江苏省徐州市沛县中学2015-2016学年高二下学期第二次质量检测数学（理）试题

2015-2016学年度第二学期高二第二次质量检测
数学试卷（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。
1．已知全集，则集合的真子集共有 个．
2．命题的否定是_____________.
3．计算 ________.
4．函数的图象在点处的切线方程为_____________．
5．函数的单调递增区间是 ．
6．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是 ．
7．若“”是假命题，则的取值范围是 ．
8．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ．
9．已知函数是定义在上的奇函数，，，则不等式的解集是 .
10．“”是“函数在上单调递增”的_______________条件．（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）
11．若函数（）在区间内有两个零点，则的取值范围是___________．
12．已知函数且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是________．
13．定义区间长度为，已知函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时的值为___________.
14．对定义在区间上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间D上可被替代，D称为“替代区间”．给出以下命题：
①在区间上可被替代；
②可被替代的一个“替代区间”为；
③在区间可被替代，则；
④，则存在实数，使得在区间 上被替代；
其中真命题的有
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．记函数的定义域为集合,函数的定义域为集合．
（Ⅰ）求集合；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
16．已知，，其中．
（1）若，且为真，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17．设是函数的两个极值点．
（1）若，求函数的解析式；
（2）若，求的最大值.
18．某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）
问：
（1）把y表示为x的函数，并求其定义域；
（2）试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收人最多？
19．已知函数在上是奇函数．
（1）求；
（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）令，若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围．
20．已知函数，
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的方程在区间上有两个不等的根，求实数的取值范围；
（3）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围．
理科参考答案
1.7 2. 3.1 4.
5．（2，+∞） 6． 7． 8．
9． 10．充分不必要条件 11．
12． 13．3 14．①②③
15．(Ⅰ)因为，所以即 ----------------------------6分
（Ⅱ）函数的定义域满足，
所以，所以集合--------------10分
又因为，所以,则.------------------------14分
16．（1）为真命题时实数的取值范围是，-------2分
，所以同理为真命题时，实数的取值范围是-------------------4分
又为真，则同时为真命题，也即的取值范围的交集，为 ---7分
（2）因为是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，-----10分
又因为命题为真命题时，实数的取值范围是，所以
，解之得。------------------------------------------------14分
17．（1）因为
又因为是函数的两个极值点．
且，所以，---------------------------2分
解之得， ----------------------------------------------4分
所以 ---------------------------------------6分
（2）由题意 是方程 的两根，
此方程的判别式为 恒成立，所以 ，--8分
由已知，则，
即 ，
所以 ，由于 ，因此有 ，-------10分
令 ， ，令 ，
则 （舍去）或 ，在 时， ，在 时， ，因此 时， 取得极大值也即最大值 ，所以 ，----13分
即 . -----------------------------------------------------------------------------------14分
18．（1）∵影院放映一场电影的成本费用为5750元，票房收入必须高于成本费用，
∴票房收入大于5750元，
∵该影院共有l000个座位，∴一张电影票的价格大于5.75元，
又∵票价为l元的整数倍，∴该院一张电影票的最低价格为6元 -------------------------3分
当票价高于10元时：y=x[1000-30（x-10）]-5750=-30x2+1300x-5750，
∵，∴， -----------------------------------6分
又∵x为大于10的整数，∴10＜x≤38．
∴； -------------------------8分
（2）当票价不超过10元时：y=1000x-5750，∵1000＞0，
∴随的增大而增大，∴当时，的值最大，
此时（元）； ------------------------------------11分
当票价高于10元时，y=-30x2+1300x-5750，
∴当时，的值最大， ----------------------------------------------14分
此时（元）． -----------------------------------------15分
综上可知，当每张票定为22元时，放映一场电影的利润最高，最高为8330元．-------16分
19．（1）因为
所以 ----------------------------------------------------------------------------------------4分
（2），
-------------------------------------------------------6分
所以，即 -------------------------------------------------------------8分
（3）因为，
即，所以 （*）
因为关于的方程有唯一实数解，所以方程（*）有且只有一个根，
令，则方程（*）变为 有且只有一个正根，---------------------------10分
①方程有且只有一个根且是正根，则
所以，当时，方程的根为满足题意；
当时，方程的根为不满足题意-----------------------------12分
②方程有一正根一负根，则，所以 ---------------------14分
③方程有一正根一零根，则，所以，此时满足题意
综上，的范围为或 ------------------------------------------------------------------16分
说明：本题第（1）问中，利用特殊值法求解也正确。
20.（1）因为函数的定义域为，且， ------------------------------2分
令，即 解之得 --------------------------------------4分
所以函数的单调递减区间为 --------------------------------------------------5分
（2）令，且定义域为
所以--------------------------------------6分
令，，列表如下：
1
+ 0 -
递增 极大值 递减
---------------------------------------------------------------------------8分
所以函数在区间先单调递减后单调递增，故要使有两个不等的根，
只须 即
所以 ------------------------------------------------------10分
（3）令，且
要使存在，当时，恒有，则只须即可，
也就是存在，当时函数是单调递增的，----------------13分
又因为，只须在时成立，
即，解得，
所以的取值范围是.---------------------------------------------------16分