第十七章 勾股定理期中练习（含答案）

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第十七章勾股定理期中练习人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在一块四边形ABCD空地中植草皮，测得AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，且∠ABC＝90°．若每平方米草皮需要200元，则需要（　　）元投入．
A．16800 B．7200 C．5100 D．无法确定
3．已知：k＞1，b＝2k，a+c＝2k2，ac＝k4﹣1，则以a、b、c为边的三角形（　　）
A．一定是等边三角形 B．一定是等腰三角形
C．一定是直角三角形 D．形状无法确定
4．如图，已知圆柱的底面直径BC＝，高AB＝3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是（　　）
A． B．3 C．5 D．
6．若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（　　）
A．5或 B． C．7 D．5
7．如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若AB＝17，AH＝8，则正方形EFGH的边长是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB、BC、AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1、S2、S3．若AB＝5，S3＝5，则S2的值等于　　．
10．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　 　米．
11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，b+a＝12，则中间小正方形的面积是　 　．
12．一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 　　．
13．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为　 　cm（假设蜂蜜不会下滑）．
三、解答题
14．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题．
（1）AB＝　 ；AC＝　　 ；BC＝　 ；
（2）求△ABC的面积；
（3）判断△ABC是什么形状，并说明理由．
15．如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，CD＝3，BD＝4，AC＝12，AB＝13．
（1）求BC长；
（2）求图中阴影部分的面积．
16．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝24米，BC＝7米，CD＝15米，AD＝20米．
（1）求AC的长度；
（2）已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形ABCD地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？
17．如图，在△ABC中，AC＝13cm，AB＝12cm，BC＝5cm，D是BC延长线上的点，连接AD，若AD＝15cm．
（1）求CD的长；
（2）过点C作CE⊥AD交AD于点E，求CE的长．
18．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．
19．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）请利用图①证明：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，OB＝5，求该图形的面积．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D．
（1）若∠D＝20°，求∠BAC的度数．
（2）求证：∠BAC＝2∠D．
（3）已知∠D＝22.5°，AC，求BC2的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：∵72＝49，152＝225，202＝400，242＝576，252＝625，
∴72+242＝252，152+202＝252，
∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，
故选：C．
2．【解答】解：连接AC，
因为AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，∠B＝90°，
所以AC2＝AB2+BC2，
＝42+32，
＝16+9，
＝25，
所以AC＝5m，
又因AD2﹣DC2，
＝132﹣122，
＝169﹣144，
＝25，
＝AC2，
所以△DAC为直角三角形，
因此S四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△DAC，
AB×BCAD×AC，
4×312×5，
＝6+30，
＝36．
故费用为：200×36＝7200元，
故选：B．
3．【解答】解：∵a+c＝2k2，ac＝k4﹣1，
∴a，c可以认为是x2﹣（2k2）x+k4﹣1＝0的两根，
解得：x1＝k2﹣1，x2＝k2+1，
∵b＝2k，
∴b2＝4k2，
不妨令a＝k2+1，c＝k2﹣1
于是a2﹣c2＝4k2＝b2，
即a2＝b2+c2，故为直角三角形．
故选：C．
4．【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在RT△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝3，
所以AC＝3，
∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC＝6，
故选：D．
5．【解答】解：当沿前面和右面爬行时，将正方体展开，连接M、D1，
根据两点之间线段最短，
MD＝MC+CD＝1+2＝3，
MD1＝＝＝．
当沿前面和上面爬行时，MD1＝＝，
＜，
故选：A．
6．【解答】解：当长为4的边为直角边时，则第三边长为，
当长为4的边为斜边时，则第三边长为，
综上所述，第三边长为5或，
故选：A．
7．【解答】解：∵数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，
∴AC＝1﹣（﹣2）＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB，
∴点P表示的数为2，
故选：A．
8．【解答】解：由题意得，AD＝AB＝17，AH＝DE＝8，∠AHD＝90°，
∴DH15，
∴HE＝DH﹣DE＝15﹣8＝7，
∴正方形EFGH的边长是7，
故选：C．
二、填空题
9．【解答】解：由题意可得：AB2＝52＝25，
∵S3＝5，
∴AC2＝5，
BC2＝AB2﹣AC2＝20，
∴S2＝20，
故答案为：20．
10．【解答】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
11．【解答】解：由勾股定理，得a2+b2＝c2＝（3）2＝90，
∵b+a＝12，
∴b2+2ab+a2＝144，
∴90+2ab＝144，
∴ab＝27，四个直角三角形的面积为4ab＝54，
∴中间小正方形的面积是90﹣54＝36．
故答案为：36．
12.【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，12，13，符合勾股定理的逆定理52+122＝132，
∴此三角形为直角三角形，则13为直角三角形的斜边，
∵三角形斜边上的中线是斜边的一半，
∴三角形最长边上的中线为．
故答案为：．
13．【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝＝20（cm）．
故答案为：20．
三、解答题
14．【解答】解：（1），，，
故答案为：；
（2）△ABC的面积＝，
故答案为：5；
（3）∵，
∴△ABC是直角三角形．
15．【解答】解：（1）∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝＝5，
答：BC长是3；
（2）∵AB＝13，AC＝12，
∴AC2+BC2＝122+52＝144+25＝169＝132＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC＝×5×12﹣×4×3＝24．
故图中阴影部分的面积为24．
16．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC25（米），
（2）∵152+202＝625，252＝625，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ACD为直角三角形，∠D＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDAB BCAD CD24×720×15＝234（米2），
∴购买运动型塑胶地板的费用为：234×200＝46800（元），
答：购买运动型塑胶地板的费用需要46800元．
17．【解答】解：（1）∵AC＝13cm，AB＝12cm，BC＝5cm，
∴AC2＝169，AB2＝144，BC2＝25，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴CD＝BD﹣BC＝9﹣5＝4（cm），
∴CD的长为4cm；
（2）由（1）得CD＝4cm，∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD，
∵CE⊥AD，
∴，
∴，
∴15CE＝48，
∴，
∴CE的长为cm．
18．【解答】解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
设AD＝x cm，则AC＝AB＝（x+12）cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即x2+162＝（x+12）2，
解得：x＝，
即AD＝cm；
（2）AB＝AC＝+12＝（cm），
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB＝AC，BC＝20cm，
∴BE＝CE＝10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE＝＝＝（cm），
即△ABC中BC边上的高是cm．
19．【解答】（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，
S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵AB+BC＝80÷4＝20，
设AH＝BC＝x，则AB＝20﹣x，OH＝OB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OH2+OG2＝GH2，
即52+（5+x）2＝（20﹣x）2，
解得：x＝7，
∴S5×12×4＝120．
20．【解答】（1）解：∵AD⊥AB，
∴∠B+∠D＝90°．
∵∠D＝20°，
∴∠B＝90°﹣20°＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°．
（2）证明：∵AD⊥AB，
∴∠B+∠D＝90°．，
即∠B＝90°﹣∠D．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°﹣2∠B，
即∠B＝90°∠BAC，
∴90°﹣∠D＝90°∠BAC，
∴∠BAC＝2∠D．
（3）解：过点C作AB的垂线，垂足为M，
∵∠D＝22.5°，
∴∠BAC＝2×22.5°＝45°，
∴△AMC是等腰直角三角形．
∵AC，
∴AM＝MC＝1．
∵AB＝AC，
∴BM．
在Rt△BCM中，
BC2＝BM2+MC2＝（）2+12＝4．
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