【备考2025】中考数学真题2022-2024分类精编精练14相似三角形（含解析）

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【备考2025】中考数学真题2022-2024分类精编精练14相似三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．（2022·浙江丽水·）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2023·浙江嘉兴·）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
3．（2024·浙江·）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江舟山·）如图，在和中，，点A在边的中点上，若，，连结，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
5．（2022·浙江绍兴·）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A． B． C．10 D．
6．（2022·浙江衢州·）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·浙江嘉兴·）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）

A．12 B．14 C．18 D．24
8．（2023·浙江·）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
9．（2022·浙江湖州·）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ）
A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC
10．（2023·浙江金华·）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
11．（2023·浙江绍兴·）如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（ ）

A．的面积 B．的面积
C．的面积 D．的面积
12．（2023·浙江绍兴·）如图，正方形中，，点E在边上，是的中点，点H在边上，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022·浙江杭州·）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= m．
14．（2023·浙江·）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：

15．（2021·浙江嘉兴·）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为 ．
16．（2023·浙江宁波·）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．

17．（2023·浙江杭州·）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．

18．（2023·浙江绍兴·）如图，中，于点，则的最大值为 ．
三、解答题
19．（2023·浙江温州·）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．

(1)求证：．
(2)当，时，求的长．
20．（2023·浙江绍兴·）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．

(1)如图1，求边上的高的长．
(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点．
①如图2，当点落在射线上时，求的长．
②当是直角三角形时，求的长．
21．（2023·浙江衢州·）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．

(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)令，．
①求证：；
②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值．
22．（2023·浙江湖州·）【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．
【变式求异】
（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．

23．（2023·浙江绍兴·）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结．
(1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长．
(2)如图2，若，设与交于点K．求证：．
(3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【考点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故选：C
【点评】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
2．【考点】求位似图形的对应坐标
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
3．【考点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
4．【考点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】过点E作EF⊥BC，交CB延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G，根据等腰直角三角形的性质可得，∠BED=45°，进而得到，，，再证得△BEF∽△ABG，可得，然后根据勾股定理，即可求解．
解：如图，过点E作EF⊥BC，交CB延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G，
在中，∠BDE=90°，，
∴，∠BED=45°，
∵点A在边的中点上，
∴AD=AE=1，
∴，
∴，
∵∠BED=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵∠ABC=∠F=90°，
∴EF∥AB，
∴∠BEF=∠ABG，
∴△BEF∽△ABG，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故选：D
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
5．【考点】利用矩形的性质求角度、相似三角形的判定与性质综合
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
解：当△DFE∽△ECB时，如图，
∴，
设DF=x，CE=y，
∴，解得：，
∴，故B选项不符合题意；
∴，故选项D不符合题意；
如图，当△DCF∽△FEB时，
∴，
设FC=m，FD=n，
∴，解得：，
∴FD=10，故选项C不符合题意；
，故选项A符合题意；
故选：A
【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
6．【考点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质
【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，由此即可判断选项B；先假设可得，再根据角的和差可得，从而可得，由此即可判断选项C；先根据等腰三角形的判定可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据等量代换即可判断选项D．
解：由题意可知，垂直平分，，
，则选项A正确；
，
，
，，
，，
，，
，
，则选项B正确；
假设，
，
又，
，
，与矛盾，
则假设不成立，选项C错误；
，，
，
在和中，，
，
，即，
，则选项D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键．
7．【考点】相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质、根据三角形中线求面积
【分析】连接，由点是的重心，点是边的中点，可得点在一条直线上，且，，通过可得，从而得到，通过，可得，再根据四边形的面积为6，可得出，进而可得出的面积．
解：如图所示，连接，
，点是的重心，点是边的中点，
点在一条直线上，且，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
8．【考点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合
【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
解：如图，连接，
点P是的重心，点D是边的中点，P在上，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为m，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为6，
，
，
的面积为9，
的面积是18．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．
9．【考点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、由平行判断成比例的线段、求角的正切值
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得，进而判断B，根据折叠的性质可得，进而判断C选项，根据勾股定理求得的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项
解：BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，
故A选项正确，
将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，
，
,
故B选项正确，
,
∴EG∥HF，
故C正确
设，则，
，
即
，同理可得
若
则
，
，
不平行，
即不垂直，
故D不正确．
故选D
【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
10．【考点】根据正方形的性质求面积、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合
【分析】设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可．
解：∵四边形是正方形，且，
设，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
同理，即，
∴，
同理，
∴，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
11．【考点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行线间距离解决问题
【分析】如图所示，连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解．
解：如图所示，连接，

∵，，
∴，，，．
∴，．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，等面积转换．
12．【考点】梯形中位线定理、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】首先过点作，连接数、，延长到点，使，连接，根据可得，利用可证，再利用可证，从而可得，利用勾股定理可得，利用梯形中位线定理可以求出，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可以求出的值．
解：如下图所示，过点作，连接数、，延长到点，使，连接，
四边形是正方形，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
，
点是的中点，
是梯形的中位线，
，，
，
，
又，
，
，
，
解得：．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、梯形的中位线定理等知识，掌握相关考点是解题关键．
13．【考点】相似三角形实际应用
【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解．
解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，即，
解得AB=9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．
故答案为：9.88．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键．
14．【考点】比例的性质
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
解：∵
∴
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
15．【考点】求位似图形的对应坐标
【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心．
解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心
∴M点坐标为
故答案为：．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．
16．【考点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、由平行截线求相关线段的长或比值、等腰三角形的定义
【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可．
解：连接，

∵以为直径的半圆O与相切于点D，
∴，，
∴
设，则，
在中：，即：，
解得：，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵为等腰三角形，
当时，，
当时，
∵，
∴点与点重合，
∴，

不存在的情况；
综上：的长为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键．
17．【考点】相似三角形的判定与性质综合、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定、根据平行线判定与性质证明
【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值．
解： 点和点关于直线对称，
，
，
．
，
，
点和点关于直线对称，
，
又，
，
，
，，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
在和中，
，
．
在中，，
，，
，
，
，
，
，，
．
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明．
18．【考点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最大值可求的最大值．
解：如下图所示，过点作，使，连接、，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
当点、、三点共线时有最大值，．
故答案为： ．
19．【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）根据，得出，设，则， ，，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解．
解：（1）解：∵，，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，∵，
∴，，
∴，
解得，
∴．

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．【考点】已知正弦值求边长、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解
【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；
（2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；
②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．
解：（1）在中，，
在中，．
（2）①如图1，作于点，由（1）得，，则，
作交延长线于点，则，

∴．
∵
∴．
由旋转知，
∴．
设，则．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
②由旋转得，，
又因为，所以．
情况一：当以为直角顶点时，如图2．

∵，
∴落在线段延长线上．
∵，
∴，
由（1）知，，
∴．
情况二：当以为直角顶点时，如图3．

设与射线的交点为，
作于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
化简得，
解得，
∴．
情况三：当以为直角顶点时，
点落在的延长线上，不符合题意．
综上所述，或．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．
21．【考点】相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答；
（2）过点作于，设，则，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答；
（3）①过点作于，连接，证明，可得，得到，即可解答；
②连接，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答．
解：（1）证明：四边形为矩形，
，
，
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于，
设设，则，
，
，
四边形为矩形，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
可得方程，
解得（此时，故舍去0），
；

（3）解：①证明：过点作于，连接，
点为矩形的对称中心，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，，
；

②如图，连接，
由题意可得,
点为矩形的对称中心，
，
同理可得，
由（1）知，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，由①可得，
解得，
，
，
．

【点评】本题考查了四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
22．【考点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据证明即可；
（2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出；
（3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出．
解：（1）证明：在正方形中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图1，作于点N，如图所示：

∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵， ，
∴，
∴．
∵，
∴，
如图2，作于点N，

∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴
∴．
【点评】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
23．【考点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答；
（2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可．
解：（1）解：∵矩形中，，
∴，，，
∵点E在的中点
∴，
∴，，
∵点B、E、F在同一直线上，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图：过B作交于H，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴．
（3）解：存在，的最小值，最大值．
如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则
设．
∵四边形和四边形都是矩形，
，
∴，
∴，
∵，
，
，即，
，
∴在中，，
即，
当时，y有最小值为．
，
∴当时，y有最大值为，
∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等考点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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