2025全国版高考物理一轮基础知识练--第4章 曲线运动（含答案）

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2026全国版高考物理一轮
第4章　曲线运动
第1节　曲线运动　运动的合成与分解
曲线运动的条件和特征T1~2、T5 ◆ 运动的合成与分解T4、8、10 ◆ 小船渡河模型T3、6 ◆ 关联速度模型T7、9
考法领航·物理本质 明析规律　思维回归
(2023江苏,10,4分)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力,则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是 (　　)
考法点睛　如果选取第一粒沙子为参考系,进行研究对象转换,是否可以化难为易
五年高考
1.★(2023辽宁,1,4分)某同学在练习投篮,篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示,篮球所受合力F的示意图可能正确的是 (　　)
A　　B　　C　　D
2.★★(2023全国乙,15,6分)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动,动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力,下列四幅图可能正确的是 (　　)
　　　
3.★★(2021辽宁,1,4分)1935年5月,红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300 m,水流速度3 m/s,木船相对静水速度1 m/s,则突击队渡河所需的最短时间为 (　　)
A.75 s　　B.95 s　　C.100 s　　D.300 s
4.★★★(2024安徽,9,5分)(多选)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上,在斜面上建立Oxy直角坐标系,如图(1)所示。从t=0开始,将一可视为质点的物块从O点由静止释放,同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2,其大小与时间t的关系如图(2)所示。已知物块的质量为1.2 kg,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。则 (　　)
　　
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t=1 s时,物块的y坐标值为2.5 m
C.t=1 s时,物块的加速度大小为5 m/s2
D.t=2 s时,物块的速度大小为10 m/s
三年模拟
5.★(2025届黑龙江佳木斯八中开学考)下列说法正确的是 (　　)
A.物体做曲线运动速度可以不变
B.物体做曲线运动速度的方向一定改变
C.曲线运动的速度大小一定改变
D.速度大小改变的运动一定是曲线运动
6.★★(2024届湘豫名校二模)游泳是人们很喜爱的运动之一。如图所示,某游泳运动员在河中的P点发现正下游O处有一半径r=5 m的漩涡,当时水流速度为3 m/s。P点与O点的距离d=15 m,该运动员为了能避开漩涡沿直线到达安全地带,其在静水中的速度至少为(　　)
A. m/s　 B.1 m/s　 C.2 m/s　 D. m/s
7.★★(2025届江苏扬州开学考)在没有起重机的年代,建筑工人可以利用如图所示的装置把建筑材料送到高处,则 (　　)
A.当绳与水平方向成θ角时,vA=vB cos θ
B.当建筑材料B匀速上升时,小车A向左加速运动
C.当小车A匀速向左运动时,绳对B的拉力大于B对绳的拉力
D.当小车A匀速向左运动时,建筑材料B向上加速运动
8.★★★(2025届人大附中开学考)(多选)某质量m=1 kg的质点在Oxy平面内运动,t=0时质点位于y轴上。它在x方向运动的速度-时间图像如图甲所示,它在y方向运动的位移-时间图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
　　
A.从t=0时刻开始质点做匀变速直线运动
B.t=1.0 s时质点的速度方向与x轴夹角为60°
C.t=1.0 s时质点的位置坐标为(5 m,5 m)
D.质点所受的合力大小为2 N
9.★★★(2024届成都七中期末)如图所示,竖直放置有一半圆轨道,在其左侧连有一水平杆,现将光滑的小球A、B分别套在水平杆与半圆轨道上,A、B用一不可伸长的轻质细绳相连,A、B的质量相等,且可看作质点,开始时细绳水平伸直,A、B静止。由静止释放B后,已知当B和圆心连线与竖直方向的夹角为30°时,小球B下滑的速度大小为v,重力加速度为g,则半圆轨道的半径为 (　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
10.(考法训练)(2024届安徽蚌埠三模)如图甲所示,某工人在流水线上切割玻璃,在水平工作台面建立平面直角坐标系xOy,玻璃沿x轴运行的速度u恒定不变,切割时刀头的初速度v0沿y轴方向,运动过程中刀头相对玻璃的速度方向保持不变且逐渐减小,经过T时间刀头运动到A1点,如图乙所示,经过2T、3T时间刀头运动到A2、A3点,则刀头的轨迹可能是 (　　)
　　
　　　　
　　　　
第2节　抛体运动
平抛运动的基本规律T1、2、3、5 ◆ 与斜面或圆弧面有关的平抛运动T6、9 ◆ 类平抛运动的分析T7 ◆ 斜抛运动T4、8
考法领航·新颖情境 突破情境　模型建构
(2024安徽,7,4分)在某地区的干旱季节,人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田,简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h,与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变,水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ,水管内径的横截面积为S,重力加速度大小为g,不计空气阻力。则水泵的输出功率约为 (　　)
A.
五年高考
1.★★(2024新课标,15,6分)福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进行弹射测试,测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后,落到海面上。调整弹射装置,使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍。忽略空气阻力,则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的 (　　)
A.0.25倍　 B.0.5倍　 C.2倍　 D.4倍
2.★★(2023浙江6月,3,3分)铅球被水平推出后的运动过程中,不计空气阻力,下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中,正确的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　
3.★★★(2024浙江1月,8,3分)如图所示,小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍,在地面上平移水桶,水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h,直径为D,重力加速度为g,则水离开出水口的速度大小为 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.(+1)D
4.★★★(2024山东,12,4分)(多选)如图所示,工程队向峡谷对岸平台抛射重物,初速度v0大小为20 m/s,与水平方向的夹角为30°,抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°,重力加速度大小取10 m/s2,忽略空气阻力。重物在此运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
5.(考法训练)(2024北京,17,9分)如图所示,水平放置的排水管满口排水,管口的横截面积为S,管口离水池水面的高度为h,水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动,已知重力加速度为g,h远大于管口内径。求:
(1)水从管口到水面的运动时间t;
(2)水从管口排出时的速度大小v0;
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
三年模拟
6.★★(2024届湖北宜荆荆随恩二模)如图所示为湖边一倾角为30°的大坝的横截面示意图,水面与大坝的交点为O,一人站在A点处以速度v0沿水平方向扔小石子,已知AO=40 m,g取10 m/s2,忽略空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.若v0=17 m/s,则小石子可以落入水中
B.若小石子能落入水中,则v0越大,落水时速度方向与水平面的夹角越小
C.若小石子不能落入水中,则v0越大,落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大
D.若小石子不能落入水中,则v0越大,落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小
7.★★★(2025届甘肃白银靖远一中月考)(多选)“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。一质量为m的小球在光滑的水平面上以初速度v0(沿x轴正方向)穿过一段风带,经过风带时风会给小球一个沿水平方向且与v0方向垂直(沿y轴正方向)的恒力作用,风带在0≤x≤l区域,其他区域无风。小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向如图所示,已知小球在穿过风带过程中沿y轴正方向运动的位移为。下列说法正确的是 (　　)
A.小球穿过风带所需时间为
B.小球穿过风带过程中的加速度大小为
C.小球穿过风带时所受恒力的大小为
D.小球穿过风带后的速度大小为v0
8.★★★(2025届山东中学联盟开学联考)(多选)如图所示,将小球由一倾角为θ的固定斜面底端沿与竖直方向夹角为α的初速度v0斜向上抛出,经过时间t0小球恰好以水平速度经过斜面顶端,速度的变化量为Δv0。然后再次将小球由斜面中点沿与竖直方向夹角为β的初速度v1斜向上抛出,经过时间t1小球也恰好以水平速度经过斜面顶端,速度的变化量为Δv1。小球可视为质点,不考虑空气阻力。下列说法正确的是 (　　)
A.α<β　　　　B.t0=2t1 C.v0=v1　　　　D.Δv0=Δv1
9.★★★(2024届江苏四校联考)如图所示,半球面半径为R,A点与球心O等高,小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出,下落相同高度h,分别撞击到球面上的B点和C点,速度偏转角分别为α和β,不计空气阻力,则(　　)
A.小球两次运动的时间满足tAC>tAB
B.小球两次运动的速度变化量满足ΔvAC>ΔvAB
C.小球在C点的速度方向可能与球面垂直
D.+=
微专题7　抛体运动中的综合问题
抛体运动中的临界极值问题T1、2、4、5 ◆ 立体空间中的抛体运动问题T3、6 ◆ 抛体运动中的相遇问题T7
考法领航·物理本质 明晰规律　思维回归
(相对运动)如图所示,平面直角坐标系xOy位于竖直平面内,y轴沿竖直方向,小球1、2分别从坐标原点O、点P(x0,-y0)同时抛出,小球1抛出的初速度大小为v0,与x轴正方向的夹角为θ,小球2抛出的初速度大小为2v0,沿y轴正方向。两小球均可视为质点,不计空气阻力,要使两球恰好在空中相碰,则 (　　)
A.=　　　　　　B.=　　　　　　C.=　　　　　　D.=
考法点睛　能否通过球1相对球2的运动,结合等时性计算
五年高考
1.★★(2020课标Ⅱ,16,6分)如图,在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑,该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h,其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1,它会落到坑内c点,c与a的水平距离和高度差均为h;若经过a点时的动能为E2,该摩托车恰能越过坑到达b点。等于 (　　)
A.20　　　B.18　　　C.9.0　　　D.3.0
2.★★(2023新课标,24,10分)将扁平的石子向水面快速抛出,石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方,俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果,石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”,一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出,抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时的空气阻力,重力加速度大小为g)
三年模拟
3.★★(2025届广西南宁摸底考)(多选)如图所示,若某足球运动员训练射门时,将足球从M点斜向上踢出,水平撞在球门上端横梁上N点反弹后又水平飞出,落到P点。M、N'、P三点在同一水平面上,NN'竖直,N'P⊥MP。不计空气阻力,下列说法正确的是 (　　)
A.足球在MN段运动的时间等于足球在NP段运动的时间
B.足球在MN段运动的时间大于足球在NP段运动的时间
C.足球碰撞N点前的速率大于足球碰撞N点后的速率
D.足球碰撞N点前的速率等于足球碰撞N点后的速率
4.★★★(2025届山东滕州一中开学考)(多选)如图所示,某运动员将铅球抛出时铅球距地面的高度为h,铅球离开手时的速度为v0,方向与水平方向的夹角为45°,重力加速度为g。若不计空气阻力,下列说法正确的是 (　　)
A.铅球在飞行过程中距地面的最大高度为h+
B.铅球在空中运动的时间为
C.铅球落地瞬间的速度大小为
D.铅球以45°角斜向上投掷时,运动员掷铅球的距离最远
5.★★★(2025届重庆南开中学质检)如图所示,一个质量为m的小球从倾角为θ的固定斜面体顶端以速度v0水平向右抛出,重力加速度为g,斜面足够长,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.从抛出小球开始计时,经过t=小球距离斜面最远
B.小球抛出的初速度越大,则小球落到斜面上的速度方向与水平方向的夹角也越大
C.若小球还受到一个竖直向下的恒力,恒力大小与其重力大小相等,则小球落到斜面上的速度大小为v0
D.若小球还受到一个位于竖直平面内的恒力(方向未知),且小球抛出经过足够长的时间之后速度方向趋于与斜面平行,则该恒力的最小值是mg cos θ
6.★★★(2025届辽宁鞍山质监)如图1为一个网球场的示意图,一个网球发球机固定在底角处,可以将网球沿平行于地面的各个方向发出,假设发球点距地面高为1.8 m,球网高1 m,图2为对应的俯视图,其中L1=12 m,L2=9 m。按照规则,网球发出后不触网且落在对面阴影区域内(包含虚线)为有效发球。图中虚线为球场的等分线,则发球机有效发球时发出网球的最小速率为(忽略一切阻力,重力加速度g取10 m/s2) (　　)
　
A. m/s　　　　B.15 m/s
C. m/s　　　　D.20 m/s
7.(考法训练)(2025届山东齐鲁名校联盟开学考)(多选)如图所示,从同一水平面上的M、N两点同时抛出两个小球P、Q,出射速度与水平方向的夹角分别为30°和60°,两个小球运动轨迹在同一竖直面内,射出后经t=1 s两小球在空中相遇,已知M、N两点间的距离x=20 m,忽略空气阻力,重力加速度g=10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A.小球P的出射速度大小为5 m/s
B.小球Q的出射速度大小为10 m/s
C.两小球相遇时P处于上升阶段
D.两小球相遇位置到M点的水平距离大于到N点的水平距离
第3节　圆周运动
圆周运动的运动学问题T1、5、6 ◆ 圆周运动的动力学问题T2~4、7~10
五年高考
1.★(2024黑吉辽,2,4分)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图,当篮球在指尖上绕轴转动时,球面上P、Q两点做圆周运动的　 (　　)
A.半径相等 B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等 D.角速度大小相等
2.★★(2023全国甲,17,6分)一质点做匀速圆周运动,若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比,运动周期与轨道半径成反比,则n等于 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.★★(2023北京,10,3分)在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示,不可伸长的轻绳一端固定于O点,另一端系一待测小球,使其绕O做匀速圆周运动。用力传感器测得绳上的拉力为F,用秒表测得小球转过n圈所用的时间为t,用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R。下列说法正确的是 (　　)
A.圆周运动轨道可处于任意平面内
B.小球的质量为
C.若误将n-1圈记作n圈,则所得质量偏大
D.若测R时未计入小球半径,则所得质量偏小
4.★★★(2024江苏,8,4分)如图所示是生产陶瓷的工作台简化图,台面上掉有陶屑与工作台一起绕轴OO'匀速转动,陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大),最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则 (　　)
A.越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B.越靠近台面边缘的陶屑质量越小
C.陶屑只能分布在台面边缘 D.陶屑只能分布在某一半径的圆内
5.★★★(2022辽宁,13,10分)2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2 000米接力决赛中,我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。
(1)如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动,若运动员加速到速度v=9 m/s时,滑过的距离x=15 m,求加速度a的大小;
(2)如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨迹为半圆的匀速圆周运动,如图所示,若甲、乙两名运动员同时进入弯道,滑行半径分别为R甲=8 m、R乙=9 m,滑行速率分别为v甲=10 m/s、v乙=11 m/s,求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比,并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
三年模拟
6.★★(2025届广东佛山南海摸底考)如图所示是《天工开物》中牛力齿轮的图画及其原理简化图,牛拉动横杆驱动半径为R1的大齿轮匀速转动,大齿轮与半径为R2的中齿轮垂直咬合,中齿轮通过横轴与半径为R3的小齿轮相连,小齿轮驱动抽水桶抽水,已知牛拉横杆转一圈需要的时间为t,则抽水桶的运动速率约为(　　)
A.　B.　C.　D.
7.★★★(2025届江苏如皋调研)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示,A、B在同一水平面内运动;如图乙所示,连接C、D的绳与竖直方向的夹角相等,则(　　)
　　
A.A、B的角速度大小相等
B.A的角速度比B的大
C.C受到绳的拉力比D的大
D.C受到绳的拉力比D的小
8.★★★(2025届北京牛栏山一中月考)摩托车特技表演中的飞檐走壁让人震撼,其运动可简化为如图所示的小球在光滑的半球形容器内做匀速圆周运动。小球的质量为m,容器的球心为O、半径为R,小球在水平面内做圆周运动,运动到a点时,Oa与竖直方向的夹角为θ,运动过程中容器及底座静止在水平地面上。已知容器及底座的质量为M,重力加速度为g,则下列说法错误的是(　　)
A.小球运动的角速度大小为
B.小球运动的线速度大小为
C.底座受到地面的摩擦力大小为mg tan θ
D.底座对地面的压力等于(M+m)g
9.★★★(2025届重庆南开中学开学考)如图所示,用一根轻绳系着一个可视为质点的小球,轻绳的长度为L。最初小球静止在圆轨迹的最低点A,现在A点给小球一个初速度v0,使其在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动,已知B点与圆心O等高,C点是圆轨迹的最高点,重力加速度为g。不计一切阻力。下列说法正确的是(　　)
A.小球做的是匀变速曲线运动
B.若要使小球做完整的圆周运动,小球运动到C点的速度至少是
C.若小球无法做完整的圆周运动,则小球可能在C点脱离圆轨迹
D.若小球无法做完整的圆周运动,则小球可能在B点和C点之间的某点脱离圆轨迹
10.★★★(2025届重庆八中适应性训练)(多选)健身者能控制球拍使球在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动。如图所示,a点为圆周的最高点,c点为最低点,在这两处拍面水平,b、d两点与圆心O等高。已知球的质量为m,重力加速度大小为g,球在c点对球拍的压力大小为3mg,则球(　　)
A.做圆周运动的线速度大小为
B.在a处受到球拍的作用力大小为mg
C.在b处一定只受到两个力的作用
D.运动的周期T=2π
微专题8　圆周运动的临界、极值问题
水平面内圆周运动的临界、极值问题T1、2、5、7 ◆ 竖直面内圆周运动的临界、极值问题T3、4 ◆ 斜面上圆周运动的临界、极值问题T6
1.★★(2024广东,5,4分)如图所示,在细绳的拉动下,半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管,管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧底端固定在管底,顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时,插销做匀速圆周运动。若v过大,插销会卡进固定的端盖,使卷轴转动停止。忽略摩擦力,弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止,v的最大值为(　　)
A.r　 B.l　 C.r　 D.l
2.★★(2024届四川成都石室中学5月模拟)如图所示,一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动,紧贴在一起的M、N两物体(可视为质点)随圆盘做圆周运动,N恰好不下滑,M恰好不滑动,两物体与中心轴的距离为r,已知M与N间的动摩擦因数为μ1,M与圆盘间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。μ1与μ2应满足的关系式为(　　)
A.μ1+μ2=1　 B.=1　 C.μ1μ2=1　 D.=1
3.★★★(2025届人大附中检测)(多选)如图所示,竖直放置的管形固定圆轨道半径为R(管径远小于R),小球a、b大小相同,质量均为m,其直径略小于管径,能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度v通过轨道最低点,且当小球a在最低点时,小球b在最高点。重力加速度为g。下列说法正确的是 (　　)
A.速度v满足v≥2,才能使两球在管内做完整的圆周运动
B.当v=时,小球b在最高点对轨道无压力
C.当小球b在最高点对轨道无压力时,小球a所需向心力比小球b所需向心力大5mg
D.只要v>,小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg
4.★★★(2024全国甲,17,6分)如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小 (　　)
A.在Q点最大　　　　B.在Q点最小
C.先减小后增大　　　　D.先增大后减小
5.★★★(2025届云南昆明三校联考)(多选)如图甲所示,将质量均为m的物块A、B置于水平转盘的同一直径上,两者用长为L的水平轻绳连接,轻绳恰好伸直但无拉力。已知两物块与转盘之间的动摩擦因数均为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,物块A与转轴的距离等于L,整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动,当转盘以不同角速度匀速转动时,两物块所受摩擦力大小f与角速度ω的二次方的关系图像如图乙所示,重力加速度为g,两物块均可视为质点。下列说法正确的是 (　　)
　
A.由图乙可知,转盘的角速度满足ω1<ω<ω2时,物块A所受摩擦力不变
B.图乙中ω1=
C.∶=2∶3
D.当ω=ω2时,轻绳的拉力大小为
6.★★★(2025届山东省实验中学月考)(多选)如图所示,在某行星表面有一倾斜的圆盘,绕过圆心且垂直于盘面的转轴以恒定角速度转动,盘面与水平面的夹角为30°,质量为m的小物块(可视为质点)到转轴的距离为L,与圆盘保持相对静止。已知角速度为ω0时,小物块恰好将要相对圆盘滑动,物块与盘面间的动摩擦因数μ=(最大静摩擦力等于滑动摩擦力),行星的半径为R,引力常量为G,忽略该行星自转的影响。下列说法正确的是(　　)
A.当物块以角速度ω0随圆盘匀速转动到最高点时,物块所受摩擦力方向沿盘面向下
B.当物块以角速度ω0随圆盘匀速转动到最高点时,物块所受摩擦力大小Ff=mL
C.该行星的第一宇宙速度v=2ω0
D.该行星的平均密度ρ=
7.★★★★(2025届云南昆明三校联考)如图所示为一种可测量角速度的简易装置,V形光滑支架可随水平面上的底座绕中轴线OO'旋转,支架两杆与水平面夹角均为θ,两侧的杆长均为1.5L,一原长为L的轻弹簧套在AB杆上,下端固定于杆的B端,另一端与一小球拴接,已知小球的质量为m,重力加速度为g,轻弹簧的劲度系数k=。现让小球随支架以角速度ω匀速转动。
(1)求支架静止时弹簧的长度;
(2)轻弹簧的长度恰为原长时,求支架角速度ω1的大小;
(3)若已知θ=53°,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,L= m,重力加速度g=10 m/s2。小球不能从杆末端A滑脱,则支架角速度ω2的大小应满足什么要求
实验5　探究平抛运动的特点
1.(2022福建,11,5分)某实验小组利用图(a)所示装置验证小球平抛运动的特点。实验时,先将斜槽固定在贴有复写纸和白纸的木板边缘,调节槽口水平并使木板竖直;把小球放在槽口处,用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O,建立xOy坐标系。然后从斜槽上固定的位置释放小球,小球落到挡板上并在白纸上留下印迹。上下调节挡板进行多次实验。实验结束后,测量各印迹中心点O1、O2、O3…的坐标,并填入表格中,计算对应的x2值。
图(a)
O1 O2 O3 O4 O5 O6
y/cm 2.95 6.52 9.27 13.20 16.61 19.90
x/cm 5.95 8.81 10.74 12.49 14.05 15.28
x2/cm2 35.4 77.6 115.3 156.0 197.4 233.5
(1)根据表中数据,在图(b)给出的坐标纸上补上O4数据点,并绘制“y-x2”图线。
(2)由y-x2图线可知,小球下落的高度y,与水平距离的平方x2成　　　　(填“线性”或“非线性”)关系,由此判断小球下落的轨迹是抛物线。
(3)由y-x2图线求得斜率k,小球平抛运动的初速度表达式为v0=　　　　(用斜率k和重力加速度g表示)。
(4)该实验得到的y-x2图线常不经过原点,可能的原因是 　 。
2.(2019北京,21,18分)用如图1所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上,钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出,落在水平挡板MN上,由于挡板靠近硬板一侧较低,钢球落在挡板上时,钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板,重新释放钢球。如此重复,白纸上将留下一系列痕迹点。
图1
(1)下列实验条件必须满足的有　　　　。
A.斜槽轨道光滑
B.斜槽轨道末段水平
C.挡板高度等间距变化
D.每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
(2)为定量研究,建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。
a.取平抛运动的起始点为坐标原点,将钢球静置于Q点,钢球的　　　　(选填“最上端”“最下端”或者“球心”)对应白纸上的位置即原点;在确定y轴时　　　　(选填“需要”或者“不需要”)y轴与铅垂线平行。
b.若遗漏记录平抛轨迹的起始点,也可按下述方法处理数据:如图2所示,在轨迹上取A、B、C三点,AB和BC的水平间距相等且均为x,测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2,则　　　 (选填“大于”“等于”或者“小于”)。可求得钢球平抛的初速度大小为　　　　(已知当地重力加速度为g,结果用上述字母表示)。
图2
(3)为了得到平抛物体的运动轨迹,同学们还提出了以下三种方案。其中可行的是　　　。
A.从细管水平喷出稳定的细水柱,拍摄照片,即可得到平抛运动轨迹
B.用频闪照相在同一底片上记录平抛小球在不同时刻的位置,平滑连接各位置,即可得到平抛运动轨迹
C.将铅笔垂直于竖直的白纸板放置,笔尖紧靠白纸板,铅笔以一定初速度水平抛出,将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹
(4)伽利略曾研究过平抛运动,他推断:从同一炮台水平发射的炮弹,如果不受空气阻力,不论它们能射多远,在空中飞行的时间都一样。这实际上揭示了平抛物体　　　　。
A.在水平方向上做匀速直线运动
B.在竖直方向上做自由落体运动
C.在下落过程中机械能守恒
(5)牛顿设想,把物体从高山上水平抛出,速度一次比一次大,落地点就一次比一次远。如果速度足够大,物体就不再落回地面,它将绕地球运动,成为人造地球卫星。同样是受地球引力,随着抛出速度增大,物体会从做平抛运动逐渐变为做圆周运动,请分析原因。
3.(2024届江苏南通海安开学考)利用如图甲所示的实验装置来探究平抛运动的特点。(g取10 m/s2)
(1)以下是实验过程中的一些做法,其中合理的有　　　。
A.安装斜槽轨道,使其末端保持水平
B.每次小球释放的初始位置可以任意选择
C.每次小球应从同一高度由静止释放
D.为描出小球的运动轨迹,描绘的点可以用折线连接
(2)该实验中,在取下坐标纸前,应确定坐标原点O,并建立直角坐标系。下列关于图像坐标原点和坐标系的选择正确的是　　　。
　　
(3)图乙是根据实验画出的平抛小球的运动轨迹,在轨迹上取三个水平距离相等的点A、B和C,相邻两点间的水平距离均为Δx=20.0 cm。以A点为坐标原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴,测得B、C两点竖直坐标y1=15.0 cm,y2=40.0 cm,则小球平抛的起点O的坐标为　　　　　　　。
　　
(4)以平抛起点O为坐标原点,在轨迹上取一些点,测量它们的水平坐标x和竖直坐标y,作出如图丙所示的y-x2图像,图线的斜率为k,重力加速度为g,则平抛小球的初速度为　。
(5)如图丁所示,在斜槽的末端放置一倾斜的长板,某小组测得小球在O点处的水平速度v0及O点至落点的射程x,记录的数据如表,则斜面的倾角θ=　　　。
序号 1 2 3 4
v0(m/s) 0.5 1 2 3
x(m) 0.05 0.2 0.8 1.8
实验6　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
1.[2023浙江1月,16Ⅰ(2)]“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。
①采用的实验方法是　　　　;
A.控制变量法
B.等效法
C.模拟法
②在小球质量和转动半径相同的情况下,逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的　　　　之比(填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”);在加速转动手柄过程中,左右标尺露出红白相间等分标记的比值　　　　(填“不变”“变大”或“变小”)。
2.(2024届广西桂林一模)某实验小组为了验证小球所受向心力与角速度、转动半径的关系,设计了如图甲所示的实验装置,转轴MN由电动机带动,转速可调,固定在转轴上O点的力传感器通过轻绳连接一质量为m的小球,一根固定在转轴上的光滑水平直杆穿过小球,保证小球在水平面内转动,直杆最外边插一小遮光片P,小球每转一周遮光片P通过右边光电门时可记录遮光片最外边的挡光时间,某次实验操作如下:
(1)用螺旋测微器测量遮光片P的宽度d,测量结果如图乙所示,则d=　　　　mm。
(2)如图甲所示,安装好实验装置,用刻度尺测量遮光片最外端到转轴上O点的距离,记为L1,测量小球球心到转轴上O点的距离,记为L2。开动电动机,让小球转动起来,某次遮光片通过光电门时光电门计时为t,则小球此时的角速度等于　　　　(用字母d、t、L1、L2中的部分字母表示)。
(3)验证向心力与转动半径的关系时,让电动机匀速转动,遮光片P每次通过光电门的时间相同,调节小球球心到转轴上O点的距离L2,测出每一个L2的长度以及其对应的力传感器的读数F,得出多组数据,画出F-L2的关系图像应该为　　　　。
　　
(4)验证向心力与角速度关系时让小球球心到转轴上O点的距离L2不变,调节电动机的转速,遮光片P每次通过光电门的时间不同,记录某次挡光时间t,同时记录此时力传感器的读数F,得出多组F与t的数据,为了准确验证小球所受向心力与角速度的关系,利用实验数据应画出　　　　(选填“F-t”“F-t2”“F-”或“F-”)关系图像。
第4章　曲线运动
第1节　曲线运动　运动的合成与分解
曲线运动的条件和特征T1~2、T5 ◆ 运动的合成与分解T4、8、10 ◆ 小船渡河模型T3、6 ◆ 关联速度模型T7、9
考法领航·物理本质 明析规律　思维回归
(2023江苏,10,4分)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力,则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是 (　　)
答案　D　
考法点睛　如果选取第一粒沙子为参考系,进行研究对象转换,是否可以化难为易
五年高考
1.★(2023辽宁,1,4分)某同学在练习投篮,篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示,篮球所受合力F的示意图可能正确的是 (　　)
A　　B　　C　　D
答案　A　
2.★★(2023全国乙,15,6分)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动,动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力,下列四幅图可能正确的是 (　　)
　　　
答案　D　
3.★★(2021辽宁,1,4分)1935年5月,红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300 m,水流速度3 m/s,木船相对静水速度1 m/s,则突击队渡河所需的最短时间为 (　　)
A.75 s　　B.95 s　　C.100 s　　D.300 s
答案　D　
4.★★★(2024安徽,9,5分)(多选)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上,在斜面上建立Oxy直角坐标系,如图(1)所示。从t=0开始,将一可视为质点的物块从O点由静止释放,同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2,其大小与时间t的关系如图(2)所示。已知物块的质量为1.2 kg,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。则 (　　)
　　
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t=1 s时,物块的y坐标值为2.5 m
C.t=1 s时,物块的加速度大小为5 m/s2
D.t=2 s时,物块的速度大小为10 m/s
答案　BD　
三年模拟
5.★(2025届黑龙江佳木斯八中开学考)下列说法正确的是 (　　)
A.物体做曲线运动速度可以不变
B.物体做曲线运动速度的方向一定改变
C.曲线运动的速度大小一定改变
D.速度大小改变的运动一定是曲线运动
答案　B　
6.★★(2024届湘豫名校二模)游泳是人们很喜爱的运动之一。如图所示,某游泳运动员在河中的P点发现正下游O处有一半径r=5 m的漩涡,当时水流速度为3 m/s。P点与O点的距离d=15 m,该运动员为了能避开漩涡沿直线到达安全地带,其在静水中的速度至少为(　　)
A. m/s　 B.1 m/s　 C.2 m/s　 D. m/s
答案　B　
7.★★(2025届江苏扬州开学考)在没有起重机的年代,建筑工人可以利用如图所示的装置把建筑材料送到高处,则 (　　)
A.当绳与水平方向成θ角时,vA=vB cos θ
B.当建筑材料B匀速上升时,小车A向左加速运动
C.当小车A匀速向左运动时,绳对B的拉力大于B对绳的拉力
D.当小车A匀速向左运动时,建筑材料B向上加速运动
答案　D　
8.★★★(2025届人大附中开学考)(多选)某质量m=1 kg的质点在Oxy平面内运动,t=0时质点位于y轴上。它在x方向运动的速度-时间图像如图甲所示,它在y方向运动的位移-时间图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
　　
A.从t=0时刻开始质点做匀变速直线运动
B.t=1.0 s时质点的速度方向与x轴夹角为60°
C.t=1.0 s时质点的位置坐标为(5 m,5 m)
D.质点所受的合力大小为2 N
答案　CD　
9.★★★(2024届成都七中期末)如图所示,竖直放置有一半圆轨道,在其左侧连有一水平杆,现将光滑的小球A、B分别套在水平杆与半圆轨道上,A、B用一不可伸长的轻质细绳相连,A、B的质量相等,且可看作质点,开始时细绳水平伸直,A、B静止。由静止释放B后,已知当B和圆心连线与竖直方向的夹角为30°时,小球B下滑的速度大小为v,重力加速度为g,则半圆轨道的半径为 (　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
答案　B　
10.(考法训练)(2024届安徽蚌埠三模)如图甲所示,某工人在流水线上切割玻璃,在水平工作台面建立平面直角坐标系xOy,玻璃沿x轴运行的速度u恒定不变,切割时刀头的初速度v0沿y轴方向,运动过程中刀头相对玻璃的速度方向保持不变且逐渐减小,经过T时间刀头运动到A1点,如图乙所示,经过2T、3T时间刀头运动到A2、A3点,则刀头的轨迹可能是 (　　)
　　
　　　　
　　　　
答案　D　
第2节　抛体运动
平抛运动的基本规律T1、2、3、5 ◆ 与斜面或圆弧面有关的平抛运动T6、9 ◆ 类平抛运动的分析T7 ◆ 斜抛运动T4、8
考法领航·新颖情境 突破情境　模型建构
(2024安徽,7,4分)在某地区的干旱季节,人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田,简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h,与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变,水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ,水管内径的横截面积为S,重力加速度大小为g,不计空气阻力。则水泵的输出功率约为 (　　)
A.
答案　B　考法点睛　如何选取研究对象 水泵输出的能量和水增加的机械能有什么关系
五年高考
1.★★(2024新课标,15,6分)福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进行弹射测试,测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后,落到海面上。调整弹射装置,使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍。忽略空气阻力,则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的 (　　)
A.0.25倍　 B.0.5倍　 C.2倍　 D.4倍
答案　C　
2.★★(2023浙江6月,3,3分)铅球被水平推出后的运动过程中,不计空气阻力,下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中,正确的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　
答案　D　
3.★★★(2024浙江1月,8,3分)如图所示,小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍,在地面上平移水桶,水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h,直径为D,重力加速度为g,则水离开出水口的速度大小为 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.(+1)D
答案　C　
4.★★★(2024山东,12,4分)(多选)如图所示,工程队向峡谷对岸平台抛射重物,初速度v0大小为20 m/s,与水平方向的夹角为30°,抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°,重力加速度大小取10 m/s2,忽略空气阻力。重物在此运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
答案　BD　
5.(考法训练)(2024北京,17,9分)如图所示,水平放置的排水管满口排水,管口的横截面积为S,管口离水池水面的高度为h,水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动,已知重力加速度为g,h远大于管口内径。求:
(1)水从管口到水面的运动时间t;
(2)水从管口排出时的速度大小v0;
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
答案　(1)　(2)d　(3)Sd
三年模拟
6.★★(2024届湖北宜荆荆随恩二模)如图所示为湖边一倾角为30°的大坝的横截面示意图,水面与大坝的交点为O,一人站在A点处以速度v0沿水平方向扔小石子,已知AO=40 m,g取10 m/s2,忽略空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.若v0=17 m/s,则小石子可以落入水中
B.若小石子能落入水中,则v0越大,落水时速度方向与水平面的夹角越小
C.若小石子不能落入水中,则v0越大,落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大
D.若小石子不能落入水中,则v0越大,落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小
答案　B　
7.★★★(2025届甘肃白银靖远一中月考)(多选)“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。一质量为m的小球在光滑的水平面上以初速度v0(沿x轴正方向)穿过一段风带,经过风带时风会给小球一个沿水平方向且与v0方向垂直(沿y轴正方向)的恒力作用,风带在0≤x≤l区域,其他区域无风。小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向如图所示,已知小球在穿过风带过程中沿y轴正方向运动的位移为。下列说法正确的是 (　　)
A.小球穿过风带所需时间为
B.小球穿过风带过程中的加速度大小为
C.小球穿过风带时所受恒力的大小为
D.小球穿过风带后的速度大小为v0
答案　CD　
8.★★★(2025届山东中学联盟开学联考)(多选)如图所示,将小球由一倾角为θ的固定斜面底端沿与竖直方向夹角为α的初速度v0斜向上抛出,经过时间t0小球恰好以水平速度经过斜面顶端,速度的变化量为Δv0。然后再次将小球由斜面中点沿与竖直方向夹角为β的初速度v1斜向上抛出,经过时间t1小球也恰好以水平速度经过斜面顶端,速度的变化量为Δv1。小球可视为质点,不考虑空气阻力。下列说法正确的是 (　　)
A.α<β　　　　B.t0=2t1 C.v0=v1　　　　D.Δv0=Δv1
答案　CD　
9.★★★(2024届江苏四校联考)如图所示,半球面半径为R,A点与球心O等高,小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出,下落相同高度h,分别撞击到球面上的B点和C点,速度偏转角分别为α和β,不计空气阻力,则(　　)
A.小球两次运动的时间满足tAC>tAB
B.小球两次运动的速度变化量满足ΔvAC>ΔvAB
C.小球在C点的速度方向可能与球面垂直
D.+=
答案　D　
微专题7　抛体运动中的综合问题
抛体运动中的临界极值问题T1、2、4、5 ◆ 立体空间中的抛体运动问题T3、6 ◆ 抛体运动中的相遇问题T7
考法领航·物理本质 明晰规律　思维回归
(相对运动)如图所示,平面直角坐标系xOy位于竖直平面内,y轴沿竖直方向,小球1、2分别从坐标原点O、点P(x0,-y0)同时抛出,小球1抛出的初速度大小为v0,与x轴正方向的夹角为θ,小球2抛出的初速度大小为2v0,沿y轴正方向。两小球均可视为质点,不计空气阻力,要使两球恰好在空中相碰,则 (　　)
A.=　　　　　　B.=　　　　　　C.=　　　　　　D.=
答案　B　
考法点睛　能否通过球1相对球2的运动,结合等时性计算
五年高考
1.★★(2020课标Ⅱ,16,6分)如图,在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑,该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h,其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1,它会落到坑内c点,c与a的水平距离和高度差均为h;若经过a点时的动能为E2,该摩托车恰能越过坑到达b点。等于 (　　)
A.20　　　B.18　　　C.9.0　　　D.3.0
答案　B　
2.★★(2023新课标,24,10分)将扁平的石子向水面快速抛出,石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方,俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果,石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”,一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出,抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时的空气阻力,重力加速度大小为g)
答案　
三年模拟
3.★★(2025届广西南宁摸底考)(多选)如图所示,若某足球运动员训练射门时,将足球从M点斜向上踢出,水平撞在球门上端横梁上N点反弹后又水平飞出,落到P点。M、N'、P三点在同一水平面上,NN'竖直,N'P⊥MP。不计空气阻力,下列说法正确的是 (　　)
A.足球在MN段运动的时间等于足球在NP段运动的时间
B.足球在MN段运动的时间大于足球在NP段运动的时间
C.足球碰撞N点前的速率大于足球碰撞N点后的速率
D.足球碰撞N点前的速率等于足球碰撞N点后的速率
答案　AC　
4.★★★(2025届山东滕州一中开学考)(多选)如图所示,某运动员将铅球抛出时铅球距地面的高度为h,铅球离开手时的速度为v0,方向与水平方向的夹角为45°,重力加速度为g。若不计空气阻力,下列说法正确的是 (　　)
A.铅球在飞行过程中距地面的最大高度为h+
B.铅球在空中运动的时间为
C.铅球落地瞬间的速度大小为
D.铅球以45°角斜向上投掷时,运动员掷铅球的距离最远
答案　AC　
5.★★★(2025届重庆南开中学质检)如图所示,一个质量为m的小球从倾角为θ的固定斜面体顶端以速度v0水平向右抛出,重力加速度为g,斜面足够长,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.从抛出小球开始计时,经过t=小球距离斜面最远
B.小球抛出的初速度越大,则小球落到斜面上的速度方向与水平方向的夹角也越大
C.若小球还受到一个竖直向下的恒力,恒力大小与其重力大小相等,则小球落到斜面上的速度大小为v0
D.若小球还受到一个位于竖直平面内的恒力(方向未知),且小球抛出经过足够长的时间之后速度方向趋于与斜面平行,则该恒力的最小值是mg cos θ
答案　D　
6.★★★(2025届辽宁鞍山质监)如图1为一个网球场的示意图,一个网球发球机固定在底角处,可以将网球沿平行于地面的各个方向发出,假设发球点距地面高为1.8 m,球网高1 m,图2为对应的俯视图,其中L1=12 m,L2=9 m。按照规则,网球发出后不触网且落在对面阴影区域内(包含虚线)为有效发球。图中虚线为球场的等分线,则发球机有效发球时发出网球的最小速率为(忽略一切阻力,重力加速度g取10 m/s2) (　　)
　
A. m/s　　　　B.15 m/s
C. m/s　　　　D.20 m/s
答案　A　
7.(考法训练)(2025届山东齐鲁名校联盟开学考)(多选)如图所示,从同一水平面上的M、N两点同时抛出两个小球P、Q,出射速度与水平方向的夹角分别为30°和60°,两个小球运动轨迹在同一竖直面内,射出后经t=1 s两小球在空中相遇,已知M、N两点间的距离x=20 m,忽略空气阻力,重力加速度g=10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A.小球P的出射速度大小为5 m/s
B.小球Q的出射速度大小为10 m/s
C.两小球相遇时P处于上升阶段
D.两小球相遇位置到M点的水平距离大于到N点的水平距离
答案　BD　
第3节　圆周运动
圆周运动的运动学问题T1、5、6 ◆ 圆周运动的动力学问题T2~4、7~10
五年高考
1.★(2024黑吉辽,2,4分)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图,当篮球在指尖上绕轴转动时,球面上P、Q两点做圆周运动的　 (　　)
A.半径相等 B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等 D.角速度大小相等
答案　D　
2.★★(2023全国甲,17,6分)一质点做匀速圆周运动,若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比,运动周期与轨道半径成反比,则n等于 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
答案　C　
3.★★(2023北京,10,3分)在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示,不可伸长的轻绳一端固定于O点,另一端系一待测小球,使其绕O做匀速圆周运动。用力传感器测得绳上的拉力为F,用秒表测得小球转过n圈所用的时间为t,用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R。下列说法正确的是 (　　)
A.圆周运动轨道可处于任意平面内
B.小球的质量为
C.若误将n-1圈记作n圈,则所得质量偏大
D.若测R时未计入小球半径,则所得质量偏小
答案　A　
4.★★★(2024江苏,8,4分)如图所示是生产陶瓷的工作台简化图,台面上掉有陶屑与工作台一起绕轴OO'匀速转动,陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大),最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则 (　　)
A.越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B.越靠近台面边缘的陶屑质量越小
C.陶屑只能分布在台面边缘 D.陶屑只能分布在某一半径的圆内
答案　D　
5.★★★(2022辽宁,13,10分)2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2 000米接力决赛中,我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。
(1)如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动,若运动员加速到速度v=9 m/s时,滑过的距离x=15 m,求加速度a的大小;
(2)如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨迹为半圆的匀速圆周运动,如图所示,若甲、乙两名运动员同时进入弯道,滑行半径分别为R甲=8 m、R乙=9 m,滑行速率分别为v甲=10 m/s、v乙=11 m/s,求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比,并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
答案　(1)2.7 m/s2　(2)　甲先出弯道,理由见解析
解析　(1)由匀变速直线运动规律有v2=2ax,解得a=2.7 m/s2。
(2)匀速圆周运动的向心加速度a=
则==
运动时间t=,则t甲== s,t乙== s
t甲三年模拟
6.★★(2025届广东佛山南海摸底考)如图所示是《天工开物》中牛力齿轮的图画及其原理简化图,牛拉动横杆驱动半径为R1的大齿轮匀速转动,大齿轮与半径为R2的中齿轮垂直咬合,中齿轮通过横轴与半径为R3的小齿轮相连,小齿轮驱动抽水桶抽水,已知牛拉横杆转一圈需要的时间为t,则抽水桶的运动速率约为(　　)
A.　B.　C.　D.
答案　A　
7.★★★(2025届江苏如皋调研)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示,A、B在同一水平面内运动;如图乙所示,连接C、D的绳与竖直方向的夹角相等,则(　　)
　　
A.A、B的角速度大小相等
B.A的角速度比B的大
C.C受到绳的拉力比D的大
D.C受到绳的拉力比D的小
答案　A　
8.★★★(2025届北京牛栏山一中月考)摩托车特技表演中的飞檐走壁让人震撼,其运动可简化为如图所示的小球在光滑的半球形容器内做匀速圆周运动。小球的质量为m,容器的球心为O、半径为R,小球在水平面内做圆周运动,运动到a点时,Oa与竖直方向的夹角为θ,运动过程中容器及底座静止在水平地面上。已知容器及底座的质量为M,重力加速度为g,则下列说法错误的是(　　)
A.小球运动的角速度大小为
B.小球运动的线速度大小为
C.底座受到地面的摩擦力大小为mg tan θ
D.底座对地面的压力等于(M+m)g
答案　B　
9.★★★(2025届重庆南开中学开学考)如图所示,用一根轻绳系着一个可视为质点的小球,轻绳的长度为L。最初小球静止在圆轨迹的最低点A,现在A点给小球一个初速度v0,使其在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动,已知B点与圆心O等高,C点是圆轨迹的最高点,重力加速度为g。不计一切阻力。下列说法正确的是(　　)
A.小球做的是匀变速曲线运动
B.若要使小球做完整的圆周运动,小球运动到C点的速度至少是
C.若小球无法做完整的圆周运动,则小球可能在C点脱离圆轨迹
D.若小球无法做完整的圆周运动,则小球可能在B点和C点之间的某点脱离圆轨迹
答案　D　
10.★★★(2025届重庆八中适应性训练)(多选)健身者能控制球拍使球在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动。如图所示,a点为圆周的最高点,c点为最低点,在这两处拍面水平,b、d两点与圆心O等高。已知球的质量为m,重力加速度大小为g,球在c点对球拍的压力大小为3mg,则球(　　)
A.做圆周运动的线速度大小为
B.在a处受到球拍的作用力大小为mg
C.在b处一定只受到两个力的作用
D.运动的周期T=2π
答案　AB　
微专题8　圆周运动的临界、极值问题
水平面内圆周运动的临界、极值问题T1、2、5、7 ◆ 竖直面内圆周运动的临界、极值问题T3、4 ◆ 斜面上圆周运动的临界、极值问题T6
1.★★(2024广东,5,4分)如图所示,在细绳的拉动下,半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管,管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧底端固定在管底,顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时,插销做匀速圆周运动。若v过大,插销会卡进固定的端盖,使卷轴转动停止。忽略摩擦力,弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止,v的最大值为(　　)
A.r　 B.l　 C.r　 D.l
答案　A　
2.★★(2024届四川成都石室中学5月模拟)如图所示,一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动,紧贴在一起的M、N两物体(可视为质点)随圆盘做圆周运动,N恰好不下滑,M恰好不滑动,两物体与中心轴的距离为r,已知M与N间的动摩擦因数为μ1,M与圆盘间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。μ1与μ2应满足的关系式为(　　)
A.μ1+μ2=1　 B.=1　 C.μ1μ2=1　 D.=1
答案　C　
3.★★★(2025届人大附中检测)(多选)如图所示,竖直放置的管形固定圆轨道半径为R(管径远小于R),小球a、b大小相同,质量均为m,其直径略小于管径,能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度v通过轨道最低点,且当小球a在最低点时,小球b在最高点。重力加速度为g。下列说法正确的是 (　　)
A.速度v满足v≥2,才能使两球在管内做完整的圆周运动
B.当v=时,小球b在最高点对轨道无压力
C.当小球b在最高点对轨道无压力时,小球a所需向心力比小球b所需向心力大5mg
D.只要v>,小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg
答案　ABD　
4.★★★(2024全国甲,17,6分)如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小 (　　)
A.在Q点最大　　　　B.在Q点最小
C.先减小后增大　　　　D.先增大后减小
答案　C　
5.★★★(2025届云南昆明三校联考)(多选)如图甲所示,将质量均为m的物块A、B置于水平转盘的同一直径上,两者用长为L的水平轻绳连接,轻绳恰好伸直但无拉力。已知两物块与转盘之间的动摩擦因数均为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,物块A与转轴的距离等于L,整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动,当转盘以不同角速度匀速转动时,两物块所受摩擦力大小f与角速度ω的二次方的关系图像如图乙所示,重力加速度为g,两物块均可视为质点。下列说法正确的是 (　　)
　
A.由图乙可知,转盘的角速度满足ω1<ω<ω2时,物块A所受摩擦力不变
B.图乙中ω1=
C.∶=2∶3
D.当ω=ω2时,轻绳的拉力大小为
答案　BD　
6.★★★(2025届山东省实验中学月考)(多选)如图所示,在某行星表面有一倾斜的圆盘,绕过圆心且垂直于盘面的转轴以恒定角速度转动,盘面与水平面的夹角为30°,质量为m的小物块(可视为质点)到转轴的距离为L,与圆盘保持相对静止。已知角速度为ω0时,小物块恰好将要相对圆盘滑动,物块与盘面间的动摩擦因数μ=(最大静摩擦力等于滑动摩擦力),行星的半径为R,引力常量为G,忽略该行星自转的影响。下列说法正确的是(　　)
A.当物块以角速度ω0随圆盘匀速转动到最高点时,物块所受摩擦力方向沿盘面向下
B.当物块以角速度ω0随圆盘匀速转动到最高点时,物块所受摩擦力大小Ff=mL
C.该行星的第一宇宙速度v=2ω0
D.该行星的平均密度ρ=
答案　BC　
7.★★★★(2025届云南昆明三校联考)如图所示为一种可测量角速度的简易装置,V形光滑支架可随水平面上的底座绕中轴线OO'旋转,支架两杆与水平面夹角均为θ,两侧的杆长均为1.5L,一原长为L的轻弹簧套在AB杆上,下端固定于杆的B端,另一端与一小球拴接,已知小球的质量为m,重力加速度为g,轻弹簧的劲度系数k=。现让小球随支架以角速度ω匀速转动。
(1)求支架静止时弹簧的长度;
(2)轻弹簧的长度恰为原长时,求支架角速度ω1的大小;
(3)若已知θ=53°,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,L= m,重力加速度g=10 m/s2。小球不能从杆末端A滑脱,则支架角速度ω2的大小应满足什么要求
答案　(1)0.5L　(2)　(3)0<ω2≤ rad/s
实验5　探究平抛运动的特点
1.(2022福建,11,5分)某实验小组利用图(a)所示装置验证小球平抛运动的特点。实验时,先将斜槽固定在贴有复写纸和白纸的木板边缘,调节槽口水平并使木板竖直;把小球放在槽口处,用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O,建立xOy坐标系。然后从斜槽上固定的位置释放小球,小球落到挡板上并在白纸上留下印迹。上下调节挡板进行多次实验。实验结束后,测量各印迹中心点O1、O2、O3…的坐标,并填入表格中,计算对应的x2值。
图(a)
O1 O2 O3 O4 O5 O6
y/cm 2.95 6.52 9.27 13.20 16.61 19.90
x/cm 5.95 8.81 10.74 12.49 14.05 15.28
x2/cm2 35.4 77.6 115.3 156.0 197.4 233.5
(1)根据表中数据,在图(b)给出的坐标纸上补上O4数据点,并绘制“y-x2”图线。
(2)由y-x2图线可知,小球下落的高度y,与水平距离的平方x2成　　　　(填“线性”或“非线性”)关系,由此判断小球下落的轨迹是抛物线。
(3)由y-x2图线求得斜率k,小球平抛运动的初速度表达式为v0=　　　　(用斜率k和重力加速度g表示)。
(4)该实验得到的y-x2图线常不经过原点,可能的原因是 　 。
答案　(1)见解析　(2)线性　(3)　(4)水平射出点未与O点重合
解析　(1)根据题表数据在坐标纸上描出O4数据点,并绘制“y-x2”图线如图所示。
(2)由y-x2图线为一条倾斜的直线可知,小球下落的高度y与水平距离的二次方x2成线性关系。
(3)小球做平抛运动,水平方向有x=v0t,竖直方向有y=gt2,联立可得y=g=x2,可知y-x2图线的斜率为 k=,解得小球平抛运动的初速度表达式为v0=。
(4)y-x2图线是一条直线,但常不经过原点,这是因为小球的水平射出点未与坐标原点O重合,位于坐标原点O上方(或下方),导致实验中所测得的y值偏小(或偏大)。
2.(2019北京,21,18分)用如图1所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上,钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出,落在水平挡板MN上,由于挡板靠近硬板一侧较低,钢球落在挡板上时,钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板,重新释放钢球。如此重复,白纸上将留下一系列痕迹点。
图1
(1)下列实验条件必须满足的有　　　　。
A.斜槽轨道光滑
B.斜槽轨道末段水平
C.挡板高度等间距变化
D.每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
(2)为定量研究,建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。
a.取平抛运动的起始点为坐标原点,将钢球静置于Q点,钢球的　　　　(选填“最上端”“最下端”或者“球心”)对应白纸上的位置即原点;在确定y轴时　　　　(选填“需要”或者“不需要”)y轴与铅垂线平行。
b.若遗漏记录平抛轨迹的起始点,也可按下述方法处理数据:如图2所示,在轨迹上取A、B、C三点,AB和BC的水平间距相等且均为x,测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2,则　　　 (选填“大于”“等于”或者“小于”)。可求得钢球平抛的初速度大小为　　　　(已知当地重力加速度为g,结果用上述字母表示)。
图2
(3)为了得到平抛物体的运动轨迹,同学们还提出了以下三种方案。其中可行的是　　　。
A.从细管水平喷出稳定的细水柱,拍摄照片,即可得到平抛运动轨迹
B.用频闪照相在同一底片上记录平抛小球在不同时刻的位置,平滑连接各位置,即可得到平抛运动轨迹
C.将铅笔垂直于竖直的白纸板放置,笔尖紧靠白纸板,铅笔以一定初速度水平抛出,将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹
(4)伽利略曾研究过平抛运动,他推断:从同一炮台水平发射的炮弹,如果不受空气阻力,不论它们能射多远,在空中飞行的时间都一样。这实际上揭示了平抛物体　　　　。
A.在水平方向上做匀速直线运动
B.在竖直方向上做自由落体运动
C.在下落过程中机械能守恒
(5)牛顿设想,把物体从高山上水平抛出,速度一次比一次大,落地点就一次比一次远。如果速度足够大,物体就不再落回地面,它将绕地球运动,成为人造地球卫星。同样是受地球引力,随着抛出速度增大,物体会从做平抛运动逐渐变为做圆周运动,请分析原因。
答案　(1)BD　(2)a.球心　需要　b.大于　x
(3)AB　(4)B　(5)见解析
解析　(1)研究平抛运动实验,必须满足的条件是钢球以相同的初速度沿水平方向抛出,则无论斜槽是否光滑,只要每次从同一位置无初速度释放钢球,且斜槽轨道末端水平,钢球抛出的初速度就相同且沿水平方向,A错误,B、D正确;实验只需用平滑曲线表示轨迹,挡板高度无需等间距变化,C错误。
(2)a.因为每次压点痕迹位于水平正对球心的位置,故静置于Q点的钢球球心对应的白纸上的位置为原点。坐标系以水平方向为x轴,竖直方向为y轴,故需要y轴与铅垂线平行。
b.在竖直方向上,若初速度为零,则满足=,当竖直方向初速度大于零时,则满足>;根据y2-y1=gt2得t=,而v0=,得v0=x。
(3)水由细管管口水平喷出后,可以看成水做平抛运动,故此法可得到平抛运动轨迹,A正确;平抛小球频闪照片取圆心作为记录点与实验中的痕迹点一致,B正确;铅笔做平抛运动时,因为没有水平压力作用,笔尖不会在白纸上留下平抛运动轨迹,C错误。
(4)因为平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动,由运动的独立性原理可知平抛物体的飞行时间t=由下落高度决定,所以伽利略的推断揭示了平抛物体在竖直方向上做自由落体运动,B正确。
(5)物体初速度较小时,运动范围很小,引力可以看作恒力——重力,物体做平抛运动;随着物体初速度增大,运动范围变大,引力不能再看作恒力;当物体初速度达到第一宇宙速度时,它就围绕地球做圆周运动而成为地球卫星。
3.(2024届江苏南通海安开学考)利用如图甲所示的实验装置来探究平抛运动的特点。(g取10 m/s2)
(1)以下是实验过程中的一些做法,其中合理的有　　　。
A.安装斜槽轨道,使其末端保持水平
B.每次小球释放的初始位置可以任意选择
C.每次小球应从同一高度由静止释放
D.为描出小球的运动轨迹,描绘的点可以用折线连接
(2)该实验中,在取下坐标纸前,应确定坐标原点O,并建立直角坐标系。下列关于图像坐标原点和坐标系的选择正确的是　　　。
　　
(3)图乙是根据实验画出的平抛小球的运动轨迹,在轨迹上取三个水平距离相等的点A、B和C,相邻两点间的水平距离均为Δx=20.0 cm。以A点为坐标原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴,测得B、C两点竖直坐标y1=15.0 cm,y2=40.0 cm,则小球平抛的起点O的坐标为　　　　　　　。
　　
(4)以平抛起点O为坐标原点,在轨迹上取一些点,测量它们的水平坐标x和竖直坐标y,作出如图丙所示的y-x2图像,图线的斜率为k,重力加速度为g,则平抛小球的初速度为　。
(5)如图丁所示,在斜槽的末端放置一倾斜的长板,某小组测得小球在O点处的水平速度v0及O点至落点的射程x,记录的数据如表,则斜面的倾角θ=　　　。
序号 1 2 3 4
v0(m/s) 0.5 1 2 3
x(m) 0.05 0.2 0.8 1.8
答案　(1)AC　(2)C　(3)(-20 cm,-5 cm)　(4)　(5)45°
实验6　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
1.[2023浙江1月,16Ⅰ(2)]“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。
①采用的实验方法是　　　　;
A.控制变量法
B.等效法
C.模拟法
②在小球质量和转动半径相同的情况下,逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的　　　　之比(填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”);在加速转动手柄过程中,左右标尺露出红白相间等分标记的比值　　　　(填“不变”“变大”或“变小”)。
答案　①A　②角速度平方　不变
2.(2024届广西桂林一模)某实验小组为了验证小球所受向心力与角速度、转动半径的关系,设计了如图甲所示的实验装置,转轴MN由电动机带动,转速可调,固定在转轴上O点的力传感器通过轻绳连接一质量为m的小球,一根固定在转轴上的光滑水平直杆穿过小球,保证小球在水平面内转动,直杆最外边插一小遮光片P,小球每转一周遮光片P通过右边光电门时可记录遮光片最外边的挡光时间,某次实验操作如下:
(1)用螺旋测微器测量遮光片P的宽度d,测量结果如图乙所示,则d=　　　　mm。
(2)如图甲所示,安装好实验装置,用刻度尺测量遮光片最外端到转轴上O点的距离,记为L1,测量小球球心到转轴上O点的距离,记为L2。开动电动机,让小球转动起来,某次遮光片通过光电门时光电门计时为t,则小球此时的角速度等于　　　　(用字母d、t、L1、L2中的部分字母表示)。
(3)验证向心力与转动半径的关系时,让电动机匀速转动,遮光片P每次通过光电门的时间相同,调节小球球心到转轴上O点的距离L2,测出每一个L2的长度以及其对应的力传感器的读数F,得出多组数据,画出F-L2的关系图像应该为　　　　。
　　
(4)验证向心力与角速度关系时让小球球心到转轴上O点的距离L2不变,调节电动机的转速,遮光片P每次通过光电门的时间不同,记录某次挡光时间t,同时记录此时力传感器的读数F,得出多组F与t的数据,为了准确验证小球所受向心力与角速度的关系,利用实验数据应画出　　　　(选填“F-t”“F-t2”“F-”或“F-”)关系图像。
答案　(1)1.880(1.879、1.881也正确)
(2)　(3)A　(4)F-
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