【备考2025】中考数学真题2022-2024分类精编精练12圆①（含解析）

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【备考2025】中考数学真题2022-2024分类精编精练12园①
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．（2022·浙江嘉兴·）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　）
A．55° B．65° C．75° D．130°
2．（2023·浙江湖州·）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江绍兴·）如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江温州·）如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江杭州·）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）

A． B． C． D．
6．（2020·浙江舟山·）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．
则⊙O的半径为（　　）
A．2 B．10 C．4 D．5
7．（2021·浙江丽水·）如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·浙江温州·）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）

A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
9．（2023·浙江绍兴·）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（ ）．
A．2 B． C． D．
10．（2022·浙江湖州·）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A． B．6 C． D．
二、填空题
11．（2022·浙江湖州·）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 ．
12．（2023·浙江湖州·）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ．
13．（2023·浙江金华·）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．

14．（2022·浙江舟山·）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为 ；折痕的长为 ．
15．（2023·浙江衢州·）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．

16．（2023·浙江温州·）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为 ．

三、解答题
17．（2024·浙江·）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：①；②．
18．（2023·浙江绍兴·）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹．
(1)在图中作出弧的中点D．
(2)连结，作出的角平分线．
(3)在上作出点P，使得．
19．（2023·浙江杭州·）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．

(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)若，猜想的度数，并证明你的结论．
20．（2023·浙江·）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
21．（2023·浙江宁波·）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．

(1)求的度数．
(2)①求证：．
②若，求的值，
(3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长．
参考答案
1．【考点】圆周角定理
【分析】利用圆周角直接可得答案．
解： ∠BOC＝130°，点A在上，
故选B
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．
2．【考点】圆周角定理
【分析】根据圆周角定理解答即可.
解：∵，
∴；
故选：C.
【点评】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键.
3．【考点】圆周角定理
【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．
解：连接OB，OC，如图，
∵正方形ABCD内接于，
∴
∴
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．【考点】圆周角定理
【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC=50°，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，进而可以得到答案．
解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=90°，∠AEO=90°，
∵∠DOE=130°，
∴∠BAC=360°-90°-90°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．【考点】圆周角定理、三角形内角和定理的应用
【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
解：如图，
半径互相垂直，
，
所对的圆心角为，
所对的圆周角，
又，
，
故选D．
【点评】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
6．【考点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：如图，设OA交BC于T．
∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，
∴AE＝，
在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
故选：D．
【点评】本题考查作图——复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．【考点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算
【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．
解：∵是的直径，弦于点E，
∴
在中，，
∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
又
∴
∴，故选项B正确，符合题意；
又
∴
∵
∴，故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴，故选项D错误，不符合题意；
故选B．
【点评】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．
8．【考点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算
【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解．
解：过点O作于点E，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点评】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键．
9．【考点】利用矩形的性质证明、90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案．
解：设的中点为，连接，
∵四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
∴点在点为圆心，4为半径的圆上．
，
，
∵的最小值为2．
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．
10．【考点】同弧或等弧所对的圆周角相等、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．
作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，
因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ，
∴∠OMQ=∠ONQ=45°，
∴∠MON=90°，
所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，
所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，
通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，
所以此时最大，等于圆O的直径，
∵BM＝4，BN＝2，
∴，
∴MQ=OQ=，
∴OM=，
∴，
故选 C．
【点评】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．
11．【考点】利用垂径定理求值、圆周角定理
【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
12．【考点】利用垂径定理求值
【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果．
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
13．【考点】三线合一、求弧长、与三角形中位线有关的求解问题、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．
解：如图，连接，，，

∵为直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴弧的长为，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．
14．【考点】利用垂径定理求值、切线的性质定理、折叠问题、特殊三角形的三角函数
【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．
作O关于CD的对称点M，则ON=MN
连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N
∵将沿弦折叠
∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上
∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．
∴ME⊥OA，MF⊥OB
∴
∵
∴四边形MEOF中
即的度数为60°；
∵，
∴（HL）
∴
∴
∴
∵MO⊥DC
∴
∴
故答案为：60°；
【点评】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．
15．【考点】根据矩形的性质求线段长、利用垂径定理求值、切线的性质定理
【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
由题意得：，，
如图，连接，过点作，交于点，交于点，
则，
餐盘与边相切，
点为切点，
四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，，
，，，
设餐盘的半径为，
则，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
餐盘的半径为，
故答案为：10．
【点评】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．【考点】用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、利用垂径定理求解其他问题
【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得，连接，取的中点，连接，在中，根据勾股定理即可求解．
解：如图所示，依题意，，
∵过左侧的三个端点作圆，，
又，
∴在上，连接，则为半径，
∵，
在中，
∴
解得：；
连接，取的中点，连接，交于点，连接，，

∵，
∴，
∴，
∵点，，在同一直线上，
∴，
∴，
又，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵，
设，则
在中，
即
整理得
即
解得：或
∴题字区域的面积为
故答案为：；．
【点评】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．【考点】圆周角定理、根据平行线判定与性质证明、相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度
【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到；
（2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故；
②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到．
（1）解：∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明①：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点D作平行线交于点G，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握考点，正确添加辅助线是解题的关键．
18．【考点】利用垂径定理求解其他问题、无刻度直尺作图、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】（1）连与网格线交于一格点，以O为端点，作射线与圆弧交于点D，
（2）作射线，则即是的角平分线，
（3）连结并延长，交的延长线于点与交于点F，连结并延长交于点P，则．
本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合．
（1）解：由格点可知为中点，根据垂径定理可得，点D为弧的中点，点D即为所求，
（2）解：∵点D为弧的中点，
根据圆周角定理，可得，即为所求，
（3）解：∵为直径，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，作图如下：
．
19．【考点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、利用垂径定理求值、圆周角定理
【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得；
（2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证；
（3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则．
（1）解：直径垂直弦，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
由（1）知，
，
又，
；
（3）解：，证明如下：
如图，连接，
，
，
直径垂直弦，
，，
又，
，
，
设，，
则，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
即，
，
．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述考点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．
20．【考点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立；
②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解；
③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可.
（1）解：连接，

∵的直径垂直弦AB于点E，且，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴；
（2）解：①连接，

∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，

∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
③当时，

在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
当时，

在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
综上，的长为或．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．【考点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案；
（2）①证明，再证明，可得；②设， ，证明，可得，即，则，可得，从而可得答案；
（3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案．
解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接．先证，再证，则可得．根据等腰三角形三线合一，可得，由此可得．由，可得．再证．则可得，即，解出r的值，即可求出的长．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①∵为中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②设， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴，
∴（负根舍去）；
（3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，而，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，（负根舍去），
由（2）①知，
∴．
解法二： 如图，延长，分别交、于M、N，连接，
，
．
又，
，
．
，
，
．
又，
，
．
又，
，．
，
．
，
，
，
，
即，
得，
解得：，（负根舍去），
∴．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
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