2025年九年级中考二轮专题训练圆的切线的证明与锐角三角函数压轴题训练（含答案）

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2025年九年级中考二轮专题训练圆的切线的证明与锐角三角函数压轴题训练
1．如图，AC是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，且CD平分∠ACE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：∠CDE＝∠DBE；
（3）若DE＝6，tan∠CDE，求BF的长．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若tan∠A，⊙O的半径为3，求EF的长．
3．如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交⊙O于点B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，cos∠PAB，求PO的长．
4．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE，求DM的长．
5．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，sinF，求BG的长．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，BC于点E，直线EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）当EB＝6，cos∠ABE时，求tanH的值．
7．如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD，求BC的长．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tanA，AD＝2，求BO的长．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，cos∠CAB，求AB的长．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB，求ED的长．
13．如图， ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为的中点．
（1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知cos∠ABC，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．
14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若tan∠PAC，AC＝12，求直径AB的长．
15．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值．
参考答案
1．【解答】（1）证明：连接OD，如图：
∵CD平分∠ACE，
∴∠OCD＝∠DCE，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠DCE＝∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：连接AB，如图：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠DBC＝90°，
∵，
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ODC，
∴∠ABD＝∠ODC，
∴∠ODC+∠DBC＝90°，
∵∠ODC+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠DBC，即∠CDE＝∠DBE；
（3）解：Rt△CDE中，DE＝6，tan∠CDE，
∴，
∴CE＝4，
由（2）知∠CDE＝∠DBE，
Rt△BDE中，DE＝6，tan∠DBE，
∴，
∴BE＝9，
∴BC＝BE﹣CE＝5，
∵M为BC的中点，
∴OM⊥BC，BMBC，
Rt△BFM中，BM，tan∠DBE，
∴，
∴FM，
∴BF．
2．【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵CD平分∠OCB，
∴∠OCD＝∠BCD，
∴∠ODC＝∠BCD，
∴OD∥CE，
∴∠CEF＝∠ODE，
∵CE⊥DF，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴tan∠A，则AD＝2BD，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2r＝6，
∴BD2+AD2＝AB2，即BD2+（2BD）2＝62，
解得BD，
由（1）知DF是⊙O的切线，
∴∠BDF＝∠A，
∵BE⊥DF，
∴∠BEF＝90°，
∴tan∠BDF，则DE＝2BE，
在Rt△BDE中，BD，
由勾股定理可得，BE2+DE2＝BD2，即BE2+（2BE）2＝（）2，
解得BE，则DE，
由（1）知BE∥OD，
∴，即，解得EF．
3．【解答】（1）证明：连接OB，
∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，
∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OB，AB⊥OP，
∴∠POA＝∠POB，
在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
即OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：设OP与AB交于点D．
∵AB⊥OP，AB＝6，
∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝90°，
∵，
∴PA＝5，
∴PD，
在Rt△APD和Rt△APO中，，，
∴，
∴PO．
4．【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于F，
∵⊙O的半径为6，tanEtan∠ACD＝tan∠OAN，
∴ONOA6＝2，
∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4，
∴CD＝3DN＝12，
在Rt△CDN中，
CN4，
由三角形的面积公式可得，
CN DF＝DN CD，
即4DF＝4×12，
∴DF，
又∵∠AMD∠AOD90°＝45°，
在Rt△DFM中，
DMDF．
5．【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵CD⊥AB，
∴∠AHP＝90°，
∵FE＝FP，
∴∠FPE＝∠FEP，
∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°，
∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO，
∴OE⊥EF，
∴FE是⊙O的切线；
（2）∵∠FHG＝∠OEG＝90°，
∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F，
∴∠F＝∠EOG，
∴sinF＝sin∠EOG，
设EG＝3x，OG＝5x，
∴OE4x，
∵OE＝8，
∴x＝2，
∴OG＝10，
∴BG＝10﹣8＝2．
6．【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
∵OB＝OA，
∴OE∥AC，
又∵HF⊥AC，
∴OE⊥HF，
∴HF是⊙O的切线．
（2）解：过点E作EG⊥AH于G，
∴∠EGB＝90°，EB＝6，
∵cos∠ABE，
∴BG＝2，EG＝4，
∵∠H+∠HEG＝90°，∠GEO+∠HEG＝90°，
∴∠H＝∠GEO，
在Rt△BEA中，
cos∠ABE，EB＝6，
∴AB＝18，
∴OBAB＝9，
∴GO＝OB﹣BG＝7，
∴tanH＝tan∠GEO．
7．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠CAD+∠BAC＝90°，
即∠BAD＝90°，
∴AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，
∵tan∠CAD，AD＝4，
∴DM＝2，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD⊥OA，DM⊥AD，
∴OA∥DM，
∴∠M＝∠OAC，
∵∠OCA＝∠DCM，
∴∠DCM＝∠M，
∴DC＝DM＝2，
在Rt△OAD中，OA2+AD2＝OD2，
即OA2+42＝（OC+2）2＝（OA+2）2，
∴OA＝3，
∴AB＝6，
∵∠CAD＝∠B，tan∠CAD，
∴tanB＝tan∠CAD，
∴BC＝2AC，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴62＝5AC2，
∴AC，
∴BC．
8．【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过C作CH⊥BF于H，
∵AB＝AC，⊙O的直径为4，
∴AC＝4，
∵CF＝6，∠ABF＝90°，
∴BF2，
∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，
∴△CHF∽△ABF，
∴，
∴，
∴CH，
∴HF，
∴BH＝BF﹣HF＝2，
∴tan∠CBF．
9．【解答】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC，
即OH为⊙O的半径，
∵OH⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，
在Rt△AOH中，∵tanA，
∴，
∴，
∴AH＝4x，
∴AO5x，
∵AD＝2，
∴AO＝OD+AD＝3x+2，
∴3x+2＝5x，
∴x＝1，
∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，
∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，
在Rt△ABC中，∵tanA，
∴BC＝AC tanA＝86，
∴OB3．
10．【解答】（1）证明：连接OF，BE，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠ACD，
∴BE∥CD，
∵点F是弧BE的中点，
∴OF⊥BE，
∴OF⊥CD，
∵OF为半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OFD＝90°，
∴AC∥OF，
∴△OFD∽△ACD，
∴，
∵BD＝2，OF＝OB＝4，
∴OD＝6，AD＝10，
∴AC，
∴CD，
∵AC∥OF，OA＝4，
∴，即，
解得：CF，
∴tan∠AFC．
11．【解答】（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴直线CE是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴cos∠CAD，
∴在Rt△ACD中，AC＝5，
∴在Rt△ABC中，AB．
12．【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OM，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CDAB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，
∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM过O，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴M为BC的中点，
∵sinB，
∴cosB，
在Rt△BMD中，BM＝BD cosB＝4，
∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC cosB，
∴ED＝BE﹣BD5．
13．【解答】解：（1）证明：∵G为的中点，
∴∠MOG＝∠MDN．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，
∴∠MOG+∠A＝180°，
∴AB∥OE，
∴四边形ABEO是平行四边形．
∵BO平分∠ABE，
∴∠ABO＝∠OBE，
又∵∠OBE＝∠AOB，
∴∠ABO＝∠AOB，
∴AB＝AO，
∴四边形ABEO为菱形；
（2）如图，过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AE交OB于点F，
则∠PAO＝∠ABC，
设AB＝AO＝OE＝x，则
∵cos∠ABC，
∴cos∠PAO，
∴，
∴PAx，
∴OP＝OQx
当AE与⊙O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F为切点，
∴在Rt△OBQ中，由勾股定理得：82，
解得：x＝2（舍负）．
∴AB的长为2．
14．【解答】解：（1）连接PO，交AC于H，
∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PCA＝∠PBA，
∴∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，
∵DP∥AC，
∴∠DPA＝∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，
∵OA＝OP，
∴∠PAO＝∠OPA，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠PAB+∠ABP＝90°，
∴∠OPA+∠DPA＝90°，
∴∠DPO＝90°，
又∵OP是半径，
∴DP是⊙O的切线；
（2）∵DP∥AC，∠DPO＝90°，
∴∠DPO＝∠AHO＝90°，
又∵PA＝PC，
∴AH＝HCAC＝6，
∵tan∠PAC，
∴PHAH＝4，
∵AO2＝AH2+OH2，
∴AO2＝36+（OA﹣4）2，
∴OA，
∴AB＝2OA＝13．
15．【解答】（1）证明：作OE⊥CD于E，如图1所示：
则∠OEC＝90°，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣∠DAB＝90°，
∴∠OEC＝∠OBC，
∵CO平分∠BCD，
∴∠OCE＝∠OCB，
在△OCE和△OCB中，，
∴△OCE≌△OCB（AAS），
∴OE＝OB，
又∵OE⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）解：作DF⊥BC于F，连接BE，如图2所示：
则四边形ABFD是矩形，
∴AB＝DF，BF＝AD＝1，
∴CF＝BC﹣BF＝2﹣1＝1，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD、BC是⊙O的切线，
由（1）得：CD是⊙O的切线，
∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，
∴CD＝ED+EC＝3，
∴DF2，
∴AB＝DF＝2，
∴OB，
∵CO平分∠BCD，
∴CO⊥BE，
∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠BCH，
∵∠APE＝∠ABE，
∴∠APE＝∠BCH，
∴tan∠APE＝tan∠BCH．
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