7.4.1 二项分布 教学课件(共38张PPT)高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

(共38张PPT)
7.4.1 二项分布
人教A版（2019）选择性必修三
素养目标
1.通过具体实例，了解伯努利试验与n重伯努利试验，提升逻辑推理能力（重点）
2. 掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题，提升数学运算能力（难点）
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考虑下面的事件：
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
（3）一批产品的次品率为 5%, 有放回地随机抽取20件.
这些事件有什么相同的特征？
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伯努利试验的概念
在实际问题中, 有许多随机试验与郑硬币试验具有相同的特征, 它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等. 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
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n重伯努利试验的概念
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
（1）同一个伯努利试验重复做n次；
（2）各次试验的结果相互独立.
重复意味着各次试验成功的概念相同
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思考一下：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验 如果是, 那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义 "成功" 的事件为A ，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
（3）一批产品的次品率为 5%, 有放回地随机抽取20件.
随机试验 是否为n重伯努利试验 伯努利试验 P(A) 重复试验的次数
1 是 抛掷一枚质地均匀的硬币 0.5 10
2 是 某飞碟运动员进行射击 0.8 3
3 是 从一批产品中随机抽取一件 0.95 20
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思考一下：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1,2,3) ，用如图的树状图表示试验的可能结果.
3
2
2
1
2
1
1
0
试验结果 X的值
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由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得
思考一下：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
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思考一下：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.82×0.2，并且与哪两次中靶无关.
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思考一下：如果连续射击 4 次, 类比上面的分析, 表示中靶次数X等于 2 的结果有哪些 写出中靶次数X的分布列？
表示中靶次数X等于2的结果有：
中靶次数X的分布列为
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二项分布的概念
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p) .
由二项式定理，容易得到
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例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
分析:抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验.因此，正面朝上的次数服从二项分布.
设A= “正面朝上”，则P(A)=0.5.用X表示事件A发生的次数，则X~B(10,0.5) .
恰好出现5次正面朝上等价于X=5 ，于是
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（2）正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.
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例2 图中是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2,..,10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
分析:小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果.设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5.在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验.小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X服从二项分布.
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设A=”向右下落”，则=“向左下落”，则P(A)=P()=0.5.
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X~B(10，0.5)，于是X的分布列为
X的概率分布图如图所示：
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例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
分析:判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大.可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.
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解法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0，3:1或3:2 .因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
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解法二：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则 X~B(3,0.6). 甲最终获胜的概率为
采用 5局3胜制，不妨设赛满5局，用 X 表示5局比赛中甲胜的局数, 则X~B(5,0.6). 甲最终获胜的概率为
因为 p2>p1, 所以5局3胜制对甲有利. 实际上, 比赛局数越多, 对实力较强者越有利.
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思考一下：为什么假定赛满3局或5局，不满足甲最终获胜的概率？
从比分上看: 3 局 2 胜的比分应为2:0 或2:1, 对 " 2:0 ", 若设赛满3局, 则第3局甲无论胜、负总体都是甲胜, 故这个 " 2:0 " 可分为 " 3:0 " 与 "2: 1" 两种情况; 对 " 2:1 "本身就赛满 3 局, 故p1=P(X=2)+P(X =3).
从甲获胜对应的概率值上看: 2:0对应概率 0.62=(0.6+0.4) ×0.62=0.63+0.62×0.4,
2:1 对应概率为
对5局3胜可定赛满5局与此类似.
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归纳：一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
1.明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
2.确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
3.设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p) .
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思考一下：假设随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么X的均值和方差各是什么？
我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5=50次正面朝上.根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X，我们猜想E(X) =np.
先考察n较小的情况.
（1）当n=1时，X服从两点分布，分布列为 P(X=0)=1-p,P(X=1)=p.均值和方差分别为 E(X)=p,D(X)=p(1-p).
（2）当n=2时，X的分布列为P(X=0)=(1-p)2, P(X=1)=2p(1-p),P(X=2)=p2.均值和方差分别为E(X)=0×(1-p)2+1×2p(1-p)+2×p2=2p,D(X)=02×(1-p)2+12×2p(1-p)+22×p2-(2p)2=2p(1-p).
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归纳：对均值进行证明：
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归纳：对方差进行证明：
又
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归纳：对方差进行证明：
因此 D(X)=n(n-1)p2+np-(np)2=np-np2=np(1-p)
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思考一下：二项分布在实际问题中有什么应用？
二项分布的应用非常广泛.
例如，生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二项分布为基础的；参加某保险人群中发生保险事故的人数，试制药品治愈某种疾病的人数，感染某种病毒的家禽数等，都可以用二项分布来描述.
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D
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C
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C
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D
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B
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总结一下
1.伯努利试验
2.n重伯努利试验
3.二项分布
4.二项分布的均值与方差
感谢同学们观看