x x ) 2k 1 2k
2
m2k 1(m 1)( m2k 1 m2k 1 )
S m2k 2 (m 1)( m2k 1 m2k 3 P ) 1 1
因此， 2k 2
P2k 1F2k 1 所以，面积之比为定值 .
S m2k 1 P P F (m 1)( m
2k 1 m2k 1 ) m
2
m2
2k 2k 1 2k 1 ，
5
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