【备考2025】中考数学真题2022-2024分类精编精练9三角形（含解析）

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【备考2025】中考数学真题2022-2024分类精编精练9三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．（2023·浙江金华·）如图，已知，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
2．（2022·浙江绍兴·）如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．75°
3．（2022·浙江湖州·）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．
4．（2022·浙江杭州·）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线
C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线
5．（2022·浙江台州·）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．（2022·浙江衢州·）线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·浙江衢州·）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）

A． B． C． D．
8．（2022·浙江金华·）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·浙江台州·）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．

A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2023·浙江衢州·）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·浙江杭州·）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．

12．（2023·浙江·）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．

13．（2022·浙江嘉兴·）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上 填上一个适当的条件．
14．（2022·浙江台州·）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为 ．
15．（2023·浙江·）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．

16．（2024·浙江·）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为

三、解答题
17．（2022·浙江衢州·）已知：如图，．求证：．
18．（2023·浙江湖州·）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长．
19．（2023·浙江宁波·）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．

(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的．
(2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的．
20．（2022·浙江温州·）如图，是的角平分线，，交于点E．
(1)求证：．
(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
21．（2023·浙江嘉兴·）如图，在菱形中，于点，于点，连接

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．（2023·浙江衢州·）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．

(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
23．（2023·浙江绍兴·）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．

(1)求证：．
(2)判断与是否垂直，并说明理由．
24．（2023·浙江绍兴·）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”．
(1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线．
(2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”．
(3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【考点】根据平行线判定与性质求角度、利用邻补角互补求角度
【分析】由可得，可得，再利用邻补角的含义可得答案．
解：如图，标记角，

∵，
∴，而，
∴，
∴；
故选C
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的含义，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键．
2．【考点】两直线平行内错角相等、三角板中角度计算问题
【分析】根据三角板的角度，可得，根据平行线的性质即可求解．
解：，
ACEF，
故选C
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
3．【考点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半、线段垂直平分线的性质
【分析】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据∠EBC＝45°，可得为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形面积公式即可求解．
解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
，
，
∠EBC＝45°，
，
为等腰直角三角形，
，
，
则△EBC的面积是．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
4．【考点】画三角形的高
【分析】根据高线的定义注意判断即可．
∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，
∴A错误，不符合题意；
∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，
∴B正确，符合题意；
∵ 线段AD是ACD的CD边上的高线，
∴C错误，不符合题意；
∵线段AD是ACD的CD边上的高线，
∴D错误，不符合题意；
故选B．
【点评】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．
5．【考点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．
6．【考点】确定第三边的取值范围
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，即可得出c的取值范围．
解：∵，
∴，
即：，
∴c的长度可能为3．
故选：A
【点评】本题考查三角形的三边和关系，属于基础题，熟练掌握三角形三边关系，得出第三边的取值范围是解题的关键．
7．【考点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
8．【考点】几何体展开图的认识、两点之间线段最短
【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；
解：∵AB为底面直径，
∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间，
∵两点之间线段最短，
故选： C．
【点评】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．
9．【考点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、判断命题真假、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论．
解：∵，
∴，
∵若，
又，
∴与满足“”的关系，无法证明全等，
因此无法得出，故A是假命题，
∵若，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故B是真命题；
若，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故C是真命题；
若，则在和中，
，
∴，
∴，故D是真命题；
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．
10．【考点】作角平分线(尺规作图)、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可．
根据题中所给的作图步骤可知，
是的角平分线，即．
当时，又，且，
所以，
所以，
故A选项不符合题意．
当时，
，
又，且，
所以，
所以，
故B选项不符合题意．
当时，
因为，，，
所以，
所以，
又，
所以，
即．
又，
所以，
则方法同（2）可得出，
故C选项不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
11．【考点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质
【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可．
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点评】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上考点．
12．【考点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】根据对顶角相等可得，再添加边相等，可利用或判定．
解：∵在与中，，，
∴添加，则；
或添加，则；
或添加，则；
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13．【考点】等边三角形的判定
【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．
解：添加，理由如下：
为等腰三角形，
，
为等边三角形，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理．
14．【考点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答．
解：∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴AB＝2EF＝20，
∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15．【考点】线段垂直平分线的性质、根据等角对等边求边长
【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得．
解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
16．【考点】根据等角对等边证明等腰三角形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出
解：∵D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：4
17．【考点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等三角形的性质
【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根据ASA证明△ACB≌△ACD，再根据全等三角形的性质即得结论．
解：∵，，，
∴，
∵ ，
∴△ACB≌△ACD，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACB≌△ACD是解本题的关键．
18．【考点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、三线合一
【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出的长，再根据勾股定理求得的长，最后根据条件可知是的中位线，求得的长．
解，∵，于点D，
∴．
∵，
∴．
∵于点D，
∴，
∴在中，．
∵，
∴，
∵E为AB的中点，
∴．
【点评】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
19．【考点】格点图中画等腰三角形、画旋转图形、平移(作图)
【分析】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可；
（2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可．
（1）解：如图，，即为所求作的三角形；

（2）如图，即为所求作的三角形，

【点评】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键．
20．【考点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可．
（1）证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
由（1）得，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
21．【考点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明
【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明．
（2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数．
（1）证明：菱形，
，
又，
．
在和中，
，
．
．
（2）解：菱形，
，
，
．
又，
．
由（1）知，
．
．
，
等边三角形．
．
【点评】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．
22．【考点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、用SSS间接证明三角形全等（SSS）
【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；
或者选择的条件为：①③④；
（2）证明：当选择的条件为①②③时，
，
，
即，
在和中，
，
；
当选择的条件为①③④时，
，
，
即，
在和中，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
23．【考点】证明四边形是矩形、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明
【分析】（1）由正方形的性质，得到，结合垂直于同一条直线的两条直线平行，可得，再根据平行线的性质解答即可；
（2）连接交于点，由证明，再根据全等三角形对应角相等得到，继而证明四边形为矩形，最后根据矩形的性质解答即可．
（1）解：在正方形中，
∴，
∴．
（2）与垂直，理由如下．
连接交于点．
∵为正方形的对角线，
∴，
又∵，
∴，
∴．
在正方形中，，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判断与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24．【考点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求一次函数解析式、点到直线的距离
【分析】本题是三角形综合题，考查了点到直线的距离、全等三角形的判定与性质，待定系数法，一次函数解析式与坐标轴的交点等知识．
（1）分别作，，垂足为E，F，利用证明，得到即可证明直线是点A、B的一条等距线；
（2）根据两点等距线的定义作图，连接中点与组成的直线或者过作的平行线即可；
（3）由可得A、B两点到直线的距离相等，再分两类进行讨论，由待定系数求出直线解析式即可求出点P的坐标．
（1）证明：分别过A，B两点作，垂足分别为E，F．
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
即直线是点A，B的一条等距线；
（2）如图，直线就是所有的直线，
（3）设直线的解析式为，
，
∴解得：
∴直线的解析式为．
，
两点到直线的距离相等，
∴或过中点，
如图，当时，可设直线的解析式为，代入得，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与坐标轴的交点为；
②当直线过中点时，
，
∴中点E的坐标为，
∴设直线的函数解析式为，
代入，得，解得：，
∴直线的函数解析式为，
∴直线与坐标轴的交点为．
综上所述，满足条件的点P的坐标为．
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