北京市第八十中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（图片版，含答案）

北京市第八十中学 2024-2025 学年第二学期 4 月阶段测评
高二数学学科-参考答案
一、选择题（每题 4 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5
答案 D C C D A
题号 6 7 8 9 10
答案 B C D C B
二、填空题（每题 4 分，共 24 分）
题号 11 12 13 14 15 16
（-1, ln 2）；
答案 1 -3 37 108 （e, 2e2 ）
（e, +∞）
三、解答题（共 3 题，共 36 分）
17.
1 1
（1）单调递增区间为（-∞，- ）和（1，+∞），单调递减区间为（- ， 1） （2）-8
3 3
18.
（1）切线方程为 y=2 （2）a∈（0，e-2）
19.
（1）单调递减区间为（-∞，a-1），单调递增区间为（a-1，+∞） （2）a 的取值集合为｛1｝
（3）要证明 f (x)+ ex x + lnx + 2，
即证明 xe
x + ex x lnx 2 a (ex 1)，
x x
因为 a 1，且 x 0 ，所以a (e 1) e 1，
故只需证明 xex + ex x lnx 2 ex 1，即 xex x lnx 1 0．
1 1
设 g (x) = xex x lnx 1，则 g (x) = (x +1)ex 1 = (x +1) ex ．
x x
1 3
易知 g ( x)在 (0,+ )上单调递增，且 g = ( e 2) 0， g (1) = 2(e 1) 0，
2 2
1 x 10
所以存在唯一的 x ,1 ，使得 g (x ) = 0，即 e = ， x0 = lnx0 0 x 0 ． 2 0
当0 x x0 时， g (x) 0，当 x x0时， g (x) 0，
1 / 2
所以 g (x)在 (0, x0 )上单调递减，在 ( x0 ,+ )上单调递增．
x 1
所以 g (x) g (x 00 ) = x0e x0 lnx0 1= x0 x0 + x0 1= 0，
x0
故原命题成立．
2 / 2