2025年中考数学三轮冲刺专题训练一元二次方程根与系数的关系（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年中考数学三轮冲刺专题训练一元二次方程根与系数的关系
一、选择题
1．关于x的一元二次方程x2﹣2kx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根且两根异号
C．有两个不相等的实数根且两根同号
D．没有实数根
2．已知关于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（　　）
A．2.5或5 B．2.5或﹣5 C．2.5 D．5
3．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是3，则另一个根为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
4．α，β是方程x2﹣2x+m＝0的两个根，若α2+β2＝2，则m的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
5．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2＝0的两个实数根是x1，x2，且x1＝2x2，则m的值是（　　）
A．0 B．2 C．﹣1 D．1
6．已知x1，x2是方程x2x+1＝0的两根，则的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．
7．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2
8．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若a+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根．
其中正确的（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
9．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则m2+4m+n＝　 　 ．
10．设直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1＜x2，与直线相交于点C（x3，y3）．
（1）当t＝1时，x1+x2＝　 　 ；
（2）若x2＜x3，则t的取值范围是　 　 ．
11．若a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，a≠b，则a+b﹣2ab的值是 　 　 ．
12．已知x1，x2是方程x2+x﹣18＝0的两个实数根，则的值为　 　 ．
13．已知2x2﹣2025x+3＝0，3y2﹣2025y+2＝0，且xy≠1，则的值为　 　 ．
14．若x1、x2是方程x2+x﹣2＝0的两根，则的值为　 　 ．
三、解答题
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）；
（3）如果此方程的两个根刚好是某个三角形的两条边长，已知第三边长为5，求k的取值范围．
16．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若k＞0，且该方程的两个实数根的平方和为10，求k的值．
17．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2，x1x2．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　 ，x1x2＝　 　 ．
（2）初步体验：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）类比应用：已知实数s、t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
（4）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣10、ab，且c＜10，求c的最大值．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）该方程的两个实数根为四边形ABCD的两条对角线长．
①若四边形ABCD为矩形，求k的值；
②若四边形ABCD为平行四边形，它的面积为，且两条对角线的一个夹角为60°，求k的值；
（3）设方程的两个实数根分别为x1、x2，求代数式的最小值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：∵Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（﹣1）＝4k2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
设方程的两根分别为x1，x2，
∵x1x2＝﹣1＜0，
∴方程的两根异号．
故选：B．
2．【解答】解：设方程的一根为m，则另一根为4m，
∴m+4m＝﹣10，
解得：m＝﹣2，
又∵m×4m＝2a+6，
∴（﹣2）×4×（﹣2）＝2a+6，
解得：a＝5，
故选：D．
3．【解答】解：设方程的另一根为x，
∵方程x2+mx+3＝0一个根为3，
∴3x＝1×3，
解得x＝1，
∴方程的另一根为1，
故选：C．
4．【解答】解：由条件可知α+β＝2，αβ＝m，
∵α2+β2＝2，
∴（α+β）2﹣2αβ＝2，
∴22﹣2m＝2，
∴m＝1．
故选：B．
5．【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣3，x1 x2＝m+2，
∵x1＝2x2，
∴2x2+x2＝﹣3，
解得：x2＝﹣1，
∴x1＝2x2＝﹣2，
∴（﹣2）×（﹣1）＝m+2，
解得：m＝0，
故选：A．
6．【解答】解：∵x1，x2是方程x2x+1＝0的两根，
∴x1+x2，x1 x2＝1＝0，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2＝3．
故选：A．
7．【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，
∵x1+x2﹣x1x2＜﹣1，
∴﹣2﹣k﹣1＜﹣1，
∴k＞﹣2，
∵Δ＝4﹣4（k+1）≥0，
∴k≤0，
∴﹣2＜k≤0，
故选：C．
8．【解答】解：把x＝1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1，所以①正确；
当a+c＝0，即c＝﹣a，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2+4a2，
∵b2≥0，4a2＞0，
∴Δ＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根，所以②正确；
∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2，
∴x1+x2，x1x2．
∴b＝﹣a（x1+x2），c＝ax1x2，
方程cx2+bx+a＝0化为ax1x2x2﹣a（x1+x2）x+a＝0，
整理得x1x2x2﹣（x1+x2）x+a＝0，
解得x或x，所以③正确．
故选：D．
二、填空题
9．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的根，
∴m2+3m﹣5＝0，
∴m2＝﹣3m+5，
∴m2+4m+n＝﹣3m+5+4m+n＝m+n+5，
∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+4m+n＝﹣3+5＝2．
故答案为2．
10．【解答】解：（1）直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1＜x2，与直线相交于点C（x3，y3），则：
当t＝1时，方程组消去y可得x2﹣8x+11＝0，
∴x1+x2＝8，
故答案为：8；
（2）方程组消去y可得x2﹣8x+12﹣t＝0，
，且t＞﹣4，
又∵x1＜x2，
∴，
解方程组得到x＝1或x＝5，
∵x2＜x3，
∴由图可得：，
解得﹣4＜t＜﹣3；
故答案为：﹣4＜t＜﹣3．
11．【解答】解：由题意可知：a与b为方程x2﹣5x+3＝0的两根，
∴a+b＝5，ab＝3，
∴a+b﹣2ab＝5﹣2×3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣18＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，xx1﹣18＝0，
∴xx1+18，
∴xx18x2
＝x1（﹣x1+18）+x18x2
＝18（x1+x2）
＝﹣18．
故答案为：﹣18．
13．【解答】解：令，则3﹣20252，
则2z2﹣2025z+3＝0，
那么，x和z为方程2x2﹣2025x+3＝0的两根，
∴，
则，
故答案为：．
14．【解答】解：由题意得，
x2+x1＝﹣1，，
∴，
∴，
故答案为：3．
三、解答题
15．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2）
＝k2﹣6k+9
＝（k﹣3）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0，
∴（x﹣2）[x﹣（k﹣1）]＝0，
∴x1＝2，x2＝k﹣1，
∴此方程的两个根分别为2和k﹣1；
（3）解：∵此方程的两个根刚好是某个三角形的两条边长，
∴三角形的两条边长为2，k﹣1，
又∵此三角形的第三条边长为5，
∴，
解得：4＜k＜8．
答：k的取值范围为4＜k＜8．
16．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2k，c，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1k2．
∵k2≥0，
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：令方程的两根为m，n，
则m+n＝2k，mn，
由m2+n2＝10得，
（m+n）2﹣2mn＝10，
即（2k）2﹣210，
解得k＝±2，
∵k＞0，
∴k＝2．
17．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴，，
故答案为：3，﹣1；
（2）∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝3，mn＝﹣1，
∴；
（3）∵实数s，t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝3，st＝﹣1．
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝32﹣4×（﹣1）＝13，
∴
∴；
（4）∵a+b＝c﹣10，，
∴将a、b看作是方程的两实数根．
∵，即，
而c＜10，则10﹣c＞0，
∴（10﹣c）3﹣27≥0，
∴（10﹣c）3≥27，
∴10﹣c≥3，
即c≤7，
∴c的最大值为7．
18．【解答】解：（1）Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（4k﹣2）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，
即Δ≥0，
∴无论k取何值，方程总有两个实数根．
（2）①由条件可知方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即（2k﹣3）2＝0，
∴；
②如图，在 ABCD中，∠AOB＝60°，
作AE⊥BD于E，
在Rt△AOE中，
∵，
∴．
∵，
∴BD AC＝16，
∴BD AC＝4k﹣2，
∴4k﹣2＝16，
解得；
（3）由条件可知：
＝（2k+1）2﹣6（4k﹣2）
＝4k2﹣20k+13
．
∵，
∴，
∴代数式的最小值为﹣12．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)