第9章 中心对称图形—平行四边形期中复习题（含答案）

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第9章中心对称图形—平行四边形期中复习苏科版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，将△ABC绕B点顺时针方向旋转到△DBE，点A的对应点D恰好落在AC上，且BE∥AC．若∠A＝70°，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．36°
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠BCD＝70°，则∠BOE的大小为（　　）
A．20° B．25° C．35° D．55°
4．如图，在平行四边形ABCD中，AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，若平行四边形ABCD的周长为22，且AM＝4，，则平行四边形ABCD的面积为（　　）
A．48 B．36 C．24 D．12
5．如图，添加下列条件仍然不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．∠1＝∠2
6．如图，矩形ABCD中，CD＝5，BC＝12，点P为对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．
7．如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（　　）
A． B．4 C． D．3
8．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB＝4，BC＝3，则MN＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB＝3，AE＝5，∠D＝90°，则AC＝　 　 ．
10．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　 　 ．
11．如图，点P是等边三角形ABC内的一点，，PB＝3，，则S△ABP+S△BPC＝　 　 ．
12．如图，四边形ABCD 为平行四边形，且DB平分∠ABC，作DE⊥BC，垂足为E．若BD＝24，AC＝10，则DE＝　 　 ．
13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝5，则GH的最小值是 　 　 ．
14．在Rt△ABD中，∠B＝90°，点C在线段AD上，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥BD于点F，使得四边形CEBF为正方形，此时AC＝3cm，CD＝4cm，则阴影部分面积为 　 cm2．
三、解答题
15．如图，在△ABF中，E是AB的中点，延长BF至D，使得DF＝BF，连接AD，延长EF至点C，使得CF＝AD，连接CD．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）连接AC交DB于点O，若CE⊥DB，EF＝1，，求AF，AC的长．
16．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CF，CG．
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形．
（2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值．
17．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位1）网格的格点上．
（1）△ABC的形状是　 　 （直接写答案）；
（2）将△ABC向右平移3个单位长度得△A1B1C1，在坐标系中画出并求出这个变化过程中△ABC扫过的面积；
（3）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°的△CA2B2．
18．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，BD∥CE，BE⊥EC．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若四边形OBEC的周长为18，菱形ABCD的面积为33，求平行线AB与DC间的距离．
19．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
20．如图，四边形OABC是平行四边形，其中点A坐标是（10，0），点O坐标是（0，0），点C坐标是（4，6）．
（1）请直接写出点B的坐标 　 　 ；
（2）已知点D是线段CB上一个动点，若三角形OAD是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标；
（3）已知直线：y＝kx+b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：选项A、B、D中的数学符号都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的数学符号能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2．【解答】解：由旋转得DB＝AB，
∴∠ADB＝∠A＝70°，∠ABC＝∠DBE，
∵点D在AC上，且BE∥AC，
∴∠DBE＝∠ADB＝70°，
∴∠ABC＝∠DBE＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：B．
3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BAD＝∠BCD＝70°，AB＝AD，AC⊥BD，
∴∠BAO＝∠DAO∠BAD＝35°，∠AOB＝90°，
∵OE⊥AB 于点E，
∴∠OEB＝90°，
∵∠BOE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BOE＝∠BAO＝35°，
故选：C．
4．【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，且它的周长为22，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，且AB+BC+CD+AD＝22，
∴2BC+2CD＝22，
∴BC+CD＝11，
∵AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，
∴S△ABCBC AMAD AM，S△ADCCD ANAD AM，
∴S△ABC＝S△ADC，
∵AM＝4，AN，BC＝11﹣CD，
∴4（11﹣CD）CD，
解得CD＝5，
∴S平行四边形ABCD＝524，
故选：C．
5．【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形．符合题意；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；
D、由∠1＝∠2可得出AB＝AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；
故选：B．
6．【解答】解：作CG⊥BD于点G，连接PC，
∵四边形ABCD是矩形，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，
∴∠ECF＝∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝CP，
∵CD＝5，BC＝12，
∴BD13，
∴S△BCD13CG5×12，
∴CG，
∵CP≥CG，
∴EF，
∴EF的最小值为，
故选：B．
7．【解答】解：由折叠的性质得，AM＝DM，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
∵BC＝6，
∴AD＝6，
∴DM＝3，
在Rt△DMA'中，由勾股定理得A'M，
∵∠A＝∠B＝∠AMA'＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝10，
∴A′N＝MN﹣A'M＝10，
故选：A．
8．【解答】解：如图，连接BD，BF，DF，
∵四边形ABCD，四边形BEFG都是矩形，M、N是AC、EG的中点，
∴点M是BD的中点，点N是BF的中点，
∴MNDF，
∵AB＝8，BC＝6，
∴AC5，
∴AC＝BD＝5，
∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，
∴DB＝BF＝10，∠DBF＝90°，
∴DFBD＝5，
∴MN，
故选：A．
二、填空题
9．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC＝CD，DE＝AB＝3，
∵AE＝5，∠D＝90°，
∴AD4，
∴ACAD＝2，
故答案为：2．
10．【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
11．【解答】解：将△APC绕点A旋转60°得到△AEB，过点B作BF⊥AP于点F，
∴AE＝AP，BE＝PC＝3，∠PAE＝60°，
∴△AEP是等边三角形，
∴EP＝AP，∠APE＝60°，
∵BE2＝12，PB2+PE2＝9+3＝12，
∴BE2＝PE2+PB2，
∴∠BPE＝90°，
∴∠APB＝150°，
∴∠BPF＝30°，
∴BFPB，
∵BE＝2PE，∠BPE＝90°，
∴∠EBP＝30°，
∴∠BEP＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AEP＝60°，
∴∠APC＝∠AEB＝120°，
∴∠BPC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，
∴S△APB+S△PBC3×2．
故答案为：．
12．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴OBBD＝4，OCAC＝5，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴BC13，
∵DE⊥BC，
∴菱形ABCD的面积＝BC DEAC BD，
即13DE10×24，
解得：DE，
故答案为：．
13．【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，
∴AC10，
∵P是线段EF的中点，
∴APEF＝2.5，
∵PG⊥BC，PH⊥CD，
∴∠PGC＝∠PHC＝90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∴GH＝CP，
当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣2.5＝7.5，
∴GH的最小值是7.5，
故答案为：7.5．
14．【解答】解：将△CFD绕点C顺时针旋转90°，得到△CEM，
∴CD＝CM，∠FCD＝∠ECM，
∵四边形CEBF为正方形，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠ACE+∠FCD＝90°，
∴∠ACE+∠ECM＝90°，
∴∠ACM＝90°，
∴阴影部分面积＝S△ACE+S△ECM
＝S△ACM
AC CM
3×4
＝6（cm2）．
故答案为：6．
三、解答题
15．【解答】（1）证明：∵DF＝BF，
∴F是DB的中点，
∴E是AB的中点，
∴EF∥AD，
∵点C在EF的延长线上，
∴CF∥AD，
∵CF＝AD，
∴四边形AFCD为平行四边形．
（2）解：∵DF＝BF，AE＝BE，EF＝1，
∴EF∥AD，且EFAD，AB＝2AE＝2，
∴AD＝2EF＝2，
∵CE⊥DB于点F，
∴∠ADB＝∠EFB＝90°，
∴BD6，
∴DF＝BFBD＝3，
∴AF，
∵四边形AFCD为平行四边形，
∴OD＝OFDF，OA＝OC，
∴OA，
∴AC＝2OA＝5，
∴AF的长是，AC的长是5．
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵EG＝AE，AO＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，OECG，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OEOBOD＝OF，
∴OEEF，
∴EF＝CG，FE∥CG，
∴四边形EFCG是平行四边形；
（2）解：过A作AH⊥BD于H，如图：
设OE＝m，由（1）可知BE＝OE＝OF＝DF＝m，
∴OB＝OD＝OA＝OC＝2m，
∵四边形EFCG是菱形，
∴EF＝EG＝AE＝2m，
∴OA＝AE＝2m，
∵AH⊥BD，
∴HE＝HOOE，
∴AH2＝AE2﹣EH2＝（2m）2﹣（m）2m2；BH＝BE+HE＝mm，DH＝OD+HO＝2mm，
∴ABm，ADm，
∴AB：AD＝（m）：（m）；
∴AB：AD的值为．
17．【解答】解：（1）由勾股定理得，AB，AC，BC，
∴AB＝AC，AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
这个变化过程中△ABC扫过的面积为．
（3）如图，△CA2B2即为所求．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵BD∥CE，
∴CE⊥AC，
又∵BE⊥EC，
∴∠BOC＝∠OCE＝∠CEB＝90°，
∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形OBEC的周长为18，四边形OBEC是矩形，
∴OC+OB＝9，
∵菱形ABCD的面积为33，
∴AC BD＝33，
即2OB×2OC＝33，
∴2OB OC＝33，
∵OC+OB＝9，
∴（OC+OB）2＝81，
∴OC2+2OB OC+OB2＝81，
∴OC2+OB2＝48，
∴BC4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，
设平行线AB与DC间的距离为x，
则AB x＝33，
即4x＝33，
解得x，
即平行线AB与DC间的距离为．
19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
20．【解答】解：（1）点A坐标是（10，0），O（0，0），
∴OA＝10，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA，
∵点C坐标是（4，6），
∴B（14，6），
故答案为：（14，6）；
（2）∵点D是线段CB上一个动点，
∴设D（m，6），
∵三角形OAD是等腰三角形，
①当OD＝OA＝10时，
∴OD10，
∴m＝8（负值舍去），
∴D（8，6），
②当OD＝AD时，则点D在OA的垂直平分线上，
∴D（5，6），
③OA＝AD＝10时，
∴AD10，
∴m＝2＜4（不合题意舍去），
综上所述，D（8，6）或（5，6）；
（3）如图，连接AC，OB交于E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AE＝CE，
∵点A坐标是（10，0），点C坐标是（4，6），
∴E（7，3），
∵y＝kx+b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线y＝kx+b过E（7，3），
∴3＝7k+b，
∴k，
即k与b的函数关系式为kb．
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