高一下期中模拟提升卷（含解析）

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高一下期中1-3章模拟提升卷
一、单选题
1． 在中，为的中点，为的中点，设，，则（　　）
A． B． C． D．
2．下列命题中正确的命题是（　　）
A．若复数满足，则
B．若复数满足，则
C．若复数，满足，则
D．若复数，满足，则
3．在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（　　）
A． B．或 C． D．
4．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．已知平面向量，，，满足，则的最小值是（　　）
A．0 B．3 C． D．2
6．已知矩形 ， ，E，F分别为 ， 的中点，将四边形 沿 折起，使 ，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，
且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，正方体的棱长为1，E，F，G，H分别是所在棱上的动点，且满足，则以下四个结论正确的是（　　）
A．E，F，G，H四点一定共面
B．若四边形EFGH为矩形，则GH=CF
C．若四边形EFGH为菱形，则E，F一定为所在棱的中点
D．若四边形EFGH为菱形，则四边形周长的取值范围为
11．已知对任意角α，β均有公式sin2α+sin2β＝2sin（α+β）cos（α﹣β）．设△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）＝sin（C﹣A﹣B），面积S满足1≤S≤2．记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．bc（b+c）＞8
三、填空题
12．已知平面向量 ， ， ， ， ，则 　 　.
13．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是　 　．
①直线与直线相交；
②当时，为四边形；
③当为的中点时，平面截正方体所得的截面面积为；
④当时，截面与，分别交于，则．
14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则　 　；为线段上的动点，为中点，则的最小值为　 　．
四、解答题
15．如图，在中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点．
（1）求；
（2）求．
（3）用和表示．
16．在锐角中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，.
（1）求角A；
（2）设AD是角A的平分线，与BC边交于D，若，，求b，c；
（3）若，求面积的取值范围.
17．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面平面.
（2）求证：在棱上存在一点，使得平面平面.
（3）求三棱锥的体积.
18．已知函数的部分图象如图所示，
（1）求的解析式；
（2）已知在的值域为，求的取值范围；
（3）将图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变），再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象.已知关于的方程在内有两个不同的解.
①求实数的取值范围；
②求的值.（用表示）
19．若是定义在上的增函数，其中，存在函数，，且函数图像上存在两点，图像上存在两点，其中两点横坐标相等，两点横坐标相等，且，则称在上可以对进行“型平行追逐”，即是在上的“型平行追逐函数”. 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数．
（1）求满足的的值；
（2）设函数，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数是在上的“型平行追逐函数”，求正数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：因为为的中点，为的中点，
所以，
又因为，，
所以.
故答案为：C
【分析】本题考查平面向量基本定理.根据向量的加法运算可得：，再利用向量的加法运算表示出可求出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】对于A，设复数，则，
所以恒成立，则，A不正确；
对于B，设复数，则，若，则，
所以，则，故或，则复数是纯虚数或实数，B不正确；
对于C，设复数，若，即，
所以，整理得，
所以，C符合题意；
对于D，设复数，
若，则，整理得，
而可得，所以D不正确.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系、复数的运算法则、复数为实数的判断方法、复数求模公式，复数相等的判断方法，进而找出真命题的选项。
3．【答案】B
4．【答案】A
【解析】【解答】解：设向量与的夹角为，因为，，
所以，
所以，又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用向量，数量积为零计算求夹角即可.
5．【答案】D
6．【答案】D
【解析】【解答】折起的如图所示，
其中 ， 分别为正方形 和 的中心，
O为过A，B，C，D，E，F六点的球的球心，G为 中点，
则 ， 分别垂直于这两个平面，且 ，
所以 ，
而 ，
所以 ，
所以球的表面积为 ．
故答案为：D.
【分析】根据已知条件画出示意图，求出球的半径即可求解结论．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知设点到平面EFG的距离为d，
而，
由得出解得，
棱长为6的正方体的内切球的半径为3，棱长为6的正方体的对角线的长度为，
因为所以，所求球形体积最大时，即为棱长为6的正方体的内切球，
则该球形饰品的体积的最大值为。
故答案为：B.
【分析】利用等体积法求出点到平面EFG的距离，说明所求球形体积最大时，即为棱长为6的正方体的内切球，再根据球的体积公式得出该球形饰品的体积的最大值。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：由余弦定理得，，
整理得，可知.
设，则（），，
设，配方得，
故，，
故时，.
故答案为：D.
【分析】利用余弦定理求出和角A，设，根据向量的数量积的定义将待求表达式转化为关于的二次函数，求值域即可.
9．【答案】A,D
【解析】【解答】对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，
，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】 利用平面向量的和差关系，以及平面向量数量积的运算公式逐一分析即可．
10．【答案】A,D
【解析】【解答】对于A：连接交于点，为正方体的中心，
由棱长为，且，可得，
可知交于点，交于点，即交于点，
所以四点一定共面，故A正确；
对于B：若四边形为矩形，可知或，故B错误；
对于C：若四边形为菱形，则，
可知必有一定为所在棱的中点或一定为所在棱的中点，故C错误；
对于D：若四边形为菱形，
当都为各边中点时，四边形周长最小为；
当为所在棱的中点，且分别和重合时，菱形周长最大，
此时边长为，即周长为，
所以四边形的取值范围为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】对于A：连接交于点，可得，分析可知交于点，即可得结果；对于B：根据题意可知或，即可得结果；对于C：分析可知，即可得结果；对于D：取临界点，运算求解即可.
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：A、因为，所以原式，
转化为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故，所以，故A正确；
B、设外接圆的半径为，由正弦定理可得，
所以，
所以，所以，故B错误；
C、由B选项，可得，故C正确；
D、因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用诱导公式、两角和与差的的余弦公式、正弦定理和三角形的面积公式，结合不等式的性质逐项判断即可.
12．【答案】
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，
.
故答案为：
【分析】根据 ，得到 ，两边平方求得 ，再由 求解即可.
13．【答案】②③④
【解析】【解答】解：①，因为为线段上的动点，所以平面，由正方体可知平面，所以直线与直线不可能相交，故①错误；
②，当时，截面S与正方体的另一个交点落在线段上，如图所示：
所以截面为四边形 ；
又面，故//面，故②正确；
③，连接，如下所示：
因为为的中点，为的中点，
则，所以面即为平面截正方体所得截面；
在和中，
又，故该截面为等腰梯形，
又，，
故截面面积，故③正确；
④，当时，延长至，使，
连接交于，连接交于连接，
取的中点，上一点，使，连接，
如图所示：
因为且，且，
所以且，所以四边形是平行四边形，则，
由，，所以，
则为中点，则，所以，
又，
可得，
所以，
则在中，故④正确；
故答案为：②③④.
【分析】①，先由正方体的性质可得平面，进而可知直线与直线不可能相交，即可判断；
②，由可得截面S与正方体的另一个交点落在线段上，即可判断；
③，由为的中点，为的中点，由勾股定理可得截面为等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求得截面面积，即可判断；
④，当时，延长至，使，连接交于，连接交于连接，取的中点，上一点，使，连接，可求得，再利用勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）求出，即可判断.
14．【答案】；
【解析】【解答】解：以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
，
因为，所以，则；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
【分析】以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，求向量的坐标由题意，即可求的值；设，由题意结合向量的数量积运算可得，即可求得的最小值.
15．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
16．【答案】（1）解：（法一：角化边）在锐角中，，
由余弦定理得，化简得，
可得，又，得.
（法二：边化角）在锐角中，，由正弦定理得，
即，
可得，
又，，得.
又，得.
（2）解：在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
因为AD是角A的平分线，故，
又，故，
所以，
设，，
在中，由余弦定理，有，
解得，，
所以，.
（3）解：，
由正弦定理，
得，
在锐角中，，，，
即，
可得，
则有，，，，
即，得，
所以面积的取值范围为.
【解析】【分析】（1）法一：由余弦定理将角化边得，再用余弦定理计算即可；法二：利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算；
（2）利用正弦定理及角平分线的性质得到，设，，在中利用余弦定理求出即可；
（3）求出，再利用正弦定理得到，再根据的范围及正切函数的性质计算可即可.
17．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，
因为⊥平面，面，所以，
又因为，，
所以面.又因为面，
所以平面平面
（2）证明：为的中点，证明如下：
取中点，连接，，
因为为的中点，所以，
因为面，面，
所以面，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为面，面，所以面，
因为，所以面平面，
即存在的中点使得平面平面，
（3）解：在中，，，，可得：，
因为面，所以点到面的距离等于点到面的距离，
所以
因为面，所以
所以三棱锥的体积为.
【解析】【分析】（1） 在直三棱柱中，利用⊥平面结合线面垂直的定义，进而证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2）利用已知条件判断出 为的中点，证明如下：取中点，连接，，利用为的中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以面， 再利用，，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以面， 再利用线面平行证出面面平行，所以面平面，即存在的中点使得平面平面。
（3） 在中，，，，再结合勾股定理得出AB的长，再利用面，所以点到面的距离等于点到面的距离，所以，再利用面结合三棱锥的体积公式和等体积法，进而得出三棱锥的体积。
18．【答案】（1）解：由图象可知，，
所以，则，
所以，
因为，即，
因为，则，
所以，解得，
因此.
（2）解：因为，，
由题意可知在的值域为，
结合题中图象知，解得.
（3）解：①将图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变），
再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象，
则，其中，
因为，所以，所以，
又因为，所以是函数一个周期的区间．
所以若方程在内有两个不同的解，
只需，即即为所求．
②令，
因为于的方程在内有两个不同的解，
所以满足，
即，，
又因为的对称轴为，
结合得出对称轴为，
可知，关于对称轴对称，
所以，
所以或，
当时，
当时，
故．
【解析】【分析】（1）由余弦型函数的图象可得出函数的最小正周期，从而求得的值，由结合的取值范围，从而可求出的值，进而得出函数的解析式.
（2）利用函数的解析式结合代入法得出和的值，再利用余弦型函数的图象和性质，从而列式求解得出实数m的取值范围.
（3）①先将化简，再结合该函数在的单调性、最值情况，从而构造不等式求出实数的取值范围.
②可先根据两根关于对称轴对称求出的关系，再代入结合三角恒等变换公式，从而化简得出的值．
（1）由图象可知，，所以，则，
所以，
因为即，
因为，则，所以，解得，
因此；
（2），，
由题意在的值域为，结合题干图象知，
解得；
（3）①将图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变），
再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象，
则，其中，
因为，所以，所以，
又因为，所以是函数一个周期的区间．
所以若方程在内有两个不同的解，
只需，即即为所求．
②令，因为于的方程在内有两个不同的解，
所以满足，即，，
又的对称轴由，
结合得对称轴为，
可知，关于对称轴对称，所以，
所以或．
当时，
．
当时，
．
故．
19．【答案】（1）由于是奇函数，故，即恒成立，所以；
由于是偶函数，故，即恒成立，所以.
故，.
现要解方程，而，故命题等价于，即.
这是关于正实数的二次方程，解得，所以.

（2）由于，
而单调递增，且对有，故当时，的取值范围是.
从而命题等价于对任意的，有，即.
若，则有，故条件对不成立，不符合要求；
若，则对有，符合要求.
所以的取值范围是.
（3）我们有，.根据题目定义，是在上的“型平行追逐函数”，当且仅当存在，满足.
换言之，函数在上不是单调函数.
由于
，
而在上递增，取值范围为.
故命题等价于在上不是单调函数.
对，我们知道在上递减，在上递增.
所以命题等价于，从而正数的取值范围是.
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，函数的恒成立，函数的单调性.（1）根据是奇函数，利用函数的奇偶性可列出方程，解方程可求出a的值；根据是偶函数，利用偶函数的性质可列出方程，解方程可求出b的值，进而可求出的表达式，进而可将 转化为方程.，解方程可求出，进而可求出x的值；
（2）计算的表达式可得：，根据时，利用指数函数的性质可得：的取值范围是，据此可将问题转化为对任意的，有，即.分两种情况：若；若，讨论不等式是否成立，据此可求出实数n的取值范围；
（3）将命题转化为在上不是单调函数，通过化简可得：，再根据在上递增，取值范围为.故命题等价于在上不是单调函数.进而可得命题等价于，解不等式可求出正实数m的取值范围.
（1）由于是奇函数，故，即恒成立，所以；
由于是偶函数，故，即恒成立，所以.
故，.
现要解方程，而，故命题等价于，即.
这是关于正实数的二次方程，解得，所以.
（2）由于，
而单调递增，且对有，故当时，的取值范围是.
从而命题等价于对任意的，有，即.
若，则有，故条件对不成立，不符合要求；
若，则对有，符合要求.
所以的取值范围是.
（3）我们有，.
根据题目定义，是在上的“型平行追逐函数”，当且仅当存在，满足.
换言之，函数在上不是单调函数.
由于
，
而在上递增，取值范围为.
故命题等价于在上不是单调函数.
对，我们知道在上递减，在上递增.
所以命题等价于，从而正数的取值范围是.
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