2024-2025学年上海市金山中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年上海市金山中学高二（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若曲线在处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
2.已知在抛物线：上，则到的焦点的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
4.已知中，，且，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
5.设全集，集合，则 ______．
6.若复数，则其共轭复数的虚部为______．
7.函数在区间上的平均变化率为______．
8.已知直线：，点到直线的距离等于，则 ______．
9.已知圆锥的母线长为，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为______．
10.在中，已知，，，则的值为______．
11.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为______．
12.若，，，四点在球的表面上，面，，，，，则球的表面积为______．
13.已知函数，且在区间上的最大值为，无最小值，则的取值范围是______．
14.某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型图甲，该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板图乙沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以为原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为图乙中线段卷后形成圆弧图甲，通过同学们的计算发现与之间满足关系式：
，则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为______．
15.一个“皇冠”状的空间图形如图由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为______．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则等于______．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，交于点，为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知递增的等差数列的前三项之和为，前三项之积为，
求数列的前项和；
，数列的前项和记为，若，恒成立，求的最小值．
19.本小题分
如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点，在弧上，且线段平行于线段；
若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；
设，当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？
20.本小题分
已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别与直线交于，两点，记的面积为，的面积为．
求双曲线的离心率；
求证：为定值；
求的取值范围．
21.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案
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17.解：证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面，又平面，
所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面；
由知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，，，
因为，
所以，即，则，
由平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
因此直线与平面所成角的正弦值为．
18.
19.解：如图，作于点，交线段于点，连接、，
，
，，，
，
，
；
因为，
则，，，
，
，
，
即时，，此时在弧的四等分点处．
20.
21.解：当时，，
得，
因为，则，
所以切线方程为：，即；
由题，
可得，
当时，，，单调递减，
，，单调递增，
当时，的解为，，
当，即时，，则在上单调递增；
当，即时，
在区间，上，，在区间上，，
所以的单调增区间为，；单调减区间为；
当，即时，
在区间，上，，在区间上，，
所以的单调增区间为，；单调减区间为，
综上所述，当时，的递减区间为，递增区间为；
当时，在上单调递增；
当时，的单调增区间为，，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，，单调减区间为；
，
当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立，
当时，，
所以在上单调递增，所以成立．
当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合．
综上所述，的取值范围是
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