备战2025年中考数学专题训练：分式方程（含解析）

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备战2025年中考数学专题训练：分式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列方程有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果关于的分式方程有增根，那么增根可能是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
4．在学完反比例函数图象的画法后，嘉琪同学画出了一个函数的图象如图所示，那么关于x的分式方程的解是（　　）
A． B． C． D．
5．新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一，甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．方程的解为 ．
8．关于的分式方程的根是正实数，则m的取值范围是 ．
9．关于的分式方程有增根，则m的值是 ．
10．甲乙两人同时从某地出发，步行5千米来到游乐园，已知甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，问甲乙两人每小时各走多少千米，若设甲每小时走x千米，则可列方程： ．
11．若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为 ．
12．从，，，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：的解是负数，且使关于x的函数，y随x的增大而减小的概率为
13．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，若，则 ．
14．2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元．
三、解答题
15．解下列方程：
(1)；
(2)．
16．已知．
(1)求与的和；
(2)若，求的值．
17．2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求甲型机器人每小时运送物品的重量．
18．“冰雪同梦，亚洲同心．”2025年2月7日至2月14日，在黑龙江省哈尔滨市举办的第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是“滨滨”和“妮妮”．某经销商计划购进一批以“滨滨”和“妮妮”为主题的“手办摆件”和“卡通徽章”进行销售，在采购时发现，用2000元采购“手办摆件”的个数与用2600元采购“卡通徽章”的个数相等，一个“手办摆件”的进价比一个“卡通徽章”的进价少15元．
(1)求采购“手办摆件”和“卡通徽章”的单价分别是多少元．
(2)若该经销商计划采购“手办摆件”和“卡通徽章”共100个，并且总费用不超过6000元，则该经销商至少采购“手办摆件”多少个
19．观察下面的变化规律，解答下列问题：
，将以上三个等式两边分别相加得：
．
(1)＝
(2)利用上述规律计算：．
(3)灵活利用规律解方程：．
20．中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为筹备数学节活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用为多少元？
21．综合与探究
如图，在长方形中，，点从点出发，向点运动，到达点时停止，设的长为，四边形的面积为．
(1)求与的函数关系式并写出的取值范围．
(2)当是腰为2的等腰三角形的底边长，且为偶数时，直接写出的值．
(3)已知关于的分式方程无解，是否存在的值，使得与满足（1）中的函数关系？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
《备战2025年中考数学专题训练：分式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D A A B A
1．C
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可．
【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程；
关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程；
关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程；
关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程；
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了解分式方程、算术平方根的非负性、二次根式有意义的条件等知识点，掌握算术平方根的非负性成为解题的关键．
根据解分式方程、算术平方根的非负性逐项判断即可．
【详解】解：A．去分母得，又当时，分母无意义，故此时原方程无解，故A不合题意；
B．方程左边是非负数+1，不可能为0，故此时方程无解，故B不合题意；
C．，且，故，方程左边右边，故此时方程无解，不合题意．
D．由题意可得：或，又，故，（不合题意，舍去），故此时方程有实数根．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，再根据分式方程有增根可得整式方程的解为或，进而代入整式方程即可判断求解，理解增根的定义是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以得，，
整理得，，
∵分式方程有增根，
∴整式方程的解为或，
当时，；
当时，不是整式方程的解；
∴分式方程的增根可能是，
故选：．
4．A
【分析】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求函数解析式，解分式方程等知识点，观察到函数的图象经过点是解题的关键．
由图可知，函数的图象经过点，则，解得，则分式方程即为，然后解方程并检验即可．
【详解】解：由图可知，函数的图象经过点，则：
，
解得：，
则分式方程即为，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故选：．
5．B
【分析】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，
设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，列出方程即可．
【详解】解：设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务天，
根据题意，得．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了新定义实数的运算，解分式方程，由题干中的新定义得出方程，解分式方程即可得解．
【详解】解：∵对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
当时，，
∴方程的解是，
故选：A．
7．
【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意先去分母，再解整式方程，最后检验即可．
【详解】解：
去分母，得，
解得，
检验：经检验是原分式方程的解，
故答案为．
8．且
【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键．先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
∵分式方程的解为正实数，
∴且，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
9．或
【分析】此题考查了解分式方程．根据方程有增根得到关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：将分式方程两边都乘以得，
，
即，
∵原分式方程有增根，
∴，
∴或，
当时，，所以，
当时，，所以，
∴m的值是或，
故答案为：或．
10．
【分析】此题考查了分式方程应用．设甲每小时走x千米，则乙每小时走千米．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，据此列方程即可．
【详解】解：∵甲比乙每小时多走1千米，且设甲每小时走x千米，
∴乙每小时走千米．
根据题意得：，
即．
故答案为：．
11．22
【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组中的两个不等式，从而可得的取值范围，再解分式方程可得，从而可得是整数，且，则可得出符合条件的所有整数的值，由此即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组有解且至多3个整数解，
∴，
解得，
，
方程两边同乘以，得，
解得，
∵关于的分式方程的解为整数，
∴是整数，且，即，
∴符合条件的所有整数的值为，
∴符合条件的所有整数的和为，
故答案为：22．
12．
【分析】此题主要考查了一次函数的性质和分式方程的解，以及概率，关键是正确确定m的取值范围．利用分式方程的解和一次函数的性质可得m的取值范围，进而可得m的值，然后再利用概率可得答案．
【详解】解：，
解得，，
∵方程的解是负数，
∴，
解得：且，
∵关于x的函数，y随x的增大而减小，
∴，
∴，
∴，且，
∴或0或1或2，有4种可能，
故概率为，
故答案为：．
13．4
【分析】本题考查了解分式方程，新定义，理解新定义，掌握解分式方程的方法是解题的关键．根据新定义得出：，然后再根据解分式方程的方法，先转变为整式方程，解整式方程求出的值，最后检验即可．
【详解】解：，
，
，
，
方程两边同时乘，得，
解得：，
检验：把代入，
分式方程的解为．
故答案为：4．
14．
【分析】本题考查了分式方程的应用，设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元，根据“顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同”列出分式方程，解方程即可得解．
【详解】解：设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
故答案为：．
15．(1)
(2)无解
【分析】该题考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
（1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】（1）解：，
方程两边同时乘以，得，
解得：．
检验：把代入．
∴原方程的解为：．
（2）解：，
方程两边同时乘以，得，
解得：．
检验：把代入．
∴原方程无解．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，分式的加减，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
（1）根据异分母的分式相加减的计算法则计算即可；
（2）先列出方程，再确定最简公分母，然后求出整式方程的解，检验是否是分式方程的解即可．
【详解】（1）解：，，
；
（2），
，
方程可化为，
方程两边同乘得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以的值是．
17．甲型机器人每小时运送物品的重量为
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设甲型机器人每小时运送物品的重量为，则乙型机器人每小时运送物品的重量为，根据题意列出方程，解方程求出的值即可．
【详解】解：设甲型机器人每小时运送物品的重量为，则乙型机器人每小时运送物品的重量为，
由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
答：甲型机器人每小时运送物品的重量为．
18．(1)采购“手办摆件”的单价为50元，采购“卡通徽章”的单价为65元
(2)该经销商至少采购“手办摆件”34个
【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式解应用题，读懂题意，准确列出方程及不等式求解是解决问题的关键．
（1）设采购“手办摆件”的单价为元，则采购“卡通徽章”的单价为元，由题意列分式方程求解即可得到答案；
（2）设采购“手办摆件”个，则采购“卡通徽章”个，由题意列不等式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设采购“手办摆件”的单价为元，则采购“卡通徽章”的单价为元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：采购“手办摆件”的单价为50元，采购“卡通徽章”的单价为65元；
（2）解：设采购“手办摆件”个，则采购“卡通徽章”个，
根据题意得，
解得，
∵为正整数，
∴的最小值为34，
答：该经销商至少采购“手办摆件”34个．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了分式的运算，解分式方程，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用规律计算即可解决问题；
（2）利用规律计算即可解决问题；
（3）利用规律计算方程左边，即可解决问题；
【详解】（1）解：，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
经检验，是原方程的解．
20．(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元
(2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．
（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本，根据题意列出一元一次不等式，求出， 然后设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），得到，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，
依题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本，
依题意得，，
解得，
设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得，，
∵，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，有最小值，此时（元），
（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元．
21．(1)
(2)48
(3)存在，
【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，三角形三边关系，分式方程无解，
对于（1），根据长方形的面积减去三角形的面积可得关系式；
对于（2），先求出x的取值范围，再代入可得答案；
对于（3），先求出分式方程无解时y的值，再代入函数关系式求出符合题意的x值．
【详解】（1）解：根据题意可知，
∴；
（2）解：根据题意，得，
∵x是偶数，
∴．
当时，；
（3）解：存在，理由如下：
，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
当时，原方程无解，即；
当时，．
∵原方程无解，
∴，
即，
解得．
所以当或时，原分式方程无解．
当时，，解得；
当时，，解得（舍去）．
所以．
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