专题29 函数综合压轴题（32题）
一、单选题
1．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③；
④；
⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论：
①；
②当时，；
③当时，；
④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
二、填空题
4．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
5．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ．
①函数是“倍值函数”；
②函数的图象上的“倍值点”是和；
③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是；
④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为．
7．（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为 ．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）
①
②当时，代数式的最小值为3
③对于任意实数，不等式一定成立
④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有
三、解答题
8．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．
(1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
9．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
(1)________；
(2)如图，已知点A的坐标是．
①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值；
②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标．
11．（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，
当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下：
/mL 0 40 100 200 300 400 500
/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）；
②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）．
12．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
(1)直接写出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．
13．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围．
14．（2024·江苏苏州·中考真题）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，．
(1)求图象对应的函数表达式；
(2)若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标；
(3)如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式．
15．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
(3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
16．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
(1)求的值；
(2)比较与的大小．
17．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
(1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）；
(2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
18．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；
(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
19．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
(3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值．
20．（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标；
(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，的长为d．
①求d关于n的函数解析式；
②L与x轴围成的区域记为U，U与内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．
21．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标．
22．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．
(3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值．
23．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标；
(3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．
①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；
②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
25．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．
(1)求函数的“升幂函数”的函数表达式；
(2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标；
(3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为．
①若点与点重合，求的值；
②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式；
③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值．
28．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
29．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”．
(1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
30．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2；
(3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结．
①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积；
②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
31．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标；
(3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式．
32．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)连接，交于点，求的最大值．
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一、单选题
1．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③；
④；
⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤；
【详解】解：①抛物线开口向上，，，
∴当时，，故①不符合题意；
②∵抛物线过点，
∴函数的最小值，
∴有两个不相等的实数根；
∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意；
③∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，且，
∴，而，
∴，
∴，故③不符合题意；
④∵抛物线过点，
∴，
∵时，，
即，
当时，，
∴，
∴，
∴，故④符合题意；
⑤∵，，
∴，
由根与系数的关系可得：，，
∴
∴，
∴，故⑤符合题意；
故选：C．
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可．
【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，
四边形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
点、的横坐标分别为、，
，．
，，，
设，则，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
点、在轴的同侧，且点在点的右侧，
．
．
故选：B．
3．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论：
①；
②当时，；
③当时，；
④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
【答案】D
【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④．
【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，，
作于点，
是等边三角形，点在边上，，
，，
，，
，
，
故①正确；
当时，，，
，
是等边三角形，
，
，
故②正确；
当时，且时，最小，
，，
，
最小为，即能取到，
故③错误；
动点沿匀速运动时，
，，
，，，
当时，，
；
当时，，，
；
，
；
同理，当时，，
，
，
，
；
故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键．
二、填空题
4．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解．
【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且．
∴对称轴为直线， ，
∵，
∴，故①错误，
∵
∴，即，两点之间的距离大于
又∵
∴时，
∴若，则，故②正确；
③由①可得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为
∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，取得最大值为，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
又，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
故答案为：②③④．
5．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题．
【详解】解：点A在直线上，且点A的横坐标为4，
点A的坐标为，
，
当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，
由对称性质可知，，
当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，
由对称性质可知，，
作于点，有，
设，则，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
，，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况．
6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ．
①函数是“倍值函数”；
②函数的图象上的“倍值点”是和；
③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是；
④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为．
【答案】①③④
【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值问题．根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可．
【详解】解：①函数中，令，则，无解，故函数不是“倍值函数”，故①说法错误；
②函数中，令，则，
解得或，
经检验或都是原方程的解，
故函数的图象上的“倍值点”是和，故②说法正确；
③在中，
令，则，
整理得，
∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，
∴且，
解得且，故③说法错误；
④在中，
令，则，
整理得，
∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”，
∴，
整理得，
∴对称轴为，此时n的最小值为，
根据题意分类讨论，
，解得；
，无解；
，解得或（舍去），
综上，k的值为0或，故④说法错误；
故答案为：①③④．
7．（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为 ．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）
①
②当时，代数式的最小值为3
③对于任意实数，不等式一定成立
④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有
【答案】①③④
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次函数的性质是解本题的关键．
由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意；
【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，
而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．
∴，
∴，故①符合题意；
∴，
∴
，
，
∵，
∴当时，取最小值，故②不符合题意；
∵，
∴对称轴为直线，
∵，
当时，函数取最小值，
当时，函数值为，
∴，
∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意；
当时，
∵，
∴，
∴，
当时，满足，
∴，
∴，
当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意；
综上：符合题意的有①③④；
故答案为：①③④．
三、解答题
8．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．
(1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
【答案】(1)菱形
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为；
（3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即．
【详解】（1）解：如图所示，连接
∵都是等边三角形，
∴，
∴四点共圆，
∵点E是的中点，
∴，
∴为过的圆的直径，
又∵，
∴为过的圆的直径，
∴点H为圆心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）解：∵都是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等边三角形，
过点E作，
∴设，则，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接，
∵都是边长为的等边三角形，
∴，，
∴由勾股定理可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．
9．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④．
【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点，
，两个函数的对称轴均为直线，
即，
解得：，故①正确；
②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
，
由函数的对称性可知，
在和中，
，
，
，故正确②；
③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，
由①可知两个函数的解析式分别为，，
，，
，
点，
，
，
由，
此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为，
点的横坐标为，
，点的横坐标为，
，，
，，
周长的最小值为，故正确④；
故选：D．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
10．（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
(1)________；
(2)如图，已知点A的坐标是．
①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值；
②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标．
【答案】(1)3
(2)①；②1或或
【分析】（1）当时，，即；
（2）①先求出解析式为，可知对称轴为直线：，当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得；②在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或．
【详解】（1）解：当时，，即；
（2）解：①将点A代入
得，，
解得：，
∴解析式为：，
而，
∴对称轴为直线：，
当，且时，
∴y随着x的增大而减小，
∴当，，当时，，
由得，，
解得：或（舍）
∴；
②在中，，
由题意得，，，
∴四边形为平行四边形或等腰梯形，
当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
将点代入，
得：，
解得：或（舍），
∴；
当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，
即；
当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，
∵
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点P代入，
得：，
解得：或，
而当时，，故舍，
∴，
综上：点P的横坐标为1或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，
当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下：
/mL 0 40 100 200 300 400 500
/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）；
②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)1.0
(2)见详解
(3)1.2，8.5
【分析】本题考查了函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，则可求，代入即可求解；
（2）画与之间的关系图象时，描点，连线即可，画与的关系图像时，由于是正比例函数，故只需描出两点即可；
（3）①当时，，由图象可知高度差；②在左右两侧找到等距的体积所对应的高度相同，大致为．
【详解】（1）解：由题意得，设V与的函数关系式为：，
由表格数据得：，
解得：，
∴，
∴当时，，
∴；
（2）解：如图所示，即为所画图像，
（3）解：①当时，，由图象可知高度差，
故答案为：1.2；
②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为，
故答案为：．
12．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
(1)直接写出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．
（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组即可；
（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，当时，，对称为直线，开口向上，故时，y随着x的增大而增大；当时，，，故时，y随着x的增大而增大；
Ⅱ：问题转化为抛物线与直线在时无交点，考虑两个临界状态，当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点；当，，故当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点，当或时，抛物线与直线在时没有交点，即方程无解；
Ⅲ： 可求点P、Q关于直线对称，当，，当时，，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，故①当，由题意得：，则；②当，由题意得：，则，综上：或．
【详解】（1）解：∵，
∴将，代入，
得：，
解得：，
∵，
∴将，代入
得：，
解得：；
（2）解：Ⅰ，∵，
∴一次函数解析式为：，二次函数解析式为：
当时，，对称为直线，开口向上，
∴时，y随着x的增大而增大；
当时，，，
∴时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围：或；
Ⅱ，∵，
∴，在时无解，
∴问题转化为抛物线与直线在时无交点，
∵对于，当时，
∴顶点为，如图：
∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点，
∴当时，抛物线与直线在时没有交点；
当，，
∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点，
∴当时，抛物线与直线在时没有交点，
∴当或时，抛物线与直线在时没有交点，
即：当或时，关于x的方程（t为实数），在时无解；
Ⅲ：∵，
∴，
∴点P、Q关于直线对称，
当，，当时，，
∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，
∴①当，如图：
由题意得：，
∴；
②当，如图：
由题意得：，
∴，
综上：或．
13．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围．
【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点D的坐标为；
(2)点M的坐标为；
(3)的取值范围为．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作点B关于原点的对称点，连接交轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可；
（3）以为边在的下方作等边三角形，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可．
【详解】（1）解：由于抛物线经过点和点，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：∵点，对称轴为直线，
∴点，
∵，，
∴长为定值，
作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M，
则，
∴，此时的周长最小，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点M的坐标为；
（3）解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，，
∵等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴点在以为圆心，1为半径的上，
，
当点在线段上时，有最小值为；
当点在射线上时，有最大值为；
∴的取值范围为．
【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
14．（2024·江苏苏州·中考真题）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，．
(1)求图象对应的函数表达式；
(2)若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标；
(3)如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为
(3)
【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）可求对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．作直线，交直线l于点H．（如答图①）由二次函数的对称性得，， ，由，得到，设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为，，，故有，解得，（舍去），故点P的坐标为；
（3）连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J，（如答图②），则四边形为矩形，设对应的函数表达式为，可求，，则，，，而，则．设，则，，，即，可得，故，则，则①，由点F在上，得到，化简得②，由①，②可得，解得，因此，故的函数表达式为．
【详解】（1）解：（1）将，代入，得，
，
解得：
对应的函数表达式为：；
（2）解：设对应的函数表达式为，将点代入
得：，
解得：．
对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．
又图象的对称轴也为直线，
作直线，交直线l于点H（如答图①）
由二次函数的对称性得，，
∴．
又，而
．
设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为．
将代入，得，
将代入，得．
，，
即，解得，（舍去）．
点P的坐标为；
（3）解：连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J．（如答图②）
，轴，轴，
四边形为矩形，
，．
设对应的函数表达式为，
点D，E分别为二次函数图象，的顶点，
将分别代入，
得，
∴，，
，，．
在中，．
，
．
又，
．
．
设，则，．
，
．
，
．
，
．
又，
，
①
点F在上，
，
即．
，
②
由①，②可得．
解得（舍去），，
．
的函数表达式为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，矩形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
15．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
(3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点坐标为，，补图见解析
(3)、、、
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据平行线的性质可得，求得，进而分别求得，，根据可得，设直线交轴于点，则，．进而可得，的解析式为，，连接交抛物线于，连接交抛物线于，进而联立抛物线与直线解析式，解方程，即可求解．
（3）①以为对角线，如图作的垂直平分线交于点交直线于，设，根据两点距离公式可得，根据中点坐标公式可得，②以为边，如图以为圆心，为半径画圆交直线于点，；连接，，根据勾股定理求得，进而得出，，根据平移的性质得出，，③以为边，如图以点为圆心，长为半径画圆交直线于点和，连接，，则，过点作于点，则，在和中，由勾股定理得，则、，根据，可得，过点作，过作，和相交于点，的中点．根据中点坐标公式可得；
【详解】（1）解：∵把点，代入得
，
解得，
∴．
（2）存在．
理由：∵轴且，
∴，
∴（舍去），，
∴．
过点作于点，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
设直线交轴于点，
，，
∴，．
连接交抛物线于，连接交抛物线于，
∴，的解析式为，，
∴，解得，
或，解得．
∴把，代入得，，
∴，．
综上所述，满足条件的点坐标为，．
（3）、、、．
方法一：
①以为对角线，如图作的垂直平分线交于点交直线于
∵，，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
．
②以为边
如图以为圆心，为半径画圆交直线于点，；连接，，
过点作，过点作，和相交于点，同理可得
，，
，
．
过点作直线于点，则；
在和中，由勾股定理得，
，
，．
点是由点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
，，
③以为边
如图以点为圆心，长为半径画圆交直线于点和，
连接，，则，
过点作于点，则，在和中，由勾股定理得，
，
、，
，
，
、、三点共线，
过点作，过作，
和相交于点，
∵、，
的中点．
，点为的中点，
．
综上所述：、、、．
16．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
(1)求的值；
(2)比较与的大小．
【答案】(1)
(2)当时，；当时， ．
【分析】（1）由对称轴为直线直接求解；
（2）当时，；当时， ．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴；
（2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴，
而
代入得：，
∴，
∴，
∵，
解得：，
当时，
∴；
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对进行降次处理．
17．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
(1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）；
(2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)图见解析（答案不唯一）
(3)或
【分析】（）根据平移的性质，进行求解即可；
（）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求；
（）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵是线段的四等分点．，
∴，
∴，
∴线段的平移图形是，；
故答案为：，；
（2）解：如图所示，即为所求；
由作图可知：，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∴即为所求；
（3）∵点的坐标分别是、、，
∴，
∵对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且，
∴，
当在圆外，点在轴上，时，
∴，，
∴，
当在圆内，点在轴上，时，
∴，，
∴，
综上：或．
【点睛】本题考查图形的平移，点到圆上一点的最值，坐标与图形，勾股定理，菱形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键．
18．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；
(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值，．
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式；
（2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案；
（3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴，
∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，
∴
即
（2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
联立与得到
，
解得，
则
（3）解：由（1）可得，，与联立得到，，
解得，
此时
∴点C的坐标为，
∵点M的横坐标为m，且在上，
∴
即点M的坐标为
设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
与联立得到，
，
整理得到，
则，
即，
即，
即为定值．
19．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
(3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可；
（3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：抛物线过点
得
解得
抛物线的表达式为
顶点；
（2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．
设直线的表达式为
由题意知
解得
直线的表达式为
的面积为12
，
，
解得（舍）
点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将代入
得
解得．
（3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且
抛物线的顶点
，
易得
当时，
点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小
最近距离即边上的高，高为：
面积的最小值为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键．
20．（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标；
(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，的长为d．
①求d关于n的函数解析式；
②L与x轴围成的区域记为U，U与内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)
(2)点M的横坐标为
(3)①；②或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设，作轴于点，构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关于的方程求解即可；
（3）①由二次函数平移可得出图象的解析式为，从而得到，再分类讨论去绝对值即可；
②根据题干条件得出整数点，，，再分别两两进行分类讨论，建立二次函数不等式即可解决．
【详解】（1）解：二次函数与轴交于，
，
解得：；
（2），
二次函数表达式为：，
令，解得或，令得，
，，，
设，
作轴于点，如图，
，
，即，
解得或（舍去），
的横坐标为；
（3）①将二次函数沿水平方向平移，
纵坐标不变为4，
图象的解析式为，
，
，
；
②由①得，画出大致图象如下，
随着增加而增加，
或，
中含，，三个整点（不含边界），
当内恰有2个整数点，时，
当时，，当时，，
，
，或，
，
或，
；
当内恰有2个整数点，时，
当时，，当时，，
，
或，，
，
或，
；
当内恰有2个整数点，时，此种情况不存在，舍去．
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，包括用待定系数法求二次函数表达式及二次函数与线段交点的问题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及数形结合法是解题关键．
21．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
（1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故，再由，进而计算可以得解；
（３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上，
∴．
∴反比例函数表达式为．
又在反比例函数上，
∴．
∴．
设一次函数表达式为，
∴，
∴，．
∴一次函数的表达式为．
（2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为，
∴，．
∴，，
∴；
（3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长．
∵与关于y轴对称，
∴为．
又，设的解析式为，
则，解得，
∴直线为．
令，则．
∴．
22．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．
(3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令时，，求出，进一步求出直线的解析式为，设，则，表示出，，利用，可得，可得；
（3）由得到，进而得到，作交y轴于N，作轴交于Q，求出直线的解析式为，进而得到，求出，再证明，设，则，得到，得到，即可得到此时，点P的坐标为，点Q的坐标为，求出，，证明，得到，由即可求出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为．；
（2）解：∵当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∵轴于点D，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，（此时，重合，不合题意舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵，
，
∴，
，
作交y轴于N，作轴交于Q，
直线的解析式为，，
直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
∴,，
，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
，
设，则，
∴，
，
∴当时，有最大值，
此时，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
23．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点或或或或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）先求出点，再分类求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）解：存在，理由：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
24．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标；
(3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．
①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；
②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；②的面积为定值
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①根据题意得出，得出直线的解析式为，联立得出，在直线上；②设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解．
【详解】（1）解：将，代入得，
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：对于，令，
解得：
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则
∴，
∴
解得：（舍去）或
∴
（3）①点与点重合，则，
∵点为中点，，
∴,
设直线的解析式为，代入,
∴
解得：
∴
联立
解得：或
∴，在直线上
即，，三点共线；
②设，
∵，，三点共线；
∴设的解析式，
联立
消去得，
∴
∵，
设直线解析式为，直线的解析式为
联立
解得：
∴
∵，
∴，
∴
而不为定值，
∴在直线上运动，
∴到轴的距离为定值，
∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的，
∴的面积为是定值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，；时，；时，
(3)存在，或或或或或
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；
（2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可；
（3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：∵，都在该二次函数的图象上，
∴，，
∴，
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
（3）解：设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
当为正方形的边时，
①∵，
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H，
∵轴，
∴，
∴，则，
设，则，
∴，
∴点N的纵坐标为，
即，
∵以，，，为顶点的四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
③如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形，过点P作于点K，
易得，
∴，
设，则，
和①同理可得：，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，则，
∴，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
⑥如图：构造，
同理可得：，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上：或或或或或
．
【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
26．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①该二次函数的解析式为：；，
②存在，P点横坐标为：或或
【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得；
（2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，；
②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：∵的图像经过，
∴，
∴和关于对称轴对称，
∴，
，
，
∴，．
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∵解得，
∵，且，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为：，
当时，，
解得，，
∴， ．
②设直线的表达式为：，
则，
解得，
∴直线的表达式为：，
当点P在点A右侧时，作于F，如图所示：
设，则，，
则，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，，
∴点P横坐标为或；
当点P在点A左侧时，作于F，如图所示：
设，则，，
则，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，（舍去），
∴点P横坐标为，
综上所述，P点横坐标为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键．
27．（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．
(1)求函数的“升幂函数”的函数表达式；
(2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标；
(3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为．
①若点与点重合，求的值；
②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式；
③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①或；②；③或
【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解，
（2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解，
（3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解，
【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化．
【详解】（1）解：根据题意得：，
故答案为：，
（2）解：设点，则，
∵，在点上方，
∴， 解得：，
∴；
（3）解：①根据题意得：，则，
∵点与点重合，
∴，解得：或，
②根据题意得：，
∴对称轴为，、关于对称轴对称，
∵，则，
∴，解得：，
∴，，
∵点在点的上方，
∴，解得：，
∴，
当，点在点右侧时，，，
当，点在点左侧时，，，
∴，
③∵，
∴，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，，，
当时，直线与函数的图象有3个交点，
当时，直线与函数的图象有2个交点，
直线与函数交于、两点，，即：，
∴，，，
直线与函数交于、两点，，即：，
∴，，，
∵，
∴，整理得：，
当时，
，解得：或（舍），
∴，
∴，解得：，
∴，
或．
28．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可；
（3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，，代入函数解析式得：
∴，解得：；
∴；
（2）∵，，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
设，则：，
∴，，，
∴，
∴
，
∴当时，的最大值为；
（3）存在：
令，
解得：，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，
则：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，则：，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
29．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”．
(1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可；
（2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，根据直线上存在点P是图形的“延长2分点”，得到直线与有交点，进而得到当过点时，值最小，进行求解即可；
（3）作以原点为位似中心，位似比为的位似，得到与有交点，求出与相切以及与相切，两种情况求出的临近值，即可得出结果．
【详解】（1）解：作线段以原点为位似中心，位似比为的位似图形，
∵，，
∴，，
∵点是图形的“延长2分点”，
∴点在线段上，
∵在线段上，
∴是图形的“延长2分点”；
故答案为：；
（2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，如图，
∵，，
∴，，
∵直线上存在点P是图形的“延长2分点”，
∴直线与有交点，
∴当过点时，值最小，
把，代入，得：，
∴的最小值为；
（3）作以原点为位似中心，位似比为的位似，
∵，，，
∴，，，
∵等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”，
∴当与有交点时，满足题意，
当与相切时，如图，则：或，
∴时，满足题意；
当与相切时，且切点为，连接，则：，
∵为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
∵，，，
∴轴，
∴，
∵以为圆心，半径为1的，
∴点在直线上，，
∴，
∴，
∴或，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
30．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2；
(3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结．
①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积；
②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)①；②或或
【分析】（1）将代入，解方程即可；
（2）过点B作于点H，由题意得，则，，因此；
（3）①记交于点M， ，而对称轴为直线，则，解得：，则，，由，得，则，因此；
②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F，则，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，符合题意；当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意， 过点F作于点Q，由，得到，解得：或（舍），故，当时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，故；当m继续变小，直线经过点F时，也符合题意， 过点F作于点Q，同上可得，，解得：或（舍），当m继续变小时，仍符合题意，因此，故m的取值范围为：或或．
【详解】（1）解：将代入，
得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：；
（2）解：过点B作于点H，则，
由题意得：，
∴，，
∴在中，；
（3）解：①如图，记交于点M，
由题意得，，
由，
得：对称轴为直线：
∵四边形是菱形，
∴点A、C关于对称，，
∵与此抛物线的对称轴重合，
∴，
解得：，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，则，
∴；
②记抛物线顶点为点F，把代入，得：，
∴，
∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，
当时，如图，符合题意，
当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图：
过点F作于点Q，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴，
当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；
当时，如图，符合题意：
当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图：
∴；
当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图：
过点F作于点Q，同上可得，
，
∴，
解得：或（舍），
当m继续变小时，仍符合题意，如图：
∴，
综上所述，m的取值范围为：或或．
【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键．
31．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标；
(3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）分别令，解方程，即可求解；
（2）分别求得直线，根据得出的解析式，设，进而求得点的坐标，进而根据平分线段，则的中点在直线上，将点的坐标代入直线解析式，即可求解．
（3）过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，先求得点的坐标，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线解析式，设，， 根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，，进而求得，代入，化简后得出，即，进而即可求解．
【详解】（1）解：由，
当时，，则
当，
解得：
∵在的右边
∴，，
（2）解：设直线的解析式为
将，代入得，
解得：
∴直线的解析式为
∵
设直线的解析式为
∵在第三象限的抛物线上
设，
∴
∴
∴
设的中点为，则
由，，设直线的解析式为，
将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∵平分线段，
∴在直线上，
∴
解得：（舍去）
当时，
∴；
（3）解：如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴
∴
∴
即
∵点与原点关于点对称，
∴,
设直线的解析式为，直线的解析式为
联立直线与抛物线解析式可得，，
即
联立直线与抛物线解析式可得，
即
设，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
将代入得：
∴，
∴，
∴直线解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
32．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)连接，交于点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可；
（3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得，
该抛物线的解析式为：；
（2）解：二次函数中，令，则，
，
设直线的解析式为：．将，代入得到：
，解得，
直线的解析式为：，
过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，
，，
，
点在直线下方的抛物线上，
；
（3）解：如图1，
当时，
作，交于，
，
，
把代入得，
，
，
，
当时，，
，
，
如图2，
当时，
此时，
，
时，随着的增大而增大，
没有最大值，
没有最大值，
如图3，
当时，
，
当时，随着的增大而减小，
没有最大值，
没有最大值，
如图4，
当时，
由上可知，
没有最大值，
综上所述：当时，．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
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