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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
北师大版七年级下册数学期中检测模拟卷（一）
（试卷满分：120分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷共23题，选择10题，填空5题，解答8题
2．作答时合理安排时间，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
3．测试范围（章节）：整式的乘除、相交线与平行线、概率初步、三角形
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，被认为是21世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图1是小强奶奶编的竹篓，图2是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，两直线的位置关系有三种：平行，垂直，相交
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼
6．如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同．乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
9．如图，ABCD，，，则∠AEC的度数为（ ）
A． B． C． D．A
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．若，，则 ．
12．如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是 ．
13．设有边长分别为a和b（）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为 张．
14．某校对九年（2）班40名学生体育考试中“立定跳远”项目的得分情况进行了统计，结果如表：
得分 10分 9分 8分 7分 6分以下
人数（人） 20 12 5 2 1
根据表中数据，若随机抽取该班的一名学生，则该学生“立定跳远”得分恰好是9分的概率是 ．
15．如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（本小题满分8分）
（1）化简：；
（2）化简：．
17．（本小题满分8分）
先化简，再求值：（x＋2）2﹣（x＋1）（x﹣1），其中x．
18．（本小题满分9分）
如图，已知平分．
(1)说明：；
(2)求的度数．
19．（本小题满分9分）
学校举办“爱家乡山水”征文活动，小明为此次活动设计一个以三座山为背景的图标（如图），现用绿、红两种颜色对图标中的三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色．
（1）请写出所有涂色的可能结果：
（2）求这三块三角形区域中所涂颜色是“两块绿色、一块红色”的概率
20．（本小题满分9分）
如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为米，宽为米；另一块长为米，宽为米．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为米的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
(1)求计划种植草坪的面积；
(2)已知，求计划种植草坪的面积？
21．（本小题满分10分）
如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为
(1)求证：
(2)写出线段的长（用含t的式子表示），
(3)连接，当线段经过点C时，求t的值
22．（本小题满分10分）
如图，点，分别在直线，上，为，之间一点，连接，过点作，交于点，．
(1)如图1，请你判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为线段上一点，连接．
①若，直接写出的度数为 ；
②如图，，平分，交于点．若，直接写出的度数为 （结果用含的式子表示）；的度数为 （结果用含的式子表示）．
23．（本小题满分12分）
【思维导图】
丞丞同学通过全等三角形的学习，简要地绘制了关于三角形中线的思维导图．
【初步应用】
（1）如图①，在中，是的中点，连接，过点作于点，若的面积是，求的长．
【推导明理】
（2）如图②，是的中线，若．求的取值范围．
丞丞同学利用所学的数学知识及解题经验，先延长至点，使得，连接，从而得到，进而通过全等三角形的性质和三角形三边的关系得出的取值范围；在辅助线的做法上，霖霖同学经过思考，先过点作，交的延长线于点，从而得到，进而解决问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【拓展运用】
（3）如图③，在中，，分别是上一点，连接，是的中点，连接，若，求证：．
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北师大版七年级下册数学期中检测模拟卷（一）
（试卷满分：120分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷共23题，选择10题，填空5题，解答8题
2．作答时合理安排时间，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
3．测试范围（章节）：整式的乘除、相交线与平行线、概率初步、三角形
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，被认为是21世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
故选：C
2．如图1是小强奶奶编的竹篓，图2是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，不能判断直线，不符合题意；
B、，内错角相等，两直线平行，能判断直线，符合题意；
C、，不能判断直线，不符合题意；
D、，不能判断直线，不符合题意；
故选B．
3．如图，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4．下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，两直线的位置关系有三种：平行，垂直，相交
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意；
在同一平面内，两直线的位置关系有二种：平行，相交，故B不符合题意；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C不符合题意；
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，描述正确，故D符合题意；
故选D
5．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼
【答案】C
【详解】解：A、水涨船高，是必然事件，不符合题意；
B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
C、守株待兔，是随机事件，符合题意；
D、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
6．如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵AB∥EF，
∴∠1＋∠AOF＝180°，
∵CD∥AB，
∴∠3＝∠AOC，
又∵∠AOF＝∠AOC ∠2=∠3-∠2，
∴∠1＋∠3-∠2＝180°．
故选：D．
7．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：大长方形周长为，
，
，
四个正方形的面积之和为，
，
，
，
，
，
故选：C．
8．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同．乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】B
【详解】白色球的个数是15个，
故选：B.
9．如图，ABCD，，，则∠AEC的度数为（ ）
A． B． C． D．A
【答案】C
【详解】解：如图，延长AE交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠EFC=180°
又∵∠BAE=120°，
∴∠EFC=180°-∠BAE=180°-120°=60°
又∵∠DCE=30°，
∴∠AEC=∠DCE+∠EFC=30°+60°=90°．
故选∶C．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：①∵AE是中线，
∴BE＝CE，故①正确；
②∵DC⊥BC，BF⊥AE，
∴∠DBC+∠D＝∠DBC+∠BEA＝90°．
∴∠D＝∠BEA．
∵∠DCB＝∠ABE＝90°，
在△DBC与△ABE中，
，
∴△BCD≌△ABE（AAS）．
∴BD＝AE，故②正确；
③∵△BCD≌△ABE，
∴∠BAE＝∠CBD；故③正确；
④∵AE是中线，
∴∠EAC≠∠BAE，故④错误；
⑤∵△BCD≌△ABE，
∴BE＝CD，
∵BC＝2BE，
∴BC＝2CD，故⑤正确．
∴正确的结论有①②③⑤，共4个．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．若，，则 ．
【答案】12
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：12．
12．如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是 ．
【答案】/度
【详解】如图，
过B作，
由题意得，，，
∴，；
∴，
∴．
故答案为：．
13．设有边长分别为a和b（）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为 张．
【答案】8
【详解】解：，即，
要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．
，即，
若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张，
故答案为：8
14．某校对九年（2）班40名学生体育考试中“立定跳远”项目的得分情况进行了统计，结果如表：
得分 10分 9分 8分 7分 6分以下
人数（人） 20 12 5 2 1
根据表中数据，若随机抽取该班的一名学生，则该学生“立定跳远”得分恰好是9分的概率是 ．
【答案】
【详解】解：由表可知，共有学生20+12+5+2+1=40人；
“立定跳远”得分恰好是9分的概率是．
故答案为．
15．如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
【详解】解：，
，
，
点是三角形的角平分线的交点，
平分，平分，
，，
，
，故①正确；
，，，
，
，，
，
同理可得：，
，，
，
，
若需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，故②不正确；
如图，延长至点使得，连接，
点是的中点，
，
又，，
，
，，，
，，，
，
，
，
又，，
，
，
，故③正确；
如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，其中正确的是①③④．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（本小题满分8分）
（1）化简：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）
．
（2）
．
17．（本小题满分8分）
先化简，再求值：（x＋2）2﹣（x＋1）（x﹣1），其中x．
【答案】4x＋5，3
【详解】解：（x＋2）2 （x＋1）（x 1）
＝x2＋4x＋4 x2＋1
＝4x＋5，
当x＝时，原式＝4×（）＋5＝3．
18．（本小题满分9分）
如图，已知平分．
(1)说明：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：，
．
，
，
．
（2）解： ，
，
，
，
，
平分，
，
则．
，
．
19．（本小题满分9分）
学校举办“爱家乡山水”征文活动，小明为此次活动设计一个以三座山为背景的图标（如图），现用绿、红两种颜色对图标中的三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色．
（1）请写出所有涂色的可能结果：
（2）求这三块三角形区域中所涂颜色是“两块绿色、一块红色”的概率
【答案】（1）见解析；（2）.
【详解】解：（1）所有可能为：（绿，绿，绿），（绿，绿，红），（绿，红，绿），（绿，红，红），（红，绿，绿），（红，绿，红），（红，红，绿），（红，红，红）；
（2）所有等可能出现的结果共有8种，恰好“两块绿色、一块红色”的结果有3种，
所以这个事件的概率是．
20．（本小题满分9分）
如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为米，宽为米；另一块长为米，宽为米．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为米的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
(1)求计划种植草坪的面积；
(2)已知，求计划种植草坪的面积？
【答案】(1)平方米；
(2)平方米；
【详解】（1）解：
，
即计划种植草坪的面积为平方米；
（2）解：当时，
，
计划种植草坪的面积为平方米；
21．（本小题满分10分）
如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为
(1)求证：
(2)写出线段的长（用含t的式子表示），
(3)连接，当线段经过点C时，求t的值
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）∵点P从点A出发，沿方向以的速度运动，
∴．
（3）当线段经过点C时，如图：
在和中，
，
∴，
∴，
∵点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，
∴，
∴，
∴，解得：．
22．（本小题满分10分）
如图，点，分别在直线，上，为，之间一点，连接，过点作，交于点，．
(1)如图1，请你判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为线段上一点，连接．
①若，直接写出的度数为 ；
②如图，，平分，交于点．若，直接写出的度数为 （结果用含的式子表示）；的度数为 （结果用含的式子表示）．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①；②；
【详解】（1）解：证明：，
，
，
，
；
（2）①平分，
，
设，则，
由（1）知，
，
，
，
，
，
；
②如图所示，过点作
∵
∴,
∴
∴
∴
依题意，延长交于点，如图所示，
则，
，
，，
由（2）知，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．（本小题满分12分）
【思维导图】
丞丞同学通过全等三角形的学习，简要地绘制了关于三角形中线的思维导图．
【初步应用】
（1）如图①，在中，是的中点，连接，过点作于点，若的面积是，求的长．
【推导明理】
（2）如图②，是的中线，若．求的取值范围．
丞丞同学利用所学的数学知识及解题经验，先延长至点，使得，连接，从而得到，进而通过全等三角形的性质和三角形三边的关系得出的取值范围；在辅助线的做法上，霖霖同学经过思考，先过点作，交的延长线于点，从而得到，进而解决问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【拓展运用】
（3）如图③，在中，，分别是上一点，连接，是的中点，连接，若，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
【详解】（1）解：∵是的中点，
∴，
∵的面积是
∴的面积，
∵，，
∴即，
∴；
（2）解：延长至点，使得，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（3）证明：延长到，使得，连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∴（）
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
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