第10章三角恒等变换达标测试卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册

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第10章三角恒等变换达标测试卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“”是“为第一象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．如果点是角终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．设，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．是周期函数 B．最大值为1
C．关于对称 D．最小值为
11．已知是第四象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12． .
13．已知，则
14．已知函数，且函数图象过点，则函数在区间上的最小值为 .
四、解答题
15．已知向量，．
(1)若，求；
(2)若，求．
16．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求在上的最大值，并求此时的值．
17．已知向量，，.
(1)求函数的单调递增区间和最小正周期；
(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数，对，有.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，时，求.
19．已知函数．
(1)若是三角形中一内角，且，求的值；
(2)若函数在内有唯一零点，求的范围．
《第10章三角恒等变换达标测试卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D D B D C D ABD ACD
题号 11
答案 BC
1．B
【分析】根据二倍角公式、充分和必要条件等知识来确定正确答案.
【详解】若，即同号，则可能是第一、三象限角；
若是第一象限角，则；
所以“”是“为第一象限角”的必要而不充分条件.
故选：B
2．D
【分析】根据三角函数的定义求出、，再利用的展开式可得答案.
【详解】因为点是角终边上一点，
所以，，
.
故选：D.
3．D
【分析】先求出、的值，进而得到、的值，最后根据，利用两角和的正切公式计算.
【详解】已知，，所以.
因为，所以.
所以，
即.
已知，，所以.
因为，所以.
所以，
即.
因为，根据两角和的正切公式可得：
.
故选：D.
4．D
【分析】利用和角的正弦公式将展开，再用商数关系弦化切即可求解.
【详解】因为，
将式子的左右两侧同时除以，可得
，
即.
故选：D
5．B
【分析】利用辅助角公式化简，求出的范围，再结合正弦函数图象可判断.
【详解】，
因，则，
结合正弦函数图象可知，若存在两个零点，则，得，
则的取值范围为.
故选：B
6．D
【分析】连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解．
【详解】如图所示：
．
连接，设，作，，垂足分别为，
由四边形是平行四边形，可知为矩形，又，则，，，
于是，．
因此四边形的面积也为四边形的面积，
即有
，而，则当时，，
所以.
故选：D
7．C
【分析】根据同角关系，两角差正弦公式化简可得，由此可求，由配方，结合平方关系可求结论.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
8．D
【分析】根据条件，利用正弦的和角公式及商数关系，得到，再由正弦的差角公式，即可求解.
【详解】因为①，
又，整理得到②，
由①②解得，所以，
故选：D.
9．ABD
【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.
【详解】，A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确；
故选：ABD
10．ACD
【分析】通过判断A；通过判断C；令，通过求函数的最值判断BD.
【详解】
则为的周期，故A正确；
，
则是的对称轴，故C正确；
令，则，
则，对称轴为，
故的最小值为，最大值为，故B错误；D正确.
故选：ACD
11．BC
【分析】对A，利用平方关系结合角的范围求解判断；对B，利用二倍角余弦公式求解判断；对C，利用两角差的正弦公式求解判断；对D，利用两角差的余弦公式求解判断.
【详解】对于A，因为，是第四象限角，所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
12．/
【分析】利用诱导公式和两角差的余弦公式进行计算得出结果；
【详解】.
故答案为：
13．/
【分析】由，根据二倍角公式即可求解.
【详解】由，所以
，
故答案为：.
14．
【分析】利用辅助角公式结合题目条件可得函数的解析式，根据的范围可得的最小值.
【详解】由题意得，，
∵函数图象过点，∴，
∵，∴，
∴，解得，
∴.
∵，∴，
结合在单调递减，
∴函数在区间上的最小值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由得，由两角和的正切公式得到的值；
（2）由向量数量积的坐标运算得，因为，利用诱导公式求得的值.
【详解】（1）因为，所以，所以，
所以.
（2），所以，
.
16．(1)
(2)时，函数最大，最大值为.
【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，由此得到的值，即可求出函数的最小正周期；
（2）由的范围即可求出的取值范围，从而得到函数的最大值，并求出对应的的值.
【详解】（1），
，
，
∴，∴最小正周期.
（2）当时，，
∴当时，即时，函数最大，最大值为.
17．(1)，最小正周期
(2)
【分析】（1）根据数量积公式结合两角和与差的正弦公式化简可得的表达式，结合正弦函数的性质即可得结果；
（2）根据正弦函数的性质求出的最大值即可得结果.
【详解】（1）因为，，
所以
令，解得
所以函数的单调增区间，最小正周期.
（2）由已知得：令，由题意得，
因为，所以，而，
所以当时，取得最大值，
所以的取值范围是.
18．(1)；
(2)
【分析】（1）利用诱导公式与和角公式化简函数解析式，由题意得，结合角的范围即可求得，即得函数解析式；
（2）先求得，利用同角的三角函数公式求得，由进行拆角，利用和角公式展开计算即得.
【详解】（1），
对，有，则，
则，因，解得，故；
（2）因，由，可得，
则，
故
.
19．(1)
(2)或
【分析】（1）运用三角函数的两角和公式以及倍角公式对函数进行化简，再根据已知条件求解的值；
（2）先根据（1）的结果得到的表达式，通过换元将问题转化为正弦函数与直线的交点问题，利用正弦函数的图象性质求解的取值范围.
【详解】（1）由题意得，
，
，，
，
，解得.
（2）由（1）得，，
由得，
令，由得，
问题转化为函数与直线有唯一交点，
作出在上的函数图象，
，
或，解得或．
的范围是或．
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