2024-2025学年天津市南开大学附中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年天津市南开大学附中高二（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.在最近南京市举行的半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去个服务点，每个服务点至少人，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设随机变量，，若，则( )
A. B. C. D.
6.用数字，，，，组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A. B. C. D.
7.若的展开式中二项式系数之和为，各项系数之和为，则展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的导函数为，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
9.公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件甲、乙两人不在同一部门，事件甲担任财务部部门总监，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，共30分。
10.如果随机变量，且，那么 ______．
11.若，则 ______．
12.已知函数，则的最小值为______．
13.名男生和名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为______．
14.已知的展开式中，仅有第项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为______．
15.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题1分
已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间互相不影响设能正常工作的设备数为．
Ⅰ求的分布列；
Ⅱ求和；
Ⅲ求计算机网络不会断掉的概率．
17.本小题1分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，点是棱的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面夹角的大小．
18.本小题1分
已知函数．
当时，求在点处的切线方程；
若，试讨论的单调性．
19.本小题1分
已知椭圆：的离心率为，且过点，其中为坐标原点．
求椭圆的方程；
过椭圆的右顶点作直线与抛物线：相交于，两点；
求证：；
设射线，分别与椭圆相交于点，，求到直线的距离．
20.本小题1分
数列满足：．
求数列的通项公式；
设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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15.
16.解：Ⅰ由题意，台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间互不影响，
可得三台设备正常工作的设备数服从二项分布，即，
的所有可能取值为，，，
所以，，，，
从而的分布列为：
Ⅱ因为，
所以，；
Ⅲ要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即，
因此所求概率为．
17.解：证明：因为侧棱底面，底面，所以，
又因为，，，平面，所以平面，
又平面，所以，
又因为，点是棱的中点，
所以，
又，，平面，
所以平面．
连接，由题意可得，可得，取的中点，
连接，则，则，，
所以，
所以，所以，
以，，所在直线分别为轴，轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，
所以，
由可得平面，
所以平面的一个法向量为面，
设直线与平面所成角为，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
由可知，又，，，平面，
所以平面．
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
又，所以
即平面与平面夹角的大小为．
18.
19.解：由椭圆的离心率为，
可得：，
整理得：，
则椭圆的方程可化为．
代入点得，
则椭圆的方程为．
由椭圆方程为可得：该椭圆的右顶点为．
证明：设，，
当直线的斜率为时，直线与抛物线只有一个交点，不满足题意．
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，
联立方程组，
整理得，
则，为方程的两不等根，
有．
因为，
所以，
故．
设，，直线为．
由联立方程组，
整理得：，
由，为方程的两不等实数根，得．
由知，
则，有．
因为，
所以，
整理得：，
则有．
则根据点到直线距离公式可得：点到直线的距离为．
20.解：已知数列满足：．
令，，
又，
，
由得到，
即：，
经检验，，也成立，
故数列的通项公式；
，
，
因为是单调递增数列，
则，
若恒成立，
则，
即，
解得或，
实数的取值范围为．
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