第9章 中心对称图形—平行四边形期中选填压轴题训练（含答案）

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第9章中心对称图形—平行四边形期中选填压轴题训练苏科版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE AF的值是（　　）
A． B． C．12 D．6
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　）
A．2s B．5s C．2s或 D．5s或
3．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（　　）
A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32
4．如图，矩形ABCD中，P为对角线AC上一点，过P分别作AB、AD的平行线于矩形边相交，若矩形ABCD的面积为S，则阴影部分的面积可以表示为（　　）
A．S B．S C． D．S
5．如图，在矩形ABCD中，连结AC，在Rt△ABC和Rt△ADC分别作内接正方形BEFG和PQMN，若正方形BEFG的面积为9，正方形PQMN的面积为8，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，点E在边BC上，EF⊥AE，∠DCF＝45°．则的值为（　　）
A． B．1 C． D．
7．如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（　　）
A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE
C．CG平分∠DCH D．
8．如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，连接CE、CF、EF，AC与EF相交于点G，若BE＝AF＝1，∠BAD＝120°，则S△AGF：S△AGE的值为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A、B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是（　　）
A．2 B．2.4 C．3 D．4
10．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．如图，正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F在边CD上，且∠BAE＝∠EAF，若EC＝4，则线段DF的长为 　 　 ．
12．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在边AB、CD上，且BE＝DF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为 　 　 ．
13．如图，已知正方形ABCD的边长为2，另一边长为的正方形EFGH的中心与点A重合，连接CE，设CE的中点为M，连接DM，当正方形EFGH绕点A旋转时，DM的最小值为 　 　 ．
14．如图，在正方形ABCD的AB边上有一点E，将直角三角形CBE沿直线CE进行折叠，点F是点B的对应点．若AB＝10，BE，则点F到AD边的距离是 　 　 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点M、N分别为CD、AB边上的点，MN过矩形ABCD的对称中心O，且CM＝4DM．若点G、H分别在AD、BC边上，且GH、MN将矩形ABCD的面积四等分，则AG的长为　 　 ．
16．已知：如图，正方形ABCD的边长为，E点是正方形ABCD的边CD上的一点，AE与对角线BD相交于点F，若EC＝EF．则∠EAD的度数是　 　 ；AF的长为　 　 ．
17．如图，正方形ABCD与正方形正方形EFGH，满足EF∥AB．正方形ABCD的边长为6，正方形EFGH的对角线．
（Ⅰ）正方形EFGH的边长为 　 　 ．
（Ⅱ）线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为 　 　 ．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值是 　 　 ．
19．如图，正方形ABCD的边长为2，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD边上，且DE＝2CE，过点C作CF⊥BE于点F，连接OF，则OF＝ 　 　 ．
20．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是 　 　 ．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵∠B＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AHAB4＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵AF⊥DE，
∴△EAD的面积AD AHDE AF，
∴DE AF＝6×212．
故选：A．
2．【解答】解：∵平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线，
∴∠AFB＝∠CBF＝∠ABF，
∴AF＝AB＝6，
∵点E是BC的中点，
∴，
∴点P运动到F时间为6÷1＝6s，点Q运动到E时间为8÷2＝4s，
当0≤t＜4时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝8﹣2t，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，
∴6﹣t＝8﹣2t，
解得，t＝2，
当4≤t＜6时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝2t﹣8，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE，
∴6﹣t＝2t﹣8，
解得，，
综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2s或，
故选：C．
3．【解答】解：作AM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，则∠ABM＝∠N＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2，BC＝2，AC＝x，BD＝y，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABM＝∠DCN，
在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN（AAS），
∴AM＝DN，BM＝CN，
∴BD2＝DN2+BN2＝AM2+（BC+CN）2＝AM2+（BC+BM）2＝AM2+BC2+2BC BM+BM2，
∵AC2＝AM2+CM2＝AM2+（BC﹣BM）2＝AM2+BC2﹣2BC BM+BM2，
∴AC2+BD2＝2AM2+2BM2+2BC2＝2AB2+2BC2＝2×22+2×（2）2＝32，
∴x2+y2＝32，
故A不符合题意，B不符合题意，C符合题意；
假设y2﹣x2＝32成立，则x2+y2＝y2﹣x2，
求得x＝0，不符合题意，
∴y2﹣x2＝32不成立，
故D不符合题意，
故选：C．
4．【解答】解：设AG＝a，GD＝b，AE＝c，EB＝d，
在矩形中，有S△ABC＝S△ACD，S△AEP＝S△AGP，S△CFP＝S△CHP，
∴S矩形BHPE＝S矩形DGPF，即：ad＝bc，
则S矩形ABCD＝（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，
S空白a（c+d）d（a+b）（ac+ad+ad+bd）（ac+ad+bc+bd）S，
∴S阴影＝SSS，
故选：B．
5．【解答】解：在矩形ABCD中，AC为对角线，将矩形分为两个全等的直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC．
设AB＝a，BC＝b，
则，
∵正方形BEFG的面积为9，
∴边长为3，
根据内接正方形公式：，
∴ab＝3（a+b）．
∵正方形PQMN的面积为8，
∴边长为，
根据内接正方形公式：，
代入，
∵ab＝3（a+b），
解得a＝b＝6，
∴，
∴．
故选：A．
6．【解答】解：在AB上截取BH＝BE，连接HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∴HEBE，AB﹣BH＝BC﹣BE，∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴AH＝EC，∠AHE＝180°﹣∠BHE＝135°，
∵∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝∠ACD+∠DCF＝135°，
∴∠AHE＝∠ECF，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠HAE＝∠CEF＝90°﹣∠AEB，
在△HAE和△CEF中，
，
∴△HAE≌△CEF（ASA），
∴HE＝CF，
∴CFBE，
∴，
故选：C．
7．【解答】解：如图，作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，则∠EKF＝∠ELD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴EK＝EL，
∵∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°，
∴四边形EKCL是矩形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠KEL＝∠FED＝90，
∴∠FEK＝∠DEL＝90°﹣∠FEL，
∴△FEK≌△DEL（ASA），
∴DE＝FE，
∴矩形DEFG是正方形，故A正确；
∵∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，
∵CD＝AD，GD＝ED，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴CG＝AE，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC，
∵∠B＝90°，AB＝CB＝9，
∴ACAB＝9，
∴CE+CG＝9，故D正确；
∵△CDG≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴CG平分∠DCH，故C正确；
∵∠ADE＝∠DEL＝∠FEK≠∠CEF，
∴∠CEF≠∠ADE，故B不正确，
故选：B．
8．【解答】解：过点G作GH⊥AD于H，GN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAC＝∠DAC，
∵BE＝AF＝1，
∴AE＝3，
∵∠BAC＝∠DAC，GH⊥AD，GN⊥AB，
∴GN＝GH，
∴S△AGF：S△AGEAF×GH：AE×GN＝1：3，
故选：B．
9．【解答】解：连接CM，如图，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形EMFC是矩形，
∴EF＝MC，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
当CM⊥AB时，CM取得最小值，即EF取得最小值，
∵，
∴．
∴EF＝CM＝2.4．
即EF的最小值是2.4．
故选：B．
10．【解答】解：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中
，
∴△ADB≌△ADH（ASA）
∴AH＝AB＝4，BD＝DH，
∴HC＝AC﹣AH＝6﹣4＝2，
∵BD＝DH，BM＝MC，
∴DM是△BCH的中位线，
∴，
故选：D．
11．【解答】解：∵正方形ABCD中，E为BC中点，EC＝BE＝4，
∴BC＝8，
∴正方形边长为8．
过E作EG⊥AF于G．
在△ABE和△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴AB＝AG＝8．
设DF＝x，
则CF＝8﹣x．
在△EGF和△ECF中，
∴△EGF≌△ECF（HL），
得GF ＝CF＝8﹣x．
∴AF＝AG+GF＝8+（8﹣x）＝16﹣x．
在Rt△ADF中，由勾股定理：AF2＝AD2+DF2，
∴（16﹣x）2＝82+x2，
解得x＝6，
∴线段DF的长为6．
故答案为：6．
12．【解答】解：过M作MH⊥AB交BA延长线于H，交CD延长线于T，过E作EF⊥CD于K，如图：
设BE＝DF＝x，则CF＝AE＝4﹣x＝DK，
∴KF＝DF﹣DK＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣4，
∵将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段MF，
∴MF＝EF，∠MFE＝90°，
∴∠KFE＝90°﹣∠MFT＝∠TMF，
∵∠EKF＝90°＝∠CTM，
∴△EKF≌△FTM（AAS），
∴EK＝TF＝4，KF＝MT＝2x﹣4，
∴MH＝MT+TH＝2x﹣4+4＝2x，AH＝DT＝TF﹣DF＝4﹣x，
∴AM，
∴当x时，AM取最小值；
故答案为：．
13．【解答】解：如图1，在CD的延长线上截取DN＝CD，连接EN，
∵点M为CE的中点，
∴DM是△CEN的中位线，
∴DMEN，
由旋转的性质知，点E在以点A为圆心，1为 半径的圆上，
∴当A，E，N三点共线时，且点E在线段AN上时，EN最小，即DM最小，
如图2，
∵DN＝CD＝2，∠ADN＝90°，
∴AN＝2，
∴EN＝21，
∴DM，
即DM的最小值为，
故答案为：．
14．【解答】解：在正方形ABCD的AB边上有一点E，将直角三角形CBE沿直线CE进行折叠，点F是点B的对应点，AB＝10，，如图，连接BF，过F作FH⊥BC于H，
∴AB＝BC＝CF＝10，，BF⊥CE，设垂足为K，
∴BF＝2BK，
在直角三角形BCE中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
设BH＝x，则CH＝10﹣x，
∴，
解得：x＝2，
在直角三角形BFH中，由勾股定理得：，
∴点F到AD边的距离是10﹣6＝4；
故答案为：4．
15．【解答】解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝20，AD＝BC＝12，
∵CM＝4DM，
∴5DM＝20，
∴DM＝4，
∴CM＝CD﹣DM＝16，
如图，连接GM、MH、HN、NG，
设AG＝x，则DG＝12﹣x，
∵点O是矩形ABCD的对称中心，
∴OG＝OH，OM＝ON，CH＝AG＝x，
∴四边形MGNH为平行四边形，
∴S△GOM＝S△HOM，
∵GH、MN将矩形ABCD的面积四等分，
∴S△GDM＝S△MCH，
4×（12﹣x）16 x，
解得：x＝2.4，
∴AG＝2.4，
故答案为：2.4．
16．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAF＝∠DCF，
∵EC＝EF，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴∠AED＝2∠ECF，则∠AED＝2∠EAD，
在Rt△ADE中，∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠EAD+2∠EAD＝90°，
解得∠EAD＝30°；
在Rt△ADE中，，
∴AE＝2DE，
由勾股定理得：AE2＝AD2+DE2，即，
解得DE＝3（负值舍去），
∴AE＝6，，
∴；
故答案为：30°；．
17．【解答】解：（Ⅰ）∵正方形EFGH的对角线．
∴EF2，
故答案为：2；
（Ⅱ）连接HM并延长至点P，使MP＝MH，作PQ⊥CD于点Q，连接PC、FH、PD，
∵M是线段CF的中点，
∴MF＝MC，
在△FHM和△CPM中，
∴△FHM≌△CPM（SAS），
∴FH＝PC＝2，∠HFM＝∠PCM，
∵FG∥BC，
∴∠GFM＝∠BCM，
∴∠HFG＝∠PCB＝45°
∴∠PCQ＝45°，
∴PQ＝QC＝2，
∴DQ＝CD+CQ＝8，
∴，
∵线段HP的中点为M，DH的中点为N，
∴．
故答案为：．
18．【解答】解：连接OP，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，且AB＝6，AD＝8，
∴CD＝AB＝6，OA＝OC＝OD＝OB，∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC10，
∴OA＝OC＝OD＝1/2AC＝5，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴S△OAPOA PEPE，S△ODPOD PFPF，S△OADOA DHDH，
∵S△OAP+S△ODP＝S△OAD，
∴PEPFDH，
∴PE+PF＝DH，
∵∠ADC＝90°，DH⊥AC，
∴由三角形的面积公式得：S△ACDAC DHAD CD，
∴DH4.8，
∴PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
19．【解答】解：如图，在BE上截取BG＝CF，连接OG，
∵Rt△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC＝∠ECF，
∵∠OBC＝∠OCD＝45°，
∴∠OBG＝∠OCF，
在△OBG与△OCF中，
，
∴△OBG≌△OCF（SAS），
∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，
∴OG⊥OF，
在Rt△BCE中，BC＝DC＝2，DE＝2EC，
∴EC，
∴BE，
∵BC2＝BF BE，
∴22＝BF，
解得：BF，
∴EF＝BE﹣BF，
∵CF2＝BF EF，
∴CF，
∴GF＝BF﹣BG＝BF﹣CF，
在等腰直角△OGF中，OF2GF2，
∴OFGF．
故答案为：．
20．【解答】解：如图，连接MC，
∵∠ACB＝90°，ME⊥AC，MF⊥BC，
∴四边形MECF是矩形，
∴MC＝EF，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵点P是EF的中点，
∴，
∴CM⊥AB时，CM取得最小值，此时PF取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴PF长度的最小值是1.2．
故答案为：1.2．
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