2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点圆的切线的证明与锐角三角函数综合训练（含答案）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点圆的切线的证明与锐角三角函数综合训练
1．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE，求CD和DE的长．
2．如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若，，求DE的长．
3．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若BO＝4，，求ED的长．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B，求证：AC＝AP；
（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sinD，求BD的长．
6．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝1，，求⊙O的直径．
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BM＝4，tan∠BCD，求OM的长．
8．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CFB，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
9．如图，AB是⊙O的直径，，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值．
10．如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD交BD的延长线于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD交BD于点E，若CD＝3DE，求cos∠ABC的值．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AD＝10，cosB，求FD的长．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交BA的延长线于点E，连接BD．若∠EAD+∠BDF＝180°．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若BE＝10，sin∠BDC，求⊙O的半径．
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若BE＝3，cosC，求BF的长．
14．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若，BP＝4，求CD的长．
15．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为5，sinB时，求CE的长．
参考答案
1．【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴∠FOB＝∠FOC，
∴OF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴∠OAE＝∠OFB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵OB＝OA，
∴∠BAF＝∠ABE，
∴tan∠BAF＝tan∠ABE，
∴AF＝2BF，
∵ABBF＝10，
∴BF＝2，AF＝4，
∵BF2+FO2＝OB2，且OB＝OA＝4FO，
∴（2）2+FO2＝（4FO）2，
解得FO，
∴OD＝OB＝OA＝4，
∵OB＝OD，BF＝CF，
∴CD＝2FO＝23，
∵cos∠AOE＝cos∠FOB，
∴OE，
∴DE＝OE﹣OD，
∴CD的长是3，DE的长是．
2．【解答】（1）证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧，
∴∠EDB＝∠EAB，
∵∠EAD+∠EDB＝45°，
∴∠EAD+∠EAB＝45°，
即∠BAD＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵AB＝AG，
∴∠B＝∠G＝45°，
∴∠GAB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AG与⊙O相切；
（2）解：如图，连接CE，
∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵DC为直径，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DEC中，sin∠DCE＝sin ，
∵，∠B＝45°，∠BAG＝90°，
∴，
∴．
3．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝∠BDA＝90°，OB＝OD，
∴∠DBA＝∠BDO，
在Rt△BCA和Rt△BDA中，
，
∴Rt△BCA≌Rt△BDA（HL），
∴∠CBA＝∠DBA，
∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO，
∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，
∵∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°，
∴∠ADE+∠ADO＝90°，
即ED⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：∵BO＝4，
∴AB＝2OB＝8，
∴EB＝AE+AB＝AE+8，
∵tan∠CBA，∠CBA＝∠DBA，
∴tan∠DBA，
在Rt△ABD中，tan∠DBA，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，
∴△EAD∽△EDB，
∴ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，
即ED：（AE+8）＝AE：ED＝a：2a，
由AE：ED＝a：2a，得：AEED，
由ED：（AE+8）＝a：2a，得：2ED＝AE+8，
∴2EDED+8，
∵ED．
4．【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠OCA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠PCA＝∠B，
∴∠PCA＝∠BCO，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵sin∠B，
∴∠B＝30°，
∴∠PCA＝∠B＝30°，
由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°，
∴∠PCA＝∠P，
∴AC＝AP；
（3）设AD＝x，
在Rt△ACB中，CD⊥AB，
∴CD2＝AD×BD＝6x，
∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，
∴△PAC∽△PCB，
∴，
∴PC2＝PA PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），
在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，
即（4+x）2+6x＝4（10+x），
整理得x2+10x﹣24＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣12（舍去），
故AD＝2．
5．【解答】（1）证明：∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠A，
∵CO平分∠ACD，
∴∠OCA＝∠OCD，
∵∠A＝∠D，
∴∠OCD＝∠D，
∴OC∥DE，
∵CE⊥DB，交DB延长线于点E，
∴∠E＝90°，
∴∠OCE＝180°﹣∠E＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：∵⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，
∴AB＝2×5＝10，∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D，
∴sinA＝sinD，
∴BCAB10＝6，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BCE+∠OCB＝∠OCE＝90°，∠A+∠OBC＝90°，
∴∠BCE＝∠A，
∴sin∠BCE＝sinA，
∴BEBC6，
∴CE，
∵AC8，
∴tanD＝tanA，
∴DECE，
∴BD＝DE﹣BE，
∴BD的长为．
6．【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠EAD，
∵DE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠ODA+∠ADE＝90°，
即∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
即∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，
∴∠DAB+∠ABC+∠DBC＝∠EAD+∠ADC+∠CDE，
∵∠BAD＝∠EAD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠DBC＝∠CDE，
∵∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD，
∴BD＝CD，，
在Rt△CDE中，，
∴CD＝3CE＝3×1＝3，
∴BD＝3，
在Rt△ABD中，，
∴AB＝3BD＝3×3＝9，
即⊙O的直径为9．
7．【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠COE＝2∠ABC＝90°，
∵EF∥CD，
∴∠COE+∠OEF＝180°，
∴∠FEO＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过M作MH⊥BC于H，
则△BMH是等腰直角三角形，
∵BM＝4，
∴BH＝MHBM＝4，
在Rt△CHM中，∵tan∠BCD，
∴CH＝2MH＝8，
∴CM4，CB＝CH+BH＝12，
连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∵BD⊥BC，
∴MH∥BD，
∴，
∴，
∴DM＝2，
∴OD3，
∴OM＝OD﹣DM．
8．【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠OCF＝∠E＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵sin∠CFB，
∴∠CFB＝45°，
∵∠COF＝90°，
∴∠COF＝∠CFO＝45，
∴CF＝OC4，
∴∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠COD＝45°，
∴CD＝ODOC＝2，
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△COD面积222π﹣4．
9．【解答】（1）证明：连接BD，OC，OD，设AB交CD于点F，
∵，
∴BC＝BD，
∵OC＝OD，
∴点O、B在CD的垂直平分线上，
∴OB垂直平分CD，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADC＝∠AEB，
∴CD∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴AB＝2×2＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝3，
∴，
∴，
∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵∠AEB＝∠ADC，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴．
10．【解答】（1）证明：如图所示，连接OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAB+∠OAD＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠DAF＝∠ACD，∠OBA＝∠ACD，
∴∠DAF＝∠OAB，
∴∠DAF+∠OAD＝∠OAB+∠OAD＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴OA⊥AF，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图所示，延长CD交AF于H，延长AO交BC于G，连接OC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，即CH⊥BC，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴OA垂直平分BC，
∴AG⊥BC，
∴AG∥CH，
又∵由（1）知AF与⊙O相切
∴∠OAF＝90°
∴四边形AGCH为矩形
∴∠AHC＝90°
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AHC＝90°，
又∵∠ABE＝∠ACH，
∴△ABE≌△ACH（AAS），
∴AE＝AH，BE＝CH，
∵AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴DH＝DE，设DH＝DE＝a，则CD＝3a，
∴BE＝CH＝DH+CD＝4a，
∴BD＝BE+DE＝5a，
∴OA＝OD＝2.5a，
∴OE＝OD﹣DE＝1.5a，
∴
∴，
∴，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴．
11．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB，
∴cos∠ADC，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC，AD＝10，
∴CD＝AD cos∠ADC＝106，
∴AC8，
∴，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，
又∵FC2＝FD FA，
即（4x）2＝3x（3x+10），
解得x（取正值），
∴FD＝3x．
12．【解答】（1）证明：连接OD，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DF⊥BC，
∴∠F＝90°，
∵∠EAD+∠BDF＝180°．
∴∠BDF＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠DBF，
∴OD∥BF，
∵BF⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵OD是半径，
∴EF为⊙O的切线．
（2）解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴∠E＝∠BAC＝∠BDC，
设半径为r，则OE＝10﹣r，
在Rt△EOD中，
sinE＝sin∠BDC，即，
解得r＝4，
经检验，r＝4是原方程的解，
∴⊙O的半径为4．
13．【解答】（1）证明：如图，连接BD，OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD，
∵AB＝BC，
∴AD＝CD，
又∵OB＝OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵FD⊥AB，
∴FD⊥OD，
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：由于cosC，可设CD＝4x，则BC＝5x，
∴BD3x，
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴∠DBE＝∠CBD，
∵∠BED＝∠BDC＝90°，
∴△BED∽△BDC，
∴，
即，
解得x，
经检验，x是原方程的解，
∴BC＝5x，
∴ODBC，
∵OD∥BE，
∴△FEB∽△FDO，
∴，
即，
解得FB．
14．【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠DAE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠DAE＝∠OEA，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AC，
∴OE⊥PD，
∵OE是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：∵，BP＝4，OB＝OE，
∴，
∴OE＝2，
∴AB＝2OE＝4，
∴AP＝AB+BP＝8，
在Rt△APD中，sin∠P，
∴ADAP，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4，
∴CD的长为．
15．【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠E＝90°，
∵CO平分∠BCD，
∴∠OCB＝∠OCD，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO＝∠D，
∴∠D＝∠OCD，
∴OC∥DE，
∴∠OCE＝∠E＝90°，
即CE⊥OC，
∵OC是圆的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵sinB，
∴AC＝6，
∵∠OCE＝∠ACO+∠OCB＝∠ACO+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠OCB＝∠B，
∴sin∠ACE＝sinB，
解得：AE＝3.6，
∴CE4.8．
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