第9章平面向量达标测试卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台
第9章平面向量达标测试卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ）
A． B． C． D．
3．若，，与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
5．已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．若与的数量积为6，，则（ ）
A． B． C． D．
7．对于平面向量，，，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若与是单位向量，则
C．若，则 D．若，，则
8．已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
二、多选题
9．关于平面向量，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
10．已知，则（ ）
A． B．
C．与的夹角余弦值为 D．向量在向量方向上的投影向量坐标为
11．下列说法正确的是（ ）
A．设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则
B．设，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
C．设，且∥，则
D．若是内的一点，满足，则
三、填空题
12．已知，，则 ．
13．已知和是夹角为的两个单位向量，且，则的最小值为 ．
14．若平面向量，，两两的夹角为，且，，则 ．
四、解答题
15．已知平面向量，．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．设，是不共线的两个非零向量．
(1)若，，，求证：A，B，C三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时的取值．
17．如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点．
(1)设，求实数的值；
(2)设是上一点，且，求的值．
18．如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设.
(1)用向量表示向量；
(2)若，求.
19．在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设.
(1)试用表示；
(2)若，求的余弦值；
(3)若H在BC上，且，设，若，求的范围．
《第9章平面向量达标测试卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B A B B C AD ACD
题号 11
答案 AC
1．C
【分析】由向量线性运算的坐标表示及模长公式，再结合二次函数求最值即可；
【详解】由，
可得：，
所以，当取得最小值；
故选：C
2．B
【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果.
【详解】依题意，.
故选：B
3．D
【分析】利用平面向量数量积的定义求解即可.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以，故D正确.
故选：D
4．B
【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得.
【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，
由，即的角平分线与边垂直，
所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.
故选：B
5．A
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求得答案.
【详解】由，得，，
所以在上的投影向量为.
故选：A
6．B
【分析】利用数量积的定义结合给定条件得到，再代入得到方程，最后结合求解夹角即可.
【详解】因为，所以，
即，而，
得到，解得，
因为，所以，故B正确.
故选：B
7．B
【分析】举反例判断A，C，D，利用平面向量数量积的定义判断B即可.
【详解】对于A，若，此时，而且，故A错误，
对于B，因为与是单位向量，，
所以，故B正确，
对于C，当时，若，则，故C错误，
对于D，当时，满足，，而不一定有，故D错误.
故选：B
8．C
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推理及基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】依题意，，则，又，
于是，，则，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最小值.
故选：C

9．AD
【分析】根据给定条件，利用向量的数量积定义、运算律逐一判断.
【详解】对于A，由向量的运算律知，，A正确；
对于B，表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，
则与不一定相等，B错误；
对于C，当为0向量时，对任意向量，均有，因此不一定相等，C错误；
对于D，若与中至少有一个零向量，则，此时与共线；
若与均为非零向量，设与的夹角为，则，，
又，于是或，即与共线，反之也成立，因此，D正确.
故选：AD
10．ACD
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算、数量积的坐标表示，逐项求解判断.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，，B错误；
对于C，，，，
则，C正确；
对于D，向量在向量方向上的投影向量，D正确.
故选：ACD
11．AC
【分析】对于A，根据平面向量共线定理列方程求解即可，对于B，由题意可得且与不共线，可求出实数的取值范围，对于C，先求出和的坐标，再列方程求解，对于D，由已知条件得，设的中点为，的中点为，可得，再结合三角形的中位线定理可得，从而可求出.
【详解】对于A，因为向量与向量共线，
所以存在实数，使，
因为是两个不共线的向量，所以，解得，所以A正确，
对于B，因为，与的夹角为锐角，
所以且与不共线，所以，解得，且，所以B错误，
对于C，因为，所以，，
因为∥，所以，解得，所以C正确，
对于D，由，得,
即，
设的中点为，的中点为，则，
所以，所以三点共线，且，所以，
因为，∥，所以，所以到的距离与到的距离的比为，
所以，所以D错误.
故选：AC
12．
【分析】利用数量积的运算律及向量模的坐标表示得.
【详解】由，得，由，得，即，
所以.
故选：
13．
【分析】先建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示出来，再根据已知条件确定向量、终点的轨迹，最后通过分析几何关系求出的最小值.
【详解】建立平面直角坐标系并表示向量坐标如图所示，
设，，
设，.
确定终点的轨迹：
已知，则，即，所以，
这表明向量的终点在直线上.
确定终点的轨迹：
已知，则，
这表明向量的终点与点的距离为.
，其最小值为点到直线的距离减去
而，
所以的最小值为：.
故答案为：.
14．2
【分析】先计算，，，再利用求模公式计算.
【详解】由题意可得，
则
，
故答案为：2.
15．(1)
(2)
【分析】（1）先计算的坐标，然后由向量模的公式可得；
（2）由数量积的坐标表示可得.
【详解】（1）因为，
所以，
所以；
（2）因为，
所以．
16．(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）利用向量的线性运算及共线向量定理推理得证.
（2）利用共线向量定理及平面向量基本定理列式求解.
【详解】（1）由，，，
得，
，
则，且有公共点B，所以A，B，C三点共线．
（2）由与共线，则存在实数，使得，
即，又，是不共线的两个非零向量，
因此，解得或，
所以实数k的值是，当时，与反向共线.
17．(1)
(2)
【分析】（1）设，，得到，，利用平面向量基本定量得到，即可求解；
（2）根据条件，得到，再利用（1）结果，可得，代入数据化简得到答案.
【详解】（1）设，，因为，
故，整理得，
又，即，则①，
设，，又是的中点，
所以②，
联立①②，据平面向量其本定理得，解得，，
所以实数的值为.
（2）因为，
又，则，得到，
由（1）知，又，
则.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量基本定理结合题设条件化简计算即可；
（2）先用向量表示出，再利用向量数量积的运算律求其模长即可.
【详解】（1）因点为中点，点在线段上，满足
，，
故；
（2）由题意，则，
，
所以
，
所以.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案.
（2）由（1）及已知条件，利用数量积的运算律及向量的夹角公式求解.
（3）设，结合及数量积的运算律得，再列出不等式求出的范围即可.
【详解】（1）由共线，得，则，
整理得，
由共线，得，则，
整理得，而不共线，
由平面向量基本定理，得，解得，
所以.
（2）由（1）得，，
由，得，
则，
，
，
所以.
（3）由（1）知，则，
由共线，设.
由，得，而，，
则，整理得，
即，显然，则，
由，得，则，解得，
所以的范围是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)