2025年九年级中考二轮专题训练圆的切线的证明与锐角三角函数综合训练（含答案）

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2025年九年级中考二轮专题训练圆的切线的证明与锐角三角函数综合训练
1．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE＝OA，sin∠BAC，求tan∠CEO的值．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，AC与OD相交于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠OAC，AD，求⊙O的半径．
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．
4．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD．
（1）求证：MC是⊙O的切线；
（2）若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）若AP＝OP，cosA，AP＝4，求BF的长．
6．如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA＝∠OCA．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，OF＝4，求cos∠DAC的值．
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB，AD＝2，求FD的长．
8．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心，CB为半径作⊙C，D为⊙C上一点，连接AD、CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．
（1）求证：AD是⊙C的切线；
（2）延长AD、BC相交于点E，若S△EDC＝2S△ABC，求tan∠BAC的值．
9．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为直径的⊙O交AB边于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，sin∠B，求线段DF的长．
11．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACE，OE＝3，求BC的长．
12．如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F的值．
13．如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．
14．如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD，求BC的长．
15．如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
参考答案
1．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠OCB+∠DCB＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥BC于点H．
∵sin∠BAC，
∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AO＝OC＝CE＝2.5k，
∵OH⊥BC，OC＝OB
∴CH＝BH＝2k，
∵OA＝OB，AC2＝AB2﹣BC2，
∴OHACk，
∴EH＝CE﹣CH＝2.5k﹣2k＝0.5k，
∴tan∠CEO3．
2．【解答】（1）证明：∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠ADO＝∠BOC，
∴∠ADO+∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝180°﹣90°＝90°，
即OA⊥AD，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴tan∠OACtan∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠OAD，即∠OCB+∠OCA＝90°＝∠OAC+∠DAE，
∴∠DAE＝∠OCB，
又∵∠ADO＝∠BOC，
∴∠DEA＝∠B，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，
设半径为r，则OEr，ODr，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD2+OA2＝OD2，
即（）2+r2＝（r）2，
解得r＝2或r＝0（舍去），
即半径为2．
3．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD．
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠ODA＝∠EAD．
∴OD∥AE．
∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接BC，交OD于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC8，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，
∴∠OHB＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥BC，
∴CHBC＝4，
∵CH＝BH，OA＝OB，
∴OHAC＝3，
∴DH＝5﹣3＝2，
∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，
∴四边形ECHD是矩形，
∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2，
∴AE＝6+2＝8，
∵∠DAB＝∠DAE，
∴tan∠DAB＝tan∠DAE．
4．【解答】（1）证明：∵AD⊥MC，
∴∠D＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠MAD，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥DA，
∴∠D＝∠OCM＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴MC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝4，
∴OC＝OBAB＝2，
∴OM＝OB+BM＝6，
在Rt△OCM中，MC4，
∵∠M＝∠M，∠OCM＝∠D＝90°，
∴△MCO∽△MDA，
∴，
∴，
∴MD，AD，
∴CD＝MD﹣MC，
在Rt△ACD中，tan∠DAC，
∴tan∠MAC＝tan∠DAC，
∴tan∠MAC的值为．
5．【解答】（1）证明：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵点F为DE的中点，
∴BF＝EFDE，
∴∠FEB＝∠FBE，
∵∠AEP＝∠FEB，
∴∠FBE＝∠AEP，
∵PD⊥AC，
∴∠EPA＝90°，
∴∠A+∠AEP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠OBA+∠FBE＝90°，
∴∠OBF＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF与⊙O相切；
（2）解：在Rt△AEP中，cosA，AP＝4，
∴AE5，
∴PE3，
∵AP＝OP＝4，
∴OA＝OC＝2AP＝8，
∴PC＝OP+OC＝12，
∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠AEP＝∠C，
∵∠APE＝∠DPC＝90°，
∴△APE∽△DPC，
∴，
∴，
∴DP＝16，
∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13，
∴BFDE，
∴BF的长为．
6．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，点O为AB的中点，
∴CO⊥AB．
∵DF是AC的垂直平分线，
∴DC＝DA，
∴∠DCA＝∠DAC．
∵∠DCA＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA．
∴DA∥OC，
∴DA⊥OA．
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：在△CDE和△CFE中，
，
∴△CDE≌△CFE（ASA），
∴CD＝CF＝6，
∴CO＝CF+OF＝10．
∵DF是AC的垂直平分线，
∴CE＝AEAC．
∵∠CEF＝∠COA＝90°，∠ECF＝∠OCA，
∴△CEF∽△COA，
∴，
∴，
∴AC＝2，
在Rt△AOC中，
∵cos∠OCA，
∴cos∠DAC＝cos∠OCA．
7．【解答】解：（1）连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）∵∠B＝∠ADC，cosB，
∴cos∠ADC，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC，AD＝2，
∴CD＝AD cos∠ADC＝2，
∴AC，
∴，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+2，
又∵FC2＝FD FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x（取正值），
∴FD＝3x．
8．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC．
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△BAC≌△DAC（SAS），
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴CD⊥AD，
即AD是⊙C的切线；
（2）解：由（1）可知，∠EDC＝∠ABC＝90°，
又∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBA．
∵S△EDC＝2S△ABC，且△BAC≌△DAC，
∴S△EDC：S△EBA＝1：2，
∴DC：BA＝1：．
∵DC＝CB，
∴CB：BA＝1：．
∴tan∠BAC．
9．【解答】证明：（1）连接OC，OD，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥CE于F，
由（1）知，∠OCE＝90°，
在Rt△OCE中，∵CE＝4，OC＝3，
∴OE5，
∵AB⊥CD，
∴S△OCEOC CECP OE，
∴3×4＝5CP，
∴CP，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴CP＝DP，
∴CD＝2CP，
在Rt△CPE中，PE，
∵CE，DE是⊙O的切线，
∴DE＝CE＝4，
∵S△CDECE DFCD PE，
∴4DF，
∴DF，
在Rt△DEF中，sin∠DEC．
10．【解答】解：（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴．
∴OD⊥EC．
∵DF∥CE，
∴OD⊥DF．
∴DF是⊙O的切线．
（2）连接DE，如图，
∵，
∴ED＝DC．
∵AD是⊙O的直径，
∴DE⊥AE．
∴∠BED＝90°．
∵sin∠B，sin∠B，BD＝5，
∴DE＝3．
∴BE，DC＝DE＝3．
∴BC＝BD+CD＝5+3＝8．
∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BCA＝90°，
∴△BED∽△BCA．
∴．
∴BA＝2BD＝10，AC＝2DE＝6．
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣4＝6．
∵∠ADF＝90°，DE⊥AF，
∴△DEF∽△AED．
∴．
∴EF．
∴FD．
11．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACE+∠BCE＝90°，
∵AD＝AC，BE＝BC，
∴∠ACE＝∠D，∠BCE＝∠BEC，
又∵∠BEC＝∠AED，
∴∠AED+∠D＝90°，
∴∠DAE＝90°，
即AD⊥AE，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）由tan∠ACEtan∠D可设AE＝a，则AD＝3a＝AC，
∵OE＝3，
∴OA＝a+3，AB＝2a+6，
∴BE＝a+3+3＝a+6＝BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝BC2+AC2，
即（2a+6）2＝（a+6）2+（3a）2，
解得a1＝0（舍去），a2＝2，
∴BC＝a+6＝8．
12．【解答】（1）证明：∵DF∥AC，
∴∠F＝∠OAC，
∵∠OAB＝∠F，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴OA是∠BAC的角平分线，
∵⊙O与AD相切于点B，
∴OB是⊙O的半径，OB⊥AD，
∵∠ACD＝90°，
∴OC⊥AC，
∴OB＝OC，
∴点C在⊙O上，
∵OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：OB＝OC＝3，OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的直径，
∴CE＝2OC＝6，
∴CD＝CE+DE＝6+2＝8，OD＝OE+DE＝OC+DE＝3+2＝5，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD4，
∵∠OBD＝∠ACD＝90°，∠ODB＝∠ADC，
∴△ODB∽△ADC，
∴，
∴AC6，
∵∠F＝∠OAC，
∴tanF＝tan∠OAC．
13．【解答】解：（1）连接OC，如图：
∵CD＝DE，OC＝OA，
∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图：
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵tan∠DCE＝2，
∴tanE＝2，
∵ED⊥AD，
Rt△EDA中，2，
设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，
∵BD＝1，
∴AD＝2x+1，
∴2，
∴ED＝xCD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝BD AD，
∴（x）2＝1×（2x+1），解得x或x（舍去），
∴⊙O的半径为．
14．【解答】（1）证明：连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE＝∠DAE，
∴∠OEA＝∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠D，
又∠DAE＝∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴，
又tan∠EAD，
∴，
则AE＝2BE，又AB＝10，
在△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即（2BE）2+BE2＝102，
解得：BE，则AE，
∴，
解得：AD＝8，DE＝4，
∵OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴，
设BC＝x，
∴，
解得：x，
经检验：x是原方程的解，
故BC的长为．
15．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OE∥BC，
∴，
∵CD＝4，CE＝6，
∴，
设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，
∵OC⊥DC，
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，
∴（3x）2+42＝（5x）2，
解得，x＝1，
∴OC＝3x＝3，即⊙O的半径为3，
∵BC∥OE，
∴∠OCB＝∠EOC，
在Rt△OCE中，tan∠EOC2，
∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．
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