【备考2025】中考数学真题2022-2024分类精编精练2整式与因式分解（含解析）

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【备考2025】中考数学真题2022-2024分类精编精练2
整式与因式分解
一．选择题（共10小题）
1．（2022 嘉兴）计算a2 a＝（　　）
A．a B．3a C．2a2 D．a3
2．（2023 杭州）分解因式：4a2﹣1＝（　　）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
3．（2023 丽水）计算a2+2a2的正确结果是（　　）
A．2a2 B．2a4 C．3a2 D．3a4
4．（2024 浙江）下列式子运算正确的是（　　）
A．x3+x2＝x5 B．x3 x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x4
5．（2023 湖州）计算a3 a的结果是（　　）
A．a2 B．a3 C．a4 D．a5
6．（2023 绍兴）下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．（﹣a2）5＝﹣a7
C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 D．（a+1）2＝a2+1
7．（2022 温州）化简（﹣a）3 （﹣b）的结果是（　　）
A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a3b
8．（2021 温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（　　）
A．20a元 B．（20a+24）元
C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元
9．（2023 衢州）下列运算，结果正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．3a﹣2a＝1 C．a2 a3＝a5 D．a÷a2＝a
10．（2023 温州）化简a4 （﹣a）3的结果是（　　）
A．a12 B．﹣a12 C．a7 D．﹣a7
二．填空题（共10小题）
11．（2021 杭州）计算：2a+3a＝　 　 ．
12．（2021 绍兴）分解因式：x2+2x+1＝　 　 ．
13．（2023 丽水）分解因式：x2﹣9＝　 　 ．
14．（2023 湖州）计算：（a+1）（a﹣1）＝　 　 ．
15．（2021 浙江）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n个等式为2n﹣1＝　 　 ．
16．（2023 浙江）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：　 　 ．
17．（2019 台州）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 　 　 个．
18．（2022 嘉兴）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 　 　 （N）（用含n，k的代数式表示）．
19．（2023 丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 　 　 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 　 　 ．
20．（2023 金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面积为s（m2），现将边AB增加1m．
（1）如图1，若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 　 　 ．
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s（m2），则s的值是 　 　 ．
三．解答题（共6小题）
21．（2023 宁波）计算：
（1）（1）0+|﹣2|．
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
22．（2023 浙江）（1）解不等式：2x﹣3＞x+1．
（2）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．
23．（2023 金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
24．（2023 浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
25．（2022 金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？
26．（2022 嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ 　 　 ；
…
（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
一．选择题（共10小题）
1．【考点】同底数幂的乘法
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可解决问题．
解：原式＝a1+2＝a3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂乘法，解决本题的关键是掌握同底数幂乘法法则．
2．【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12
＝（2a﹣1）（2a+1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
3．【考点】合并同类项
【分析】根据合并同类项法则进行计算即可．
解：a2+2a2
＝（1+2）a2
＝3a2，
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项法则，能熟记合并同类项法则是解此题的关键，把同类项的系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
4．【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可．
解：A．x3+x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；
B．x3 x2＝x5，故本选项不符合题意；
C．（x3）2＝x6，故本选项不符合题意；
D．x6÷x2＝x4，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．【考点】同底数幂的乘法
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
解：a3 a＝a3+1＝a4，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
6．【考点】整式的混合运算
【分析】直接利用整式的混合运算法则分别判断得出答案．
解：A．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；
B．（﹣a2）5＝﹣a10，故此选项不合题意；
C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，故此选项符合题意；
D．（a+1）2＝a2+2a+1，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．【考点】单项式乘单项式
【分析】先化简乘方，再根据单项式乘单项式的法则计算即可．
解：原式＝﹣a3 （﹣b）
＝a3b．
故选：D．
【点评】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
8．【考点】列代数式
【分析】应缴水费＝17立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费．
解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）．
故选：D．
【点评】此题考查列代数式，掌握收费的分段以及总费用的求法是解决问题的关键．
9．【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法
【分析】根据同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则及合并同类项法则即可解决问题．
解：因为3a+2a＝5a，所以A选项错误．
因为3a﹣2a＝a，所以B选项错误．
因为a2 a3＝a2+3＝a5，所以C选项正确．
因为a÷a2＝a1﹣2＝a﹣1，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的运算及合并同类项，熟知同底数幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．
10．【考点】同底数幂的乘法
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
解：a4 （﹣a）3＝﹣a7．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二．填空题（共10小题）
11．【考点】合并同类项
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解．
解：2a+3a＝5a，
故答案为：5a．
【点评】本题考查了合并同类项的法则，解题时牢记法则是关键．
12．【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解．
解：x2+2x+1＝（x+1）2．
故答案为：（x+1）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．
（1）三项式；
（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；
（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）．
13．【考点】因式分解﹣运用公式法；平方差公式
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
14．【考点】平方差公式
【分析】直接利用平方差公式进行计算即可．
解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，
故答案为：a2﹣1．
【点评】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式．
15．【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据题目中的式子可以发现：等号左边是一些连续的奇数，从1开始；等号右边第一个数是和左边是第几个奇数一样，然后写出这个数的平方即可，第二个数比第一个数少1，然后即可这个数的平方，等号右边是两个数的平方作差，从而可以写出第n个等式．
解：∵1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，
∴第n个等式为2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，
故答案为：n2﹣（n﹣1）2．
【点评】本题考查数字的变化类，发现式子的变化特点是解答本题的关键．
16．【考点】因式分解的应用
【分析】根据题意，可以写出分解因式中含有（x+1）的一个多项式，本题答案不唯一，符合题意即可．
解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），
∴符合条件的一个多项式是x2﹣1，
故答案为：x2﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的一个多项式．
17．【考点】规律型：数字的变化类
【分析】求出第一次编号中砸碎3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，再求第二次编号中砸碎的3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，依次推理便可得到操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”总个数．
解：∵210÷3＝70，
∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210﹣70＝140个金蛋，重新编号为1，2，3，…，140；
∵140÷3＝46…2，
∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140﹣46＝94个金蛋，重新编号为1，2，3，…，94；
∵94÷3＝31…1，
∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94﹣31＝63个金蛋，
∵63＜66，
∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确得出每次砸掉的和余下的金蛋个数是解题关键．
18．【考点】列代数式
【分析】根据“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”分别列式，从而代入计算．
解：如图，设装有大象的铁笼重力为a N，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤的度数为k′，
由题意可得BP k＝PA a，B′P k′＝PA a，
∴BP k＝B′P k′，
又∵B′P＝nBP，
∴k′，
故答案为：．
【点评】本题考查列代数式，属于跨学科综合题目，理解题意，掌握杠杆原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）是解题关键．
19．【考点】整式的混合运算
【分析】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2＝3，利用梯形面积公式可得（m+n）2＝10，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，继而求得m2+n2，再结合（m+n）2＝10可求得mn，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为mn．
解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝32+42＝25，
故答案为：25；
（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，
∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），
∴（m+n）（m+n）＝5，
∴（m+n）2＝10，
∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，
∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，
①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，
∵a2+b2＝3，
∴m2+n2，
∵（m+n）2＝10，
∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10，
整理得：2mn，
即mn，
∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，
∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，
那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：m，n，
故阴影部分的面积为：mn＝mn，
故答案为：．
【点评】本题考查整式运算的实际应用，（2）中将题干中的两个等式分别平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解题的关键．
20．【考点】整式的混合运算
【分析】（1）根据边AD减少1m，得到的矩形面积不变，得5b＝（5+1）×（b﹣1），可解得答案；
（2）由边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2），知（a+1）（b+2）＝2s，故（a+1）（2）＝2s，2a2+（2﹣s）a+s＝0，又有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s，可得（2﹣s）2﹣8s＝0，可解得答案．
解：（1）∵边AD减少1m，得到的矩形面积不变，
∴5b＝（5+1）×（b﹣1），
解得：b＝6，
故答案为：6；
（2）根据题意知b，
∵边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2），
∴（a+1）（b+2）＝2s，
∴（a+1）（2）＝2s，
整理得：2a2﹣s＝0，
∴2a2+（2﹣s）a+s＝0，
∵有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s，
∴Δ＝0，即（2﹣s）2﹣8s＝0，
解得s＝6﹣4（不符合题意，舍去）或s＝6+4，
故答案为：6+4．
【点评】本题考查整式的混合运算，涉及矩形面积，一元二次方程的判别式等，解题的关键是由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s列出关于s的方程．
三．解答题（共6小题）
21．【考点】平方差公式；零指数幂；实数的运算；单项式乘多项式
【分析】（1）根据零指数幂的定义、绝对值的代数意义以及二次根式的性质解答即可；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可．
解：（1）（1）0+|﹣2|
＝1+2﹣3
＝0；
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）
＝a2﹣9+a﹣a2
＝a﹣9．
【点评】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂的定义、平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则．
22．【考点】多项式乘多项式；解一元一次不等式
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤进行计算即可；
（2）将原代数式化简整理后结合已知条件即可求得答案．
解：（1）2x﹣3＞x+1，
移项得：2x﹣x＞1+3，
合并同类项得：x＞4；
（2）∵a2+3ab＝5，
∴（a+b）（a+2b）﹣2b2
＝a2+2ab+ab+2b2﹣2b2
＝a2+3ab
＝5．
【点评】本题考查解一元一次不等式和整式的化简求值，解不等式的步骤及整式的运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
23．【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】先根据单项式乘以多项式的法则和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可
解：原式＝4x2﹣1+3x﹣4x2
＝3x﹣1
当时，原式＝31＝0．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
24．【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；列代数式
【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
解：（1）∵17＝2×9﹣1，
∴192﹣172＝8×9＝72；
（2）由题意可得，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
25．【考点】列代数式；代数式求值
【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
（2）根据正方形的面积＝边长的平方列出代数式，把a＝3代入求值即可．
解：（1）∵直角三角形较短的直角边2a＝a，
较长的直角边＝2a+3，
∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3；
（2）小正方形的面积＝（a+3）2，
当a＝3时，面积＝（3+3）2＝36．
【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边求出小正方形的边长是解题的关键．
26．【考点】规律型：数字的变化类
【分析】（1）根据规律直接得出结论即可；
（2）根据（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25即可得出结论；
（3）根据题意列出方程求解即可．
解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，
故答案为：3×4×100+25；
（2）100a（a+1）+25，理由如下：
（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；
（3）由题知，100a＝2525，
即100a2+100a+25﹣100a＝2525，
解得a＝5或﹣5（舍去），
∴a的值为5．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化规律得出100a（a+1）+25的结论是解题的关键．
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