2025年九年级中考数学三轮冲刺训练相似三角形的判定与性质训练（含答案）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练相似三角形的判定与性质训练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AC＝12，BC＝11，CE＝2，求BD的长．
2．如图，△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）设．
①若BC＝20，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求四边形ADEF的面积．
3．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是斜边AC上一个动点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF．
（1）求证：四边形BEDF是矩形；
（2）若四边形BEDF为正方形，求的值．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B．
（1）求证：AB CM＝BP PC；
（2）当△PCM为直角三角形时，求线段AP的长度．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接BE、AD交于点G，点F在线段DC上，且∠EFD+∠ADF＝180°，，连接FG．
（1）求证：四边形AGFE是平行四边形；
（2）如果∠BDA＝∠BAC，求证：AG＝AE．
6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝4，BD＝5，AC＝6，△ABC的角平分线AE交CD于点F．
（1）求证：AC2＝AD AB；
（2）求证：△ADF∽△ACE；
（3）若AF＝4，求AE的长度．
7．如图，已知AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，点D，E是⊙O上的两点，连接AD，BD，CD，BE，DE，其中∠E＝∠C，CD是⊙O的切线．
（1）求∠C的度数．
（2）求证：△BCD∽△DCA．
（3）若AC＝8，求⊙O的半径．
8．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，连接EF，交对角线AC于点G，EF∥AD．
（1）求证：△CFG∽△ABC．
（2）若CF＝2，FD＝4，AD＝3，求CG的长．
9．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，．
（1）若BC＝21，求BF的长；
（2）若△ABC的面积为49，求△CEF的面积．
10．如图，点E是矩形ABCD中AD边上一点，△ABE沿BE折叠为△FBE，点F落在CD上．（1）求证：△CFB∽△DEF；
（2）若，BCcm，求BF的值．
11．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1）证明：△ABM∽△MCN；
（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）求梯形ABCN的面积最大时，点M的位置．
12．如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G、交DA延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF；
（2）若CD＝4，求AF的长．
13．已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）求证：AF＝DF；
（3）若△FCD的面积为5，BC＝10，求DE的长．
14．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）求证：DF2＝FM FN；
（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．
15．如图，在△ABC中，点E为AB边上一点，分别过点B，E作BD∥AC，EF∥AC，BD交CE的延长线于点D，EF交BC于点F，且AC＝6，BD＝4．
（1）求EF的长；
（2）若△BEF的面积为4，求△CEF的面积．
16．如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
17．如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝CD，AB＝4，AC＝6．
（1）求CD的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，E为BC上的点，作∠AEF＝∠ABC交AC于点F，AE、BD相交于点G．
①求证：△ABG∽△ECF；
②若BG＝2CF，求．
参考答案
1．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△CDE；
（2）解：∵AB＝AC，AC＝12，
∴AB＝12，
由（1）知，△ABD∽△CDE，
∴＝即＝，
∴BD＝3或8．
2．【解答】（1）证明：由已知条件可知：DE∥AC，EF∥AB，
根据平行线的性质可得：∠BED＝∠ECF，∠FEC＝∠DBE，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴，
∴，
∵BC＝20．
∴．
②解：∵，
∵△EFC的面积是20，
∴S△BDE＝5，
∵EF∥AB，，
∴△ABC∽△EFC，，
∴，
∴S△ABC＝45，
∴面积为S△ABC﹣S△EFC﹣S△BDE＝45﹣5﹣20＝20．
3．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BED＝∠BFD＝90°，
∵∠B＝90°，
∴四边形BEDF是矩形；
（2）解：∵四边形BEDF为正方形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
设DE＝DF＝BE＝BF＝x，则AE＝6﹣x，
∵，
∴，
∴x，
经检验，x是原方程的解，
∴AE，
∴AD，
∵AC，
∴DC＝AC﹣AD，
∴．
4．【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝10cm，
∴∠B＝∠C，
∵∠APM+∠CPM＝∠APC＝∠B+∠BAP，∠APM＝∠B，
∴∠CPM＝∠BAP，
∴△CPM∽△BAP，
∴，
∴AB CM＝BP PC；
（2）解：∵∠B＝∠C≠90°，
当∠PMC＝90°时，如图，
由（1）知△CPM∽△BAP，
∴∠APB＝∠PMC＝90°，
∵AB＝AC，
∴点P为BC中点，
∴BP＝CP＝＝8（cm），
∴ap＝＝6（cm）；
当∠CPM＝90°时，如图，作AD⊥BC于点D，则AD＝6cm，
由（1）知△CPM∽△BAP，
∴∠BAP＝∠CPM＝90°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴，
∵∠BAP＝∠BDA＝90°，∠ABP＝∠DBA，
∴△ABP∽△DBA，
∴，
∴AP＝（cm），
综上可知，线段AP的长度为6cm或．
5．【解答】证明：（1）∵∠EFD+∠ADF＝180°，
∴AD∥EF，
∴，
又∵，
∴，
∵∠DBG＝∠CBE，
∴△BFG∽△BCE，
∴∠BFG＝∠BCE，
∴GF∥AC，
∴四边形AGFE是平行四边形；
（2）由（1）得四边形AGFE是平行四边形，∠BDA＝∠BAC，且∠ABD＝∠ABC，如图，连接AF交GE于点O，
∴OA＝OF，△ABD∽△CBA，
∴，即AB2＝BC BD，
∵，即BF2＝BC BD，
∴AB＝BF，
∴BO⊥AF，
即：AF⊥GE，
∴四边形AGFE是菱形，
∴AG＝AE．
6．【解答】（1）证明：∵AD＝4，BD＝5，
∴AB＝AD+BD＝4+5＝9，
∴AC2＝62＝36，AB AD＝9×4＝36，
∴AC2＝AD AB；
（2）证明：∵AC2＝AD AB，
∴，
又∵∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴∠ACB＝∠ADC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAF＝∠CAE，
∴△DAF∽△CAE；
（3）解：∵△DAF∽△CAE，
∴，
∵AF＝4，
∴AE6．
7．【解答】（1）解：连接OD，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵∠BOD＝2∠E，∠E＝∠C，
∴∠BOD＝2∠C，
而∠BOD+∠C＝90°，
即2∠C+∠C＝90°，
∴∠C＝30°；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADO+∠ODB＝90°，∠BDC+∠ODB＝90°，
∴∠ADO＝∠BDC，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∴∠BDC＝∠A，
∵∠BCD＝∠DCA，
∴△BCD∽△DCA；
（3）解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝8﹣r，
在Rt△OCD中，∵∠C＝30°，
∴OC＝2OD，
即8﹣r＝2r，
解得r，
即⊙O的半径为．
8．【解答】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠CFG＝∠D，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B，CD∥AB，
∴∠CFG＝∠B，∠FCG＝∠BAC，
∴△CFG∽△ABC．
（2）解：∵CF＝2，FD＝4，AD＝3，
∴CD＝CF+FD＝2+4＝6，
∵∠D＝90°，
∴CA3，
∵GF∥AD，
∴△CFG∽△CDA，
∴，
∴CGCA3，
∴CG的长是．
9．【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴．
∵EF∥AB，
∴，
∴．
设CF＝4k，则BF＝3k，则CF＝4k．
∵BC＝21，
∴3k+4k＝21，
解得k＝3，
∴BF＝3k＝9；
（2）由（1），得，
∴．
∵EF∥AB，
∴△ABC∽△EFC．
∵，S△ABC＝49，
∴S△CEF＝16．
10．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠CBF+∠CFB＝90°，
∵△ABE沿BE折叠为△FBE，
∴∠EFB＝∠A＝90°，
∴∠DFE+∠CFB＝90°，
∴∠DFE＝∠CBF，
∴△CFB∽△DEF；
（2）解：由（1）得：△CFB∽△DEF，
∴，
设CF＝k，BF＝3k（k＞0），
∵BF2﹣CF2＝BC2，，
∴，
∴k1＝2，k2＝﹣2（舍去），
∴BF＝3k＝6cm．
11．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN＝90°，
∴∠CMN+∠AMB＝90°，
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB＝90°，
∴∠CMN＝∠MAB，
∴△ABM∽△MCN；
（2）解：∵△ABM∽△MCN，
∴，即，
∴，
∴；
（3）解：，
∵，
∴y有最大值，且当x＝2时，y取得最大值，最大值为10，
即当点M运动到BC中点时，梯形ABCN的面积最大，最大值为10．
12．【解答】（1）证明：∵在正方形ABCD中，EF⊥ED，
∴∠FED＝∠C＝90°，
∵BC∥AD，
∴∠CED＝∠FDE，
∴△ECD∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，
∵E为BC的中点，
∴CE＝0.5BC＝2
在Rt△DCE中，
由勾股定理得：DE2＝CE2+DC2＝22+42＝20，
∵△ECD∽△DEF，
∴CE：DE＝DE：DF，
∴2：DE＝DE：DF，
2DF＝DE2，
解得：DF＝10，
∵AD＝4，
∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6．
13．【解答】（1）证明：在△ABC中，D是BC的中点，AD＝AC，DE⊥BC，
∴BD＝CD，∠ACB＝∠FDC，
∴EB＝EC，
∴∠ABC＝∠FCD，
∴△ABC∽△FCD；
（2）证明：∵△ABC∽△FCD，
∴，
∵AD＝AC，BC＝2CD，
∴，
∴AF＝DF．
（3）解：△FCD的面积为5，BC＝10，如图，作AM⊥BC于M，
∵△ABC∽△FCD，
∴，
∴S△ABC＝4S△FCD＝20，
∵S△ABCBC AM10 AM，
∴AM＝4，
∴DM，BM，
∵DE∥AM，
∴，
∴DE BM＝AM BD，
即：，
∴．
14．【解答】（1）证明∵DF⊥AB，AD，BE是△ABC的高，
∴∠BFD＝∠AFD＝∠AEB＝∠ADB＝90°，
∴∠FBM＝90°﹣∠BAC，∠N＝90°﹣∠BAC，
∴∠FBM＝∠N，
又∵∠BFD＝∠AFD，
∴△BFM∽△NFA；
（2）证明：∵△BFM∽△NFA，
∴，
∴FM FN＝FB FA，
∵∠FBD+∠FDB＝90°，∠FBD+∠FAD＝90°，
∴∠FDB＝∠FAD，
∵∠BFD＝∠AFD，∠FDB＝∠FAD，
∴△BFD∽△DFA，
∴，
∴DF2＝FM FN；
（3）解：∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∵∠ABC+∠FDB＝∠BAC+∠N＝90°，
∴∠FDB＝∠N＝∠FBM，
∴△ENM∽△FBM∽△FDB，
∴，
∴FB＝2FM，FD＝2FB＝4FM，
∵DF2＝FM FN，
∴（4FM）2＝FM （4FM+12），
解得：FM＝1或0（舍去），
∴FB＝2，FD＝4，FN＝FD+DN＝16，
∵，
∴AF＝8，AB＝AF+BF＝10，
在Rt△BFD中，
BD2，
在Rt△ADB与Rt△ADC中，
AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∴AC2﹣（AC﹣2）2＝102﹣（2）2，
解得：AC＝5．
15．【解答】解：（1）∵BD∥AC，AC＝6，BD＝4，
∴△ACE∽△BDE，
∴，即，
∴，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即，
∴；
（2）由（1）知△BEF∽△BAC，
∴，
∴，
∵△BEF的面积为4，
∴S△BAC＝25，
由（1）知，，
∴，即，
∴S△BCE＝10，
∴S△CEF＝S△BCE﹣S△BEF＝10﹣4＝6，
∴△CEF的面积为6．
16．【解答】（1）证明：如图，
在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1＝∠6，
∴∠3＝∠6，
∴∠6+∠5＝90°，
∴BF⊥AC；
（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：
∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，
∴△ECF∽△OBF，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠BFA＝∠OFB，
∴△BAF∽△OBF；
（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．
又∵∠OFB＝∠BFA，
∴△OBF∽△BAF．
∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，
∴△OBF∽△ECF．
∴，
∴，即3CF＝2BF，
∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，
∴3OC＝2BF+9
∴3OA＝2BF+9①，
∵△ABF∽△BOF，
∴，
∴BF2＝OF AF，
∴BF2＝3（OA+3）②，
联立①②，可得BF＝1±（负值舍去），
∴DE＝BE＝2+1+＝3+．
17．【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD＝CD，
∴∠C＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
而AB＝4，CA＝6，
则AD＝，
则CD＝AC﹣AD＝6﹣＝；
（2）①证明：
由（1）可知，∠ABD＝∠C，
∵∠AEF＝∠ABC，∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝∠ABC+∠BAG，
∴∠CEF＝∠BAG，
∴△ABG∽△ECF；
②解：∵△ABG∽△ECF，
∴，
∵BG＝2CF，
∴，
由已知及（1）可知，，△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴BE＝BC﹣CE＝3，
过点D作DM∥BC交AE于点M，如图，
∴∠ADM＝∠ACE，∠AMD＝∠AEC，∠BEG＝∠DMG，∠GBE＝∠MDG，
∴△ADM∽△ACE，△BEG∽△DMG，
∴，
∴，
∴．
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