北京市朝阳市北京市陈经纶中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（图片版，无答案）

2025北京陈经纶中学高二 4月月考
数 学
一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）
n
1. (x + 2) 的展开式共有 11 项，则 n等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．8
2．某学校在“3.14 数学日”安排了 4 场数学科普讲座，其中讲座 A只能安排在第一或最后一场，讲座 B
和C 必须相邻，则不同的安排方法共有（ ）种
A．4 B．6 C．8 D．12
5
3. 在 (x 2) 的展开式中， x2 的系数为（ ）
A. -40 B. 40 C. -80 D. 80
x2 + 2x 3, x≤0,
4. 函数 f (x) = 的零点的个数为（ ）
ex 2, x 0
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5．若直线 y = kx 为曲线 y = ln x的切线，则实数 k的值是（ ）
1 1
A．e B． e2 C． D．
e e2
6．对于函数 f (x) = ax2 + cos x 1， f ( x)在 (0,+ )上单调递增的必要不充分条件是（ ）
1 1
A． a 0,+ ) B．a ,+ C． a ,+ D．a (1,+ )
2 2
7．某高中举办 2025 年读书节活动，设有“优秀征文” “好书推荐语展示”和“演讲”三个项目. 某班级有 4 名
同学报名参加，要求每人限报一项，每个项目至少 1 人参加，则报名的不同方案有（ ）
A．12 种 B．36 种 C．48 种 D．72 种
1
8.已知 x, y 为正实数， ln x + ln y = x ，则（ ）
y
A． x＞ y B． x＜ y C． x + y＞1 D． x + y＜1
9．如图，直线 y = kx + m 与曲线 y = f (x)相切于两点，则函数 g(x) = f (x) kx在 (0,+ )上的极大值点个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
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10．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究兴趣．如图，由
“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
C2 2 2 2A． 3 +C4 +C5 + +C9 =120
B．第 2023 行中从左往右第 1013 个数与第 1014 个数相等
C．记第 n行的第 i 个数为 ai , i =1,2,3 n +1，则
20 a + 21a + 221 2 a3 + + 2
n a n n+1 = 4
D．第 20 行中第 8 个数与第 9 个数之比为8 :13
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）
x
11. 已知函数 f (x) = e ln (2x)， f (x)为 f ( x)的导函数，则 f (1)的值为 .
12. 已知 (2+ x)4 = a + a x + a x2 + a x3 + a x4 ，则0 1 2 3 4 a1 + a2 + a + a = _____.（结果用数字作答） 3 4
1 3 1 2
13．已知函数 f (x) = x ax +b ，若 f (x) 在区间 [0,1] 上单增且最大值为 0，写出一组符合要求的
3 2
a,b . a= ，b= .
14．根据“援疆支教”工作的要求，某学校决定派出五位骨干教师对新疆三个地区进行教学指导，每个地区
至少派遣一位骨干教师，其中甲、乙两位教师需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为__________
（用数字作答）．
15．若存在实数 k 和m使得函数 f (x)和 g (x)对其公共定义域上的任意实数 x都满足：
g (x) kx +m f (x)恒成立，则称此直线 y = kx + m 为 f (x)和 g (x)的“分离直线”.当 f (x) = x2 和
g (x) = alnx 之间存在唯一的“分离直线” y = 2 ex e时,a = ；若
f (x) = x2 和
1
g (x) = (x 0)之间存在“分离直线”，m的最小值为 .
x
三、解答题（共 3 小题，满分 45 分）
16.（本题满分 15 分）
ax
已知函数 f (x) = 1， a 0 .
ex + a
（Ⅰ）当 a =1时，
①求曲线 y = f (x) 在 x = 0 处的切线方程；
②求证： f (x) 在 (0,+ )上有唯一极大值点；
（Ⅱ）若 f (x) 没有零点，求 a的取值范围.
17. （本题满分 15 分）
设函数 f (x) = a ln x + x2 (a + 2)x ，其中 a R ．
(Ⅰ)当 a 0 时，求函数 f (x) 的单调区间；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，证明曲线 f (x) 在曲线 g(x) = x2 2x 2的上方；
(Ⅲ)已知导函数 f '(x)在区间(1, e)上存在零点,证明:当 x (1,e) 时, f (x) e2 ．
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18.（本题满分 15 分）
对于一个递增正整数数列 an ，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规
定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合 1,2, ,n 的所有交错数列的个数记为
An ．例如，当 n =1时，取自集合 1 的交错数列只有 1 一种情况，则 A1 =1；当 n = 2时，取自集合 1, 2 的
交错数列有 1 和 1，2 两种情况，则 A2 = 2．
(1)求 A3和 A4 的值；
(2)证明：取自集合 1,2, ,n (n 3)的首项不为 1 的交错数列的个数为 An 2 ；
(3)记数列 A 的前 nn 项和为 Sn ，求使得 Sn 2025成立的n的最小值．
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