7.3.1 离散型随机变量的均值 教学课件(共36张PPT)高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

(共36张PPT)
7.3.1 离散型随机变量的均值
人教A版（2019）选择性必修三
素养目标
1.通过实例理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单随机变量的均值，提升数学计算能力（重点）
2.理解离散型随机变量的均值的性质，提升逻辑推理能力（难点）
3.掌握两点分布的均值，提升逻辑推理能力（重点）
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思考一下：比较不同班级某次考试成绩,根据前面的学习，要比较什么数值？
通常会比较平均成绩
因此，类似于研究一组数据的均值，我们也可以研究离散型随机变量的均值.
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甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
思考一下：如何比较他们射箭水平的高低呢？
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类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.
甲n次射箭射中的平均环数为
即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
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离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
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例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
分析: 罚球有命中和不中两种可能结果, 命中时 X=1, 不中时 X=0, 因此随机变量 X 服从两点分布. X 的均值反映了该运动员罚球 1 次的平均得分水平.
因为
所以
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
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两点分布的均值
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
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例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.
X的分布列为
因此，
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观察一下：掷一枚质地均匀的骰子, 掷出的点数 X 的均值为3.5 . 随机模拟这个试验, 重复 60 次和重复 300 次各做 6 次, 观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数 （样本均值）绘制统计图，分别如图（1）和（2）所示.
（1）
（2）
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思考一下：观察图形，在两组试验中, 随机变量的均值与样本均值有何联系与区别
观察上图可以发现: 在这 12 组掷骰子试验中, 样本均值各不相同, 但它们都在掷出点数 X 的均值 3.5 附近波动, 且重复掷 300 次的样本均值波动幅度明显小于重复 60 次的.
总结：事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
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拓展：随机变量的均值与样本均值的关系
随机变量的均值是一个常数, 它不依赖于样本的抽取. 在大量的试验下,它总是稳定的，不具有随机性，而样本均值是一个随机变量，它随着样本抽取的不同而不同.对于简单的随机抽样，随着样本容量的增加，样本均值越来越接近于总体的均值.
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探究一下：如果 X 是一个离散型随机变量, X 加一个常数或乘一个常数后, 其均值会怎样变化 即 E(X+b) 和 E(aX) (其中 a,b 为常数) 分别与 E(X) 有怎样的关系
设X的分布列为
根据随机变量均值的定义，
P(X=xi )=pi,i=1,2, ,n
E(X+b)=(x1+b) p1+(x2+b) p2+ +(xn+b) pn
=(x1 p1+x2 p2+ +xn pn )+b(p1+p2+ +pn )
=E(X)+b
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类似地，可以证明
E(aX)=aE(X)
一般地，下面的结论成立：
E(aX+b)=aE(X)+b
对于上面结论的证明：设X的分布列为P（X=xi）=pi,i=1,2, ,n
则P(aX=axi )=pi,i=1,2, ,n,
所以E(aX)=ax1 p1+ax2 p2+ +axn pn
=a(x1 p1+x2 p2+ +xn pn )=aE(X)
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例 3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名. 某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲 A，B，C 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金/元 1000 2000 3000
规则如下: 按照 A,B,C 的顺序猜, 只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额 X 的分布列及均值.
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分析：根据规则，公益基金总额 X 的可能取值有四种情况：猜错 A ，获得 0 元基金;猜对 A 而猜错 B ，获得1000元基金；猜对 A 和 B 而猜错 C ，获得 3000 元基金；A，B， C 全部猜对，获得 6000 元基金.因此 X 是一个离散型随机变量. 利用独立条件下的乘法公式可求分布列.
分别用 A,B,C 表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则 A,B,C 相互独立.
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X 的分布列如表所示.
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
X 的均值为
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思考一下：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同 如果不同, 你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大
不同
若按 A,C,B 的顺序, 则 X 的均值 E(X)=2144;
若按 B,C,A 的顺序, 则 X 的均值 E(X) =2112;
若按 C, A, B 的顺序, 则 X的均值 E(X)=1904;
若按 C,B,A的顺序, 则 X 的均值 E(X)=1872.
显然, 按 A,B,C 的顺序获得的公益基金均值最大.
若按 B,A,C 的顺序, 则 X 的均值E(X)=2256;
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例3 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3 不采取措施.
工地的领导该如何决策呢？
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分析：决策目标为总损失 (投入费用与设备损失之和) 越小越好. 根据题意, 各种方案在不同状态下的总损失如表所示.
天气状况 概率 大洪水 小洪水 没有洪水
0.01 0.25 0.74
总损失/元 方案1 3800 3800 3800
方案2 62000 2000 2000
方案3 60000 10000 0
方案 2 和方案 3 的总损失都是随机变量, 可以采用期望总损失最小的方案.
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设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3 .
采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元.因此，P(X1=3800)=1.
采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元.因此，
P(X2=62000)=0.01，P(X2=2000)=0.99.
采用方案3，
P(X3=60000)=0.01，P(X3=10000)=0.25，P(X3=0)=0.74.
于是，
E(X1)=3800，E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600，
E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.
因此，从期望损失最小的角度来看，应采取方案2
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值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小.不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.
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A
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D
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A
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总结一下
1.离散型随机变量的均值
2.两点分布的均值
3.均值的性质
感谢同学们观看