第五章一元函数的导数及其应用达标测试卷（含解析）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必
文档属性
| 名称 | 第五章一元函数的导数及其应用达标测试卷（含解析）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-07 18:00:14 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第五章一元函数的导数及其应用达标测试卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B．9 C． D．1
3．已知函数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
4．下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
5．函数，是的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数无零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数导函数为， 若对任意实数x， 有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数的图象与直线相切的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列求导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，的极小值为
B．可能为奇函数
C．若在上单调递增，则
D．若直线与有三个交点，则
三、填空题
12．曲线在点处的切线方程为 ．
13．已知函数，其导函数记为，则 ．
14．已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则下列说法正确的有
①．当时， ②．当时，
③．当时， ④．一定能被3整除
四、解答题
15．已知函数
(1)用导数的定义求函数的导数；
(2)求出，的值
16．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，其中为常数．
(1)求的值；
(2)求不等式的解集．
17．已知函数．
(1)求；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)若直线与曲线相切于点，求k的值．
18．已知函数，其中
(1)求的单调区间和极值；
(2)若对且，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若存在大于0的零点，求实数的取值范围
19．已知函数
(1)当时，求的最大值；
(2)设，讨论的单调性；
(3)证明：对于任意的正整数，都有．
《第五章一元函数的导数及其应用达标测试卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D A B D D AC BCD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】根据导数的物理意义直接求解即可.
【详解】，
当时，，
即该物体在时的瞬时速度是.
故选：D.
2．B
【分析】由导数的计算公式可得.
【详解】.
故选：B
3．B
【分析】对函数求导，并应用导数的定义求值即可.
【详解】由题设，则.
故选：B
4．D
【分析】对于A，根据导数的定义结合分析判断即可，对于B，先求出导函数，再由解方程求解判断，对于C，利用导数的运算法则求解判断，对于D，先求出，然后令，可求出进行判断.
【详解】对于A，因为函数在上可导，且，
所以，所以A错误，
对于B，由，得，则由，得，解得，所以B错误，
对于C，，所以C错误，
对于D，由，得，
所以，解得，所以D正确.
故选：D
5．A
【分析】先求得，得到，则图象关于原点对称，排除B、D项；在时确定，排除C项，即可得到答案.
【详解】由函数，可得，
则，
所以函数为上的奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项；
当时，，则；
当时，，则，
因此当时，，可排除C项，
所以的大致图象为选项A.
故选:A.
6．B
【分析】根据函数无零点，将其转化为方程在上没有实根，研究函数的值域，即可求得参数的取值范围.
【详解】函数无零点，即关于的方程在上没有实根，
也即方程在上没有实根.
设，则，
由可得，由可得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
则时，函数取得极大值为，
当则，当则，
作出函数的图象，可得其值域为，故.
故选：B.
7．D
【分析】对函数求导，令即可求解函数的单调递增区间.
【详解】函数的定义域为，
∴.
令，解得或，
即函数的单调增区间是.
故选：D.
8．D
【分析】令函数，则可得，求，由题意得，从而得到函数单调性，然后利用函数单调性解不等式.
【详解】令函数，则，
，∵对任意实数x， 有，
∴，
即函数在上单调递减，
∵，∴，即，
∴.
故选：D.
9．AC
【分析】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论.
【详解】选项A中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确；
选项B中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误；
选项C中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，
当时，切点为，切线方程为，C正确；
选项D中，易知与有三个交点，，
又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误.
故选：AC
10．BCD
【分析】根据求导公式和求导法则分别对各选项进行计算分析.
【详解】对于选项A： ，所以选项A错误.
对于选项B：，所以选项B正确.
对于选项C：，所以选项C正确.
对于选项D：，所以选项D正确.
故选:BCD.
11．ACD
【分析】求导可得的极小值为判断A；若为奇函数，可得对恒成立，可判断B；由题意可得对恒成立，可求得，判断C；由题意可得有三个实数根，变形可求得结论判断D.
【详解】对于A，当时，，可得，
令，可得，解得或，
当，，当，，所以的极小值为，故A正确；
对于B，若为奇函数，则，
所以。
所以，故不存在，使对恒成立，
故不可能为奇函数，故B错误；
对于C，若在上单调递增，则对恒成立，
所以对恒成立，，
当时，，所以，故C正确；
对于D，由直线与有三个交点，
则，
即有三个实数根，
则，
所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】先求导，然后利用导数求出在点处切线斜率，再利用点斜式方程求解该点处的切线方程.
【详解】因为，所以，，
所以，又因为，
由点斜式方程可得在点处的切线方程为：，即.
故答案为：
13．2
【分析】利用为偶函数，有，为奇函数， 有，即可求值.
【详解】函数，定义域为R，
则，
，
所以为偶函数，有，
令，，
为奇函数，有，
所以.
故答案为：2.
14．①②③
【分析】分两种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，结合图象分析函数的零点分布，进而可得结果
【详解】由题意可知为二次函数，且为的零点，
由得或，
当时，令，解得或；令，解得，
所以在内单调递增，在内单调递减，
则为极大值点，为极小值点，
所以，即，
若，则，此时，与矛盾，故，①说法正确；
所以有2个根，有1个根，可知，②说法正确；
当时，令，解得，令，解得或，
所以在内单调递增，在内单调递减，
则为极大值点，为极小值点，
所以，即，
若，则，此时，与矛盾，故，
当，即时，可知，，此时，，
当，即时，可知，，此时，，
当，即时，可知，，此时，，
综上③说法正确，④说法错误；
故答案为：①②③
15．(1)
(2)；
【分析】（1）计算，再计算，取极限即可；
（2）计算在和的函数值.
【详解】（1），
则，
则当时，，故；
（2），
16．(1)
(2)
【分析】（1）先求出的导函数，再结合在点处的切线与直线平行，列出的方程，求解即可
（2）结合（1）得出函数的单调性，再利用单调性解不等式.
【详解】（1）因为函数，则，
又因为图象在点处的切线与直线平行，
所以，解得；
（2）由（1）知，且恒成立，
所以在上单调递增，
则不等式等价于，
解得.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据导数的运算法则及常见函数的导数运算即可得答案；
（2）根据导数的几何意义确定切点坐标与切线斜率即可得切线方程；
（3）由切点与切线方程可得切线斜率为，由导数可得，结合切点在曲线上和在切线上，列方程得的值，从而得k的值．
【详解】（1），．
（2）由（1）可得，则切点坐标为，
又，
因此，曲线在点处的切线方程为，即．
（3）直线过原点，则，
由点在曲线上，得，．
又，所以，
又，，整理得，
，，则．
18．(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值
(2)
(3)
【分析】（1）求得，利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数的极值；
（2）设，求得，根据题意，转化为在上恒成立，得到转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）根据题意，得到，求得，若分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性与极值，以及函数的图象，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得，
令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，极小值为，
所以函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
（2）解：由函数，可得，
设，可得，
因为对且，恒成立，
可得对，函数为单调递增函数，
即对，函数在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，由二次函数的性质，可得在上单调递增，
可得，转化为在上恒成立，
当时，得到，所以，
所以实数的取值范围为.
（3）解：由，
可得，其中，
则，
因为，令，解得或，
当时，令，解得或；
令，解得，
所以函数在单调递增，在上单调递递减，
因为，此时函数在上没有零点，不符合题意，舍去；
当时，此时恒成立，所以在上为单调递增函数，
因为，此时函数在上没有零点，不符合题意，舍去；
当时，令，解得或；令，解得，
所以函数在单调递增，在上单调递递减，
当时，，
结合图象，要使得函数在存在零点，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
19．(1)0；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析；
【分析】（1）利用导函数分析函数的单调性，求最值即可；
（2）求出导函数，分类讨论单调性即可；
（3）利用（1）小问的结论，构造出不等关系，利用累加法即可证得结论.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，令，解得，
时，单调递增；
时，单调递减，
.
（2）由题意，，定义域为，
则，
令，解得，
当时，时，单调递减；时，单调递增.
当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增.
当时，时，单调递增.
当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）由（1）知，，在上恒成立，即，当且仅当时等号成立.
对于任意的正整数都有成立，
，
，
累加可得，
即，
即得证.
所以，对于任意的正整数，都有．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第五章一元函数的导数及其应用达标测试卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B．9 C． D．1
3．已知函数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
4．下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
5．函数，是的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数无零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数导函数为， 若对任意实数x， 有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数的图象与直线相切的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列求导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，的极小值为
B．可能为奇函数
C．若在上单调递增，则
D．若直线与有三个交点，则
三、填空题
12．曲线在点处的切线方程为 ．
13．已知函数，其导函数记为，则 ．
14．已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则下列说法正确的有
①．当时， ②．当时，
③．当时， ④．一定能被3整除
四、解答题
15．已知函数
(1)用导数的定义求函数的导数；
(2)求出，的值
16．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，其中为常数．
(1)求的值；
(2)求不等式的解集．
17．已知函数．
(1)求；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)若直线与曲线相切于点，求k的值．
18．已知函数，其中
(1)求的单调区间和极值；
(2)若对且，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若存在大于0的零点，求实数的取值范围
19．已知函数
(1)当时，求的最大值；
(2)设，讨论的单调性；
(3)证明：对于任意的正整数，都有．
《第五章一元函数的导数及其应用达标测试卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D A B D D AC BCD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】根据导数的物理意义直接求解即可.
【详解】，
当时，，
即该物体在时的瞬时速度是.
故选：D.
2．B
【分析】由导数的计算公式可得.
【详解】.
故选：B
3．B
【分析】对函数求导，并应用导数的定义求值即可.
【详解】由题设，则.
故选：B
4．D
【分析】对于A，根据导数的定义结合分析判断即可，对于B，先求出导函数，再由解方程求解判断，对于C，利用导数的运算法则求解判断，对于D，先求出，然后令，可求出进行判断.
【详解】对于A，因为函数在上可导，且，
所以，所以A错误，
对于B，由，得，则由，得，解得，所以B错误，
对于C，，所以C错误，
对于D，由，得，
所以，解得，所以D正确.
故选：D
5．A
【分析】先求得，得到，则图象关于原点对称，排除B、D项；在时确定，排除C项，即可得到答案.
【详解】由函数，可得，
则，
所以函数为上的奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项；
当时，，则；
当时，，则，
因此当时，，可排除C项，
所以的大致图象为选项A.
故选:A.
6．B
【分析】根据函数无零点，将其转化为方程在上没有实根，研究函数的值域，即可求得参数的取值范围.
【详解】函数无零点，即关于的方程在上没有实根，
也即方程在上没有实根.
设，则，
由可得，由可得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
则时，函数取得极大值为，
当则，当则，
作出函数的图象，可得其值域为，故.
故选：B.
7．D
【分析】对函数求导，令即可求解函数的单调递增区间.
【详解】函数的定义域为，
∴.
令，解得或，
即函数的单调增区间是.
故选：D.
8．D
【分析】令函数，则可得，求，由题意得，从而得到函数单调性，然后利用函数单调性解不等式.
【详解】令函数，则，
，∵对任意实数x， 有，
∴，
即函数在上单调递减，
∵，∴，即，
∴.
故选：D.
9．AC
【分析】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论.
【详解】选项A中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确；
选项B中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误；
选项C中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，
当时，切点为，切线方程为，C正确；
选项D中，易知与有三个交点，，
又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误.
故选：AC
10．BCD
【分析】根据求导公式和求导法则分别对各选项进行计算分析.
【详解】对于选项A： ，所以选项A错误.
对于选项B：，所以选项B正确.
对于选项C：，所以选项C正确.
对于选项D：，所以选项D正确.
故选:BCD.
11．ACD
【分析】求导可得的极小值为判断A；若为奇函数，可得对恒成立，可判断B；由题意可得对恒成立，可求得，判断C；由题意可得有三个实数根，变形可求得结论判断D.
【详解】对于A，当时，，可得，
令，可得，解得或，
当，，当，，所以的极小值为，故A正确；
对于B，若为奇函数，则，
所以。
所以，故不存在，使对恒成立，
故不可能为奇函数，故B错误；
对于C，若在上单调递增，则对恒成立，
所以对恒成立，，
当时，，所以，故C正确；
对于D，由直线与有三个交点，
则，
即有三个实数根，
则，
所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】先求导，然后利用导数求出在点处切线斜率，再利用点斜式方程求解该点处的切线方程.
【详解】因为，所以，，
所以，又因为，
由点斜式方程可得在点处的切线方程为：，即.
故答案为：
13．2
【分析】利用为偶函数，有，为奇函数， 有，即可求值.
【详解】函数，定义域为R，
则，
，
所以为偶函数，有，
令，，
为奇函数，有，
所以.
故答案为：2.
14．①②③
【分析】分两种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，结合图象分析函数的零点分布，进而可得结果
【详解】由题意可知为二次函数，且为的零点，
由得或，
当时，令，解得或；令，解得，
所以在内单调递增，在内单调递减，
则为极大值点，为极小值点，
所以，即，
若，则，此时，与矛盾，故，①说法正确；
所以有2个根，有1个根，可知，②说法正确；
当时，令，解得，令，解得或，
所以在内单调递增，在内单调递减，
则为极大值点，为极小值点，
所以，即，
若，则，此时，与矛盾，故，
当，即时，可知，，此时，，
当，即时，可知，，此时，，
当，即时，可知，，此时，，
综上③说法正确，④说法错误；
故答案为：①②③
15．(1)
(2)；
【分析】（1）计算，再计算，取极限即可；
（2）计算在和的函数值.
【详解】（1），
则，
则当时，，故；
（2），
16．(1)
(2)
【分析】（1）先求出的导函数，再结合在点处的切线与直线平行，列出的方程，求解即可
（2）结合（1）得出函数的单调性，再利用单调性解不等式.
【详解】（1）因为函数，则，
又因为图象在点处的切线与直线平行，
所以，解得；
（2）由（1）知，且恒成立，
所以在上单调递增，
则不等式等价于，
解得.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据导数的运算法则及常见函数的导数运算即可得答案；
（2）根据导数的几何意义确定切点坐标与切线斜率即可得切线方程；
（3）由切点与切线方程可得切线斜率为，由导数可得，结合切点在曲线上和在切线上，列方程得的值，从而得k的值．
【详解】（1），．
（2）由（1）可得，则切点坐标为，
又，
因此，曲线在点处的切线方程为，即．
（3）直线过原点，则，
由点在曲线上，得，．
又，所以，
又，，整理得，
，，则．
18．(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值
(2)
(3)
【分析】（1）求得，利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数的极值；
（2）设，求得，根据题意，转化为在上恒成立，得到转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）根据题意，得到，求得，若分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性与极值，以及函数的图象，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得，
令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，极小值为，
所以函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
（2）解：由函数，可得，
设，可得，
因为对且，恒成立，
可得对，函数为单调递增函数，
即对，函数在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，由二次函数的性质，可得在上单调递增，
可得，转化为在上恒成立，
当时，得到，所以，
所以实数的取值范围为.
（3）解：由，
可得，其中，
则，
因为，令，解得或，
当时，令，解得或；
令，解得，
所以函数在单调递增，在上单调递递减，
因为，此时函数在上没有零点，不符合题意，舍去；
当时，此时恒成立，所以在上为单调递增函数，
因为，此时函数在上没有零点，不符合题意，舍去；
当时，令，解得或；令，解得，
所以函数在单调递增，在上单调递递减，
当时，，
结合图象，要使得函数在存在零点，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
19．(1)0；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析；
【分析】（1）利用导函数分析函数的单调性，求最值即可；
（2）求出导函数，分类讨论单调性即可；
（3）利用（1）小问的结论，构造出不等关系，利用累加法即可证得结论.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，令，解得，
时，单调递增；
时，单调递减，
.
（2）由题意，，定义域为，
则，
令，解得，
当时，时，单调递减；时，单调递增.
当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增.
当时，时，单调递增.
当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）由（1）知，，在上恒成立，即，当且仅当时等号成立.
对于任意的正整数都有成立，
，
，
累加可得，
即，
即得证.
所以，对于任意的正整数，都有．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)