2025年九年级中考数学三轮冲刺训练三角形相似压轴题训练（含答案）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练三角形相似压轴题训练
选择题
1．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD；④△AMN∽△CAB．正确的有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
2．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△BDE∽△DPE；②；③DP2＝PH PB；④tan∠DBE＝2．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
3．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交对角线BD于点M、N，则下列结论：①∠AEB＝∠AEF；②△ABN∽△MDA；③AM AE＝AN AF；④BM2+DN2＝MN2.其中正确的结论有（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③④
4．如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ GD，正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在面积为4的正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G，下列结论：①△FOC≌△EOB；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为1；④DF2+BE2＝2OG OC．其中结论正确的序号有（　　）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④
二、填空题
6．如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E在AD上，且DE＝DC，F为AC中点．
（1）若EF∥BC，EF＝2，则AD＝　 　 ；
（2）且∠BEC＝∠AEF，若BC＝3AE，BE＝6，则EF＝　 　 ．
7．如图1，E，F分别是等边△ABC边上两点，且△BEF的面积和四边形ACEF的面积相等，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF．
（1）若EF∥AC，FG＝3，则GH＝ 　 　 ；
（2）如图2，若FG＝3，EH＝4，则GH＝ 　 　 ．
8．如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是点D、点E，点F在DA的延长线上，连接BF交CE的延长线于点M，AD＝2CD．
（1）若AE＝2，则BD＝　 　 ；
（2）若BM：MF＝6：7，EM＝1，则AF＝　 　 ．
9．如图，在矩形ABCD中，点F是CD边上的一点，把矩形ABCD沿BF折叠，点C落在AD边上的点E处，AD＝5，AB＝4，点M是线段CF上的动点，连接BM，过点E作BM的垂线交BC于点N，垂足为H．以下结论：
①△ABE∽△DEF；
②：
③CF＝2；
④EN BM＝25；
⑤．
其中正确的结论是 　 　 ．
三、解答题
10．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E为边AD上一点（不与点A，点D重合），先将矩形ABCD沿BE折叠，使点A落在点F处．
（1）如图，设∠DEF＝α，∠ABE＝β，请判断α与β的数量关系，并说明理由；
（2）若E为AD中点，求tan∠CBF的值；
（3）若点F落在矩形的对角线上，求AE的长．
11．如图，BD是四边形ABCD的对角线，已知∠ABC＝∠ADC＝90°．
（1）如图1，点E在BC的延长线上，若∠BDE＝90°，求证：△ADB∽△CDE；
（2）如图2，若∠ABD＝60°，求证：；
（3）如图3，若DA＝DB，tan∠DBC＝k，直接写出tan∠BDC的值（用含k的式子表示）．
12．如图1，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD平分∠ABC，过点A作AD的垂线，交BD于点E，且AE平分∠BAC．
（1）若∠ACB＝70°，求∠ADB的度数．
（2）求证：△AOE∽△DOC．
（3）如图2，若AB＝AD，EDBD，求sin∠CAE的值．
13．如图，E，F两点均在菱形ABCD的对角线BD上，射线AF交边BC于点G．
（1）如图1，若∠EAG＝∠ABD．
①求证：△ABE∽△FBG．
②过点E作EH⊥AF于点H，求证：AG＝2AH．
（2）如图2，射线AE交CD于点I，若GI∥BF，GI＝BF，AB＝2，求CI的长．
14．如图，已知在Rt△ABC中，ACB＝90°，点E是AC上一点，把△ABE沿着BE对折得到△GBE，GE∥BC，连接CG．
（1）求∠BEC的度数．
（2）若CG∥AB．
（i）如图1，若BC＝2，求的值；
（ii）如图2，过点C作BG的垂线分别交BG、AB于点F、D，连接ED、HD．求证：HD＝ED．
15．问题情境
如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且AE⊥EF．则①∠BAE＝∠CEF；②△AEF∽△ABE（结论不需要证明）．
初步探究
（1）如图2，在矩形ABCD中，E是BC的中点，EF⊥AE与直线CD交于点F．请证明：①∠BAE＝∠CEF；②△AEF∽△ABE．
结论运用
（2）在（1）的条件下，
①如图3，当AB＝2，AD平分∠EAF时，求AF的长；
②如图4，若EF与矩形外角∠DCC′的平分线交于点G，当A，D，G在同一条直线上时，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AMN∽△CBN，
∴，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MDADBC，
∴，
∴CN＝2AN，故①正确；
如图，过D作DH∥BM交AC于G，连接NH，
∵DH∥BM，BM⊥AC，
∴DH⊥AC，
∵DH∥BM，AD∥BC，
∴四边形BMDH是平行四边形，
∴BH＝MDBC，
∴BH＝CH，
∵∠BNC＝90°，
∴NH＝HC，且DH⊥AC，
∴DH是NC的垂直平分线，
∴DN＝CD，故②正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴△AMN∽△CAB，故④正确；
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，且∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，
∴∠BAC＝∠AMB，且∠BAM＝∠ABC，
∴△ABM∽△BCA，
∴，
∴AB2BC2，
∴ABBC，
∵tan∠DAC＝tan∠ACB，
∴tan∠DAC，故③错误，
故选：C．
2．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∴∠PDE＝15°，
∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EBD＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴，故②错误；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，
∵∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴，
∴PD2＝PH CD，
∵PB＝CD，
∴PD2＝PH PB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，
∴∠PCD＝30°
∴CM＝PN＝PB sin60°＝42，PM＝PC sin30°＝2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP＝∠DPM，
∴∠DBE＝∠DPM，
∴tan∠DBE＝tan∠DPM2，故④正确；
故选：D．
3．【解答】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF＝45°
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH＝EF，
∴∠AEB＝∠AEF，故①正确；
∵∠AMD＝∠ABD+∠BAE＝45°+∠BAE，∠NAB＝∠EAF+∠BAE＝45°+∠BAE，
∴∠NAB＝∠AMD，
∵∠ABN＝∠ADM＝45°，
∴△ABN∽△MDA，故②正确；
连接NE，
∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∵∠MBE＝∠EAF＝45°，∠AEB＝∠AEF，
∴△AFE∽△BME，
∵△AMN∽△BME，
∴△AMN∽△AFE，
∴，
∴AM AE＝AN AF，故③正确；
如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，连接NG，
∴∠ADG＝∠ABM＝45°，BM＝DG，
∴∠GDN＝90°，
∴△GDN是直角三角形，
同（1）得△ANG≌△ANM（SAS），
∴MN＝GN，
∴MN2＝NG2＝DN2+DG2＝DN2+BM2，故④正确．
本题正确的结论有：①②③④
故选：D．
4．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．
由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．
∴∠BEP+∠AEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEG+∠AGE＝90°，
∴∠BEP＝∠AGE．
∵∠FGQ＝∠AGE，
∴∠BEP＝∠FGQ．
∵∠B＝∠F＝90°，
∴△PBE∽△QFG．
故①正确；
②过点C作CM⊥EG于M，
由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
，
∴△BEC≌△MEC（AAS）．
∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．
∵CG＝CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），
∴S△CMG＝S△CDG，
∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，
∴②不正确；
③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
即EC平分∠BEG．
∴③正确；
④连接DH，MH，HE，如图，
∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，
∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM∠BCD＝45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP＝45°．
∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．
由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，
∴EH⊥CG．
∴EG2﹣EH2＝GH2．
由折叠可知：EH＝CH．
∴EG2﹣CH2＝GH2．
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC＝∠EHC＝90°，
∴E，M，H，C四点共圆，
∴∠HMC＝∠HEC＝45°．
在△CMH和△CDH中，
，
∴△CMH≌△CDH（SAS）．
∴∠CDH＝∠CMH＝45°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠GDH＝45°，
∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，
∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．
∵∠HGQ＝∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH，
∴，
∴GH2＝GQ GD，
∴GE2﹣CH2＝GQ GD．
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④．
故选：C．
5．【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OB，AC⊥BD，∠OCF＝∠OBE＝45°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF（ASA），
故①正确；
②∵∠EOF＝∠ECF＝90°，
∴点O，E，C，F四点共圆，
∴∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
③∵△BOE≌△COF，
∴S△BOE＝S△COF，
∴S四边形CEOF＝S△BOCS正方形ABCD＝1，
故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴OE＝OF，
又∵∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°＝∠OCE，
∵∠EOG＝∠COE，
∴△OEG∽△OCE，
∴，
∴OG OC＝OE2，
∵OC，OE，
∴OG AC＝EF2，
∵CE＝DF，BC＝CD，
∴BE＝CF，
在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，
∴BE2+DF2＝EF2，
∴OG AC＝BE2+DF2，
∴DF2+BE2＝2OG OC，
故④正确，
故选：D．
二、填空题
6．【解答】解：（1）∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ADC，∠AFE＝∠ACD，
∴△AEF∽△ADC，
∴，
∵F为AC中点，
∴，即E为AD的中点，
∴，
∴，AE＝DE，
∵EF＝2，
∴DC＝2EF＝2×2＝4，
∵DE＝DC，
∴DE＝DC＝4，
∴AD＝2DE＝2×4＝8．
故答案为：8；
（2）如图，过C作AD的平行线，交EF的延长线于G，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵CG∥AD，
∴∠GCE＝∠DEC，∠AEG＝∠G，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠BEC＝∠AEF，
∴∠BEC＝∠G，
∴△BEC∽△EGC，
∴，
∴CE2＝CG BC，
∵F为AC中点，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CGF中，
，
∴△AEF≌△CGF（ASA），
∴AE＝CG，EF＝GF，
∴，
∵BC＝3AE，BE＝6，CE2＝CG BC，
又∵AE＝CG，
∴CE2＝AE×3AE＝3AE2，
则，
由得，
解得，
∵，
∴．
故答案为：．
7．【解答】解：（1）过点A作AM⊥FG于点M，如图1：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠C＝60°，∠BFE＝∠A＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BE＝BF，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
∴AF＝CE，
根据折叠可知：∠BFE＝∠EFB′＝60°，∠BEF＝∠B′EF＝60°，
∴∠AFG＝180°﹣∠BFE﹣∠EFB′＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠CEH＝180°﹣∠BEF﹣∠B′EF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△AFG和△CEH为等边三角形，
∴∠B′GH＝∠AGF＝60°，∠GHB′＝∠CHE＝60°，AG＝AF＝FG，CE＝CH＝EH，
∴AG＝AF＝FG＝CE＝CH＝EH，
根据折叠可知：△B′EF为等边三角形，
∴B′F＝B′E，
∴B′F﹣FG＝B′E﹣EH，
∴B′G＝B′H，
∴△B′GH为等边三角形，
∵△AFG为等边三角形，AM⊥FG，
∴，
∴，
∴，
同理得：，
∵△BEF的面积和四边形ACEF的面积相等，
∴S△B′EF＝S△BEF＝S四边形ACEF，
∴S△B′GH+S四边形GHEF＝S四边形GHEF+S△AFG+S△CEH，
∵△AFG和△CEH为等边三角形，且FG＝CE，
∴S△AFG＝S△CEH，
∴S△B′GH＝2S△AFG，
∴，
解得：，（负值已舍去），
故答案为：；
（2）∵△BEF的面积和四边形ACEF的面积相等，
∴S△B′EF＝S△BEF＝S四边形ACEF，
∴S△B′GH+S四边形GHEF＝S四边形GHEF+S△AFG+S△CEH，
∴S△AFG+S△HEC＝S△B′GH，
∵∠B′＝∠A＝60°，∠AGF＝∠B′GH，
∴△AFG∽△B′HG，
同理得：△B′HG∽△CHE，
∴，，
∴，
∴，
∴HG2＝FG2+EH2＝32+42，
解得：HG＝5，（负值已舍去），
故答案为：5．
8．【解答】（1）解：∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS）；
∴BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，
∴∠DAC＝∠ACE，
∵∠AEC＝∠ADC＝90°，AC＝CA，
∴△ADC≌△CEA（AAS），
∴AE＝CD＝2，
∴AD＝2CD＝4，
设BE＝BD＝x，
在Rt△ABD中，则有（x+2）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴BD＝3；
故答案为：3；
（2）解：过F作FH⊥BA交BA的延长线于H，
由（1）知：△ADC≌△CEA（AAS），
∴AE＝CD，
∵AD⊥BC，AD＝2CD，
设AD＝2a，则DC＝a，
设BE＝BD＝x，
在Rt△ABD中，则有（x+a）2＝x2+（2a）2，
∴xa，
∴BDa，
∵△ABD≌△CBE（AAS），
∴BD＝BEa，
∵CE⊥AB，FH⊥BA，
∴EM∥FH，
∴△BEM∽△BHF，
∴，
∵BM：MF＝6：7，
∴BM：BF＝6：13，
∵EM＝1，
∴，
∴FH，
∵∠BAD＝∠FAH，∠ADB＝∠FHA＝90°，
∴△AFH∽△ABD，
∴，
∵AB＝AE+BE＝aaa，BDa，
∴，
∴AF．
故答案为：．
9．【解答】解：∵矩形ABCD沿BF折叠，点C落在AD边上的点E处，
∴∠BEF＝∠C＝90°＝∠A，BC＝BE，EF＝CF，
∴∠FED＝90°﹣∠AEB＝∠ABE，
∴△ABE∽△DEF，故①正确；
∴，
∴，故②错误；
由翻折可知：BE＝BC＝5，
∵AB＝4，
∴AE3，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，
设EF＝x＝CF，则DF＝4﹣x，
在Rt△DEF中，DE2+DF2＝EF2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝2.5，
∴CF＝2.5，故③错误；
过E作EG⊥BC于G，连接EC，如图：
在Rt△BFC中，BF，
在Rt△EGC中，EC2，
∴BF EC225，
∵BF≠BM，EC≠EN，
∴EN BM≠25，故④错误；
∵BM⊥EN，
∴∠BHN＝90°，
∴∠BNH＝90°﹣∠NBH＝∠BMC，即∠ENG＝∠BMC，
∵∠EGN＝90°＝∠C，
∴△EGN∽△BCM，
∴，故⑤正确；
∴正确的结论是①⑤，
故答案为：①⑤．
三、解答题
10．【解答】解：（1）∠ABE＝β＝∠FBE，
则∠AEB＝90°﹣β＝∠BEF，
则∠AEB+∠FEB+∠FED＝180°，即90°﹣β+90°﹣β+α＝180°，
则α＝2β；
（2）如图，∵E为AD中点，则AE＝EF＝2，
过点F作MN⊥AB交AD于点M，交BC于点N，
设MF＝x，则FN＝4﹣x，则ME，
∵∠MEF+∠MFE＝90°，∠BFN+∠FBN＝90°，
∴∠FBC＝∠EFM，
∴sin∠FBC＝sin∠EFM，即FN：BF＝EM：EF，
即（3﹣x）：3：2，解得：x，
则sin∠FBC＝FN：BF＝（3﹣x）：3；
（3）当点F在BD上时，如图，
∵AB＝3＝AF，AD＝4，则BD＝5，则FD＝BD﹣BF＝5﹣3＝2，
设AE＝EF＝x，则ED＝4﹣x，
在Rt△EFD中，ED2＝EF2+FD2，即（4﹣x）2＝x2+4，
则x＝1.5＝AE；
当点F在AC上时，
同理可得：∠DAC＝∠ABE，
则tan∠DAC＝tan∠ABE，即AE：AB＝CD：AD，即AE：3＝3：4，
则AE，
综上，AE或．
11．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠BCD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DE⊥BD，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∵∠ADB+∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝∠CDE，
∴△ADB∽△CDE．
（2）证明：过D点作DE⊥BD，交BC 的延长线于E点，
由（1）可得，△ADB∽△CDE，
∴，∠E＝∠ABD＝60°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBE＝30°，
∴BE＝2DE，
∴，
∴，，
∴，BEBD，
，
即，
在等式两边都乘以，
∴；
（3）解：过D点作DE⊥BD，交BC 的延长线于E点，
由（1）可得，△ADB∽△CDE，
∴，
设DA＝DB＝1，则DC＝DE，
∵∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴tan∠DBCk，
∴DE＝DC＝k，
过C作CF⊥DB于点F，设BF＝x（0＜x＜1），
则DF＝BD﹣BF＝1﹣x，
在Rt△BFC中，tank，
∴CF＝kx，
在Rt△DCF中，DF2+CF2＝CD2，
∴（1﹣x）2+（kx）2＝k2，
整理得（k2+1）x﹣2x+1﹣k2＝0，
即[（k2+1）x﹣（1﹣k2）]（x﹣1）＝0，
解得x1，x2＝1（舍去），
∴DF＝1﹣x，
∴tan∠BDC．
12．【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABEABC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAEBAC，
∵∠AED＝∠ABE+∠EBA，
∴∠AED（∠ABC+∠BAC）．
∵∠ACB＝70°，
∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠ACB＝110°，
∴∠AED＝55°，
∵AE⊥AD，
∴∠ADB＝90°﹣∠AED＝35°；
（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，EG⊥AB于点G，EH⊥AC于点H，连接CE，如图，
∵BD平分∠ABC，EF⊥BC，EG⊥AB，
∴EF＝EG，
∵AE平分∠BAC，EH⊥AC，EG⊥AB，
∴EH＝EG，
∴EF＝EH，
∵EF⊥BC，EH⊥AC，
∴点E在∠ACB的平分线上，
∴∠ACEACB．
由（1）知：∠AED（∠ABC+∠BAC）＝90°∠ACB，
∴∠AED＝90°﹣∠ACE，
∵AE⊥AD，
∴∠ADB＝90°﹣∠AED，
∴∠ACE＝∠ADB，
∵∠EOC＝∠AOD，
∴△EOC∽△AOD，
∴，
∵∠AOE＝∠DOC，
∴△AOE∽△DOC；
（3）解：延长AE，交BC于点F，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴△AED∽△FEB，
∴，
∵EDBD，
∴．
设AD＝7k，则DF＝4k，AB＝AD＝7k，
∵AE⊥AD，AD∥BC，
∴AF⊥BC，
∴sin∠BAF．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAF，
∴sin∠CAE＝sin∠BAF．
13．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD＝∠GBF．
∵∠EAG＝∠ABD，
∴∠EAG＝∠GBF．
∵∠BFG＝∠AFE，
∴△BFG∽△AFE，
∴∠AEB＝∠BGF．
∵∠ABE＝∠GBF，
∴△ABE∽△FBG；
②证明：连接EG，如图，
由（1）①得：△AFE∽△BFG，
∴．
∵∠EFG＝∠AFB，
∴△AFB∽△EFG，
∴∠EGF＝∠ABD．
∵∠EAG＝∠ABD，
∴∠EAG＝∠EGF，
∴EA＝EG．
∵EH⊥AF，
∴AH＝HG，
∴AG＝2AH．
（2）解：连接FI，如图，
∵GI∥BF，GI＝BF，
∴四边形BGIF为平行四边形．
∴FI∥BC，
∴．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴△ADF∽△GBF，
∴，
∴．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝2，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵GI∥BF，
∴∠CBD＝∠CGI，∠CIG＝∠CDB，
∴∠CGI＝∠CIG，
∴CI＝CG．
设CI＝CG＝x，则DI＝BG＝2﹣x，
∴，
解得：（不合题意，舍去），
即CI的长为．
14．【解答】（1）解：如图1中，连接AG，延长BE交AG于点J．
∵GE∥BC，
∴∠BCA＝∠CEG＝90°，
∴∠CAEG＝90°，
由翻折变换的性质可知BE垂直平分线段AG，EG＝EA，
∴∠GEJ＝∠AEJ＝45°，
∴∠BEC＝45°；
（2）①解：设AE＝EG＝x，
∵BC∥EG，
∴∠CBH＝∠EGH，
由翻折变换的性质可知∠BAE＝∠BGE，
∴∠CBH＝∠BAC，
∵∠BCH＝∠BCA＝90°，
∴△BCH∽∠ACB，
∴BC2＝CH CA，
∴CH
∵CG∥AB，
∴∠GCH＝∠CAB，
∴∠EGH＝∠GCE，
∵∠GEH＝∠GEC，
∴△GEH∽△CEG，
∴GE2＝EH EC，
∴x2＝（2）×2，
解得x1（负根已经舍去），
经检验x1是分式方程的解，
∴AE1，AC1，
∴；
②证明：
∵BC∥EG，
∴∠BCH＝∠CEG，
∵∠CBH＝∠A＝∠BGE＝∠ECG，CB＝CE，
∴△CBH≌△ECG（ASA），
∴CH＝GE＝AE，
∵∠DCA+∠BCF＝90°，∠CBH+∠BCF＝90°，
∴∠DCA＝∠CBH＝∠A，
∴DC＝DA，
∴△DHC≌△DEA（SAS），
∴DH＝DE．
15．【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AE与直线CD交于点F，
∴∠B＝∠C＝90°，∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠CEF，
∴∠BAE＝∠CEF；
②∵EF⊥AE与直线CD交于点F，
∴∠AEF＝∠B＝∠C＝90°，
∵由①得∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
在矩形ABCD中，E是BC的中点，
设AB＝x、BE＝CE＝y、AE＝a，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴且∠AEF＝∠B＝90°，
∴△AEF∽△ABE；
（2）解：①∵AD平分∠EAF，
∴∠FAD＝∠DAE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠FAD＝∠AEB，
∵∠FDA＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△FDA，
设BE＝EC＝x，则AD＝2x，
∴，
∴∠AFE＝30°，
由（1）得△AEF∽△ABE，
∴∠AFE＝∠AEB，
∴∠AFE＝∠AEB＝30°，
∴AE＝2AB＝4，
∴，
∴AF＝8．
②；理由如下：
∵∠ECF＝∠GDF＝90°，∠CFE＝∠DFG，
∴△ECF∽△GDF，
设AB＝CD＝x，BE＝EC＝y，
∵CG平分∠DCC′，
∴∠DCG＝∠GCC′＝45°，
∵AG∥BC′，
∴∠DGC＝∠GCC′＝45°，
∴DG＝DC＝x，
∴．
∵由（1）得△ABE∽△ECF，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴xy＝x2﹣y2，
∴，
设，
∴t＝1﹣t2，
解得：，（t2＜0，舍去），
∴．
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