2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆的切线的证明与锐角三角函数综合训练（含答案）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆的切线的证明与锐角三角函数综合训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CD＝12，tan∠ABC，求⊙O的半径．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若BF＝1，sin∠AFE，求BC的长．
4．如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，点P是⊙O外的一点，PC⊥AB，垂足为点C，PC与BD相交于点E，连接PD，且PD＝PE，延长PD交BA的延长线于点F．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若DF＝4，PE，cos∠PFC，求BE的长．
5．如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连接AD、AE，且AD＝AE，CA＝CE．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若sinE，⊙O的半径为3，求AD的长．
6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF．
（1）求证：CF是⊙O切线；
（2）若AF＝10，sinF，求CD的长．
7．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E，点F在BC上，∠CDF＝∠ABD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若，tan∠CDF，BC，求⊙O的半径．
8．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，sin∠AFD，
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
10．如图，AB是⊙O的直径，点C，F是⊙O上的点，且∠CBF＝∠BAC，连接AF，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若tanE，BE＝4，求FH的长．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，sin∠BEC，求⊙O的半径．
12．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是⊙O的切线；
（2）若HA＝3，cosB，求CG的长．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接AC，sin∠BAC，BC＝2，AD的长为 　 　 ．
14．如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝5，cos∠ABD，求OE的长．
15．如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
参考答案
1．【解答】（1）证明：连接OE，∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ODE，
∴∠OED＝∠CDE，
∴OE∥CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥AB，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CD＝DF，
∵CD＝12，tan∠ABC，
∴BF16，
∴BD20，
∴BC＝CD+BD＝32，
∴AC＝BC tan∠ABC＝24，
∴12，
∵OE∥CD，
∴△AEO∽△ACD，
∴，
∴，
解得EO＝15﹣3，
∴⊙O的半径为15﹣3．
2．【解答】（1）证明：连接OA，则OF＝OA，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵AG＝GD，
∴OF⊥AD，
∴∠AGF＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°，
∴OA是⊙O半径，且AB⊥OA，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵，AD＝2AG，
∴，
∴，
设AG＝4m，则OA＝5m，
∴OF＝OA＝5m，
∵∠AGO＝90°，
∴OG3m，
∴FG＝OF﹣OG＝5m﹣3m＝2m，
∵∠AED＝∠AGF＝90°，
∴∠ADB＝∠AFG＝90°﹣∠DAE，
∴tan∠ADB＝tan∠AFG2，
∴tan∠ADB的值是2．
3．【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠FOE＝∠OAE+∠OEA＝2∠OAE，
∵∠CAB＝2∠EAB，
∴∠CAB＝∠FOE，
又∵∠AFE＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°＝∠FOE+∠AFE，
∴∠OEF＝90°，
即OE⊥EF，
∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r+1，
∵sin∠AFE，
∴r＝4，
∴AB＝2r＝8，
在Rt△ABC中，sin∠ABCsin∠AFE，AB＝8，
∴AC8，
∴BC．
4．【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵PD＝PE，
∴∠PDE＝∠PED，
∵PC⊥AB，
∴∠BCE＝90°，
∴∠OBC+∠BEC＝90°，
∵∠PED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠PDE，
∴∠PDE+∠BCO＝90°，
∴∠PDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：∵PD＝PE，
∴PF＝PD+FD，
在Rt△PFC中，∵cos∠PFC，
∴CF＝6，
在Rt△ODF中，∵cos∠PFC，
∴OF＝5，
∴OC＝CF﹣OF＝1，OD，
∴OB＝OD＝3，
∴BC＝OB﹣OC＝2，
∵PC，
∴CE＝PC﹣PE＝1，
∴BE．
5．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD＝AE，
∴∠E＝∠D，
∵∠B＝∠D，
∴∠E＝∠B，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠B，
∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°，
∵∠E＝∠CAE＝∠B，
∴sinB＝sinE，
∵OA＝OB＝3，
∴AB＝6，
∴CE＝CAAB6＝4，
∴CFCE4，
∴AF＝EF，
∴AD＝AE＝2AF＝2，
∴AD的长是．
6．【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD，
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴，
∴∠COB＝∠DOB，
∵∠DOB＝2∠DAF，
∴∠COB＝2∠DAF，
∵∠FCD＝2∠DAF，
∴∠FCD＝∠COB，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO＝90°，
∴∠COB+∠OCE＝90°，
∴∠FCD+∠OCE＝90°，
即∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
又OC为⊙O的半径，
∴CF是⊙O切线；
（2）解：如图，连接OC，
由（1）知OC⊥CF，
∴，
设OC＝2x，则OF＝3x，
∴OA＝OC＝2x，
∵AF＝10，
∴OA+OF＝10，
即2x+3x＝10，
解得，x＝2，
∴OC＝4，
∵OC⊥CF，
∴∠OCE+∠FCE＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠F+∠FCE＝90°，
∴∠F＝∠OCE，
∴sinF＝sin∠OCE，
在Rt△CEO中，，
即，
∴，
由勾股定理得，，
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴．
7．【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDF+∠CDF＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠CDF＝∠ABD，
∴∠ODB＝∠CDF，
∴∠ODB+∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O 的切线；
（2）解：如图，连接AE，
∵，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠AEC，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC，
∵tan∠CDF，∠CDF＝∠ABD，
∴tan∠ABD，
在Rt△ABD中，，
设AD＝4x，则BD＝3x，
∴AB5x，
∴AC＝5x，
∴CD＝x，
在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2，
∴（3x）2+x2＝（）2，
∴x＝1，
∴5x＝5，
∴AB＝5，
∴OA，
∴⊙O的半径为．
8．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AD⊥DF，
∴∠D＝90°，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠OCF＝∠D＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：①过点O作OG⊥AE，垂足为G，
∴AG＝EGAE＝1，
∵OG⊥AD，
∴∠AGO＝∠DGO＝90°，
∵∠D＝∠AGO＝90°，
∴OG∥DF，
∴∠AFD＝∠AOG，
∵sin∠AFD，
∴sin∠AOG＝sin∠AFD，
在Rt△AGO中，AO3，
∴⊙O的半径为3；
②∵∠OCF＝90°，
∴∠OCD＝180°﹣∠OCF＝90°，
∵∠OGE＝∠D＝90°，
∴四边形OGDC是矩形，
∴OC＝DG＝3，
∵GE＝1，
∴DE＝DG﹣GE＝3﹣1＝2，
∴线段DE的长为2．
9．【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴OD∥AB，
∴∠ODC＝∠B＝90°，
∴半径OD⊥BC于点D，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接 OF，DE，
∵∠B＝90°，tan∠ADB，
∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°，
∵BD＝5，
∴AD＝2BD＝10，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠BAD＝30°，
在 Rt△ADE 中，AD＝10，
∵cos∠DAE，
∴AE，
∴OAAE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF 是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∵OD∥AB，
∴S△ADF＝S△AOF，
∴S阴影＝S扇形OAF．
10．【解答】（1）证明：连接OC交BF于点I，则OC＝OA，
∵∠CBF＝∠BAC，∠CBF＝∠CAF，
∴∠BAC＝∠CAF，
∴，
∴OC垂直平分BF，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AF交AF的延长线于点D，
∴∠D＝∠AFB＝90°，
∴DE∥FB，
∴∠OCE＝∠OIB＝90°，
∵OC是⊙O的半径，DE经过点C且DE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：作BL⊥CE于点L，则∠BLE＝∠BLC＝90°，
∵∠BIC＝∠ICL＝90°，
∴四边形BICL是矩形，
∵tanE，
∴BLEL，
∵BE＝4，OB＝OC，
∴BEEL＝4，
∴EL，
∴IC＝BL，
∴sinE，
∴OCOE（OC+4），
∴OB＝OC＝6，
∴OE＝OB+BE＝6+4＝10，
∴CE8，
∵OI＝OC﹣IC＝6，
∴AF＝2OI＝2，
∵FG⊥AB于点G，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFH＝∠E＝90°﹣∠DAE，
∵∠FAH＝∠ECB＝90°﹣∠ACD，
∴△AFH∽△CEB，
∴，
∴FHBE4，
∴FH的长是．
11．【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠BCE∠ABC，∠BCE∠BOE，
∴∠ABC＝∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠BCD，
∵EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACE，
∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，
即∠FEO＝∠ACB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠FEO＝90°，
∴FE⊥EO，
∵EO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵EF∥AC，
∴△FEO∽△ACB，
∴，
∵BF＝2，sin∠BEC，
设⊙O的半径为r，
∴FO＝2+r，AB＝2r，BCr，
∴，
解得：r＝3，
检验得：r＝3是原分式方程的解，
∴⊙O的半径为3．
12．【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD＝DC，AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，ODBC，
∵DG⊥BC，
∴OD⊥HG，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线HG是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OH＝x+3，BC＝2x，
∵OD∥BC，
∴∠HOD＝∠B，
∴cos∠HOD，即，
解得：x＝2，
∴BC＝4，BH＝7，
∵cosB，
∴，即，
解得：BG，
∴CG＝BC﹣BG＝4．
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
∵∠BAP+∠DCE＝90°，
∴∠BAP+∠BAD＝90°，
∴∠OAP＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是圆O的切线；
（2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∵∠BAC＝∠F，
∴sin∠BAC＝sinF，
在Rt△BCF中，BC＝2，
∴BF6，
∴AD＝BF＝6，
故答案为：6．
14．【解答】（1）证明：如图，
连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝BE＝EC，
在△DOE和△BOE中，
，
∴△DOE≌△BOE（SSS），
∴∠ODE＝∠ABC＝90°，
∴OD⊥DE
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，
∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，
∴∠C＝∠ABD，
在Rt△ABC中，
AC，
∵OA＝OB，BE＝CE，
∴OE．
15．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ADC，
∵EB＝DB，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠E+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OC＝3，
∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，
∵BE＝6，
∴BD＝BE＝6，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴36+（r+3）2＝（2r）2，
∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），
∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
在Rt△EBC中，EC2，
∴cos∠ECB，
∴cos∠CDA＝cos∠ECB，
∴cos∠CDA的值为．
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