2024-2025学年人教版八年级数学下册 18.2.3 正方形 课时练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年人教版八年级数学下册 18.2.3 正方形 课时练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-07 11:42:01 | ||
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文档简介
2024-2025学年八年级数学下册人教版第十八章第2.3节《正方形》课时练习
一、单选题
1．如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，在正方形中，对角线相交于点O．E、F分别为上一点，且，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形和正方形中，三点在同一直线上，点在上．，连接是的中点，连接，那么的长是( )
A． B． C． D．
4．如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点(点P不与点B、D重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③仅有当∠DAP＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤PD＝EC．其中正确的有( )个．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，已知边长为的正方形，为的中点，为的三等分点，则的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
7．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，E为上一点，过点E作交于点 F，连接，． 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形纸片：①先对折使与重合，得到折痕；②折叠纸片，使得点落在的点上，沿和剪下．则判定为等边三角形的依据是（ ）
A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．有两个角是的三角形是等边三角形
C．三边都相等的三角形是等边三角形 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
9．四边形的对角线交于点O，有下列论断：①；②；③，；④矩形；⑤菱形；⑥正方形．其中推理不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点是正方形内一点，．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．19 B．20 C．22 D．25
二、填空题
11．如图，正方形的边长为，在边上存在一点（不与点，重合），将沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在正方形的对称轴上时，的长为 ．
12．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，若，且，则的长为 ．
13．如图，正方形，E为上一点，，连接并延长，交于点F，则的度数是 ．
14．如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ．
15．如图，正方形的边长为4；是边上一点，，连接，过点作于点，则的长为 ．
16．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，且边长为4，那么阴影部分面积为 ．
17．如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ．
三、解答题
18．如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即
，其中四边形是正方形，四边形是正方形，如图2，将图1中的线段和线段分别延长到点和点，使，，连接，，，，得到四边形．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积．
19．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、．
备用图
(1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
20．如图，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，，；
(1)求证：，相平分；
(2)现有三个条件：①；②平分；③；
请你从中选择两个条件（写序号）： 使得四边形是正方形，并加以证明．
21．如图，点是正方形边上一动点(不与、重合)，是外角的平分线，点在射线上．
(1)当时，判断与是否垂直，并证明结论；
(2)若在点运动过程中，线段与始终满足关系式．
①连接，证明的值为常量；
②设与的交点为，的周长为，求正方形的面积．
22．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)如图，求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
23．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”
【概念理解】
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）．
【性质探究】
（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论．
【问题解决】
（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2024-2025学年八年级数学下册人教版第十八章第2.3节《正方形》课时练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A B D B C C D A
11．或或
12．4
13．
14．4或/或4
15．//
16．3
17．或/或
18．（1）（1）证明：，
，，，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
；
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，，
，，
，，
，，
四边形是正方形，
，
，
四边形的面积是86．
19．（1）四边形能够成为菱形，理由如下：
∵中，，，
．
在中，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，解得：，
即当时，四边形是菱形；
（2）四边形不能为正方形，理由如下：
当时，．
，
，
，
，
时，
但，
四边形不可能为正方形．
20．（1）证明：、、分别是，，的中点，
、都是△ABC的中位线，
∴，，
四边形为平行四边形，
、互相平分；
（2）解：①；②平分；③，
∵四边形为平行四边形，
∴添加①时，四边形是矩形；
添加②平分时，，则，此时四边形是菱形；
添加③时，由得到，四边形是菱形；
∴选择①③或①②时，四边形是正方形；
选择①③，
证明：四边形为平行四边形，，
四边形是矩形，
点、分别是、的中点，
是△ABC的中位线，
∴，
，
，
四边形是正方形，
选择①②，
证明：四边形为平行四边形，，
四边形是矩形，
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，此时四边形是菱形；
四边形是正方形，
故答案为：①③或①②．
21．（1）解：垂直．
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
．
（2）①如图：过点作，
，
四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
为等腰直角三角形，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
在和中
≌
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
的值为常量．
②如图：将绕点顺时针旋转，则点落在点处，点落在点处，得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
在和中
≌，
，
即：，
，
周长为：，
，
，
，
正方形面积为：．
22．（1）证明：如图，作于，于，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
（2）∵四边形是正方形，，
∴，， ，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）当与的夹角为时，如图，
∴，，
∴，
∵，
∴，
当与的夹角为时，如图，
过作于点，过作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又，
在和中，
，
∴，
∴，
综上所述：或 ．
23．（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
故答案为：④；
（2）解：；
理由如下：如图1，
∵四边形是“中方四边形”，
∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点，
∴，，，，
∴，
故答案为：，；
（3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K，
∵四边形各边中点分别为M、N、R、L，
∴分别是的中位线，
∴，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴．
又∵
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴菱形是正方形，
即原四边形是“中方四边形”．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，在正方形中，对角线相交于点O．E、F分别为上一点，且，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形和正方形中，三点在同一直线上，点在上．，连接是的中点，连接，那么的长是( )
A． B． C． D．
4．如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点(点P不与点B、D重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③仅有当∠DAP＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤PD＝EC．其中正确的有( )个．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，已知边长为的正方形，为的中点，为的三等分点，则的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
7．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，E为上一点，过点E作交于点 F，连接，． 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形纸片：①先对折使与重合，得到折痕；②折叠纸片，使得点落在的点上，沿和剪下．则判定为等边三角形的依据是（ ）
A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．有两个角是的三角形是等边三角形
C．三边都相等的三角形是等边三角形 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
9．四边形的对角线交于点O，有下列论断：①；②；③，；④矩形；⑤菱形；⑥正方形．其中推理不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点是正方形内一点，．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．19 B．20 C．22 D．25
二、填空题
11．如图，正方形的边长为，在边上存在一点（不与点，重合），将沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在正方形的对称轴上时，的长为 ．
12．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，若，且，则的长为 ．
13．如图，正方形，E为上一点，，连接并延长，交于点F，则的度数是 ．
14．如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ．
15．如图，正方形的边长为4；是边上一点，，连接，过点作于点，则的长为 ．
16．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，且边长为4，那么阴影部分面积为 ．
17．如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ．
三、解答题
18．如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即
，其中四边形是正方形，四边形是正方形，如图2，将图1中的线段和线段分别延长到点和点，使，，连接，，，，得到四边形．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积．
19．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、．
备用图
(1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
20．如图，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，，；
(1)求证：，相平分；
(2)现有三个条件：①；②平分；③；
请你从中选择两个条件（写序号）： 使得四边形是正方形，并加以证明．
21．如图，点是正方形边上一动点(不与、重合)，是外角的平分线，点在射线上．
(1)当时，判断与是否垂直，并证明结论；
(2)若在点运动过程中，线段与始终满足关系式．
①连接，证明的值为常量；
②设与的交点为，的周长为，求正方形的面积．
22．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)如图，求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
23．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”
【概念理解】
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）．
【性质探究】
（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论．
【问题解决】
（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2024-2025学年八年级数学下册人教版第十八章第2.3节《正方形》课时练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A B D B C C D A
11．或或
12．4
13．
14．4或/或4
15．//
16．3
17．或/或
18．（1）（1）证明：，
，，，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
；
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，，
，，
，，
，，
四边形是正方形，
，
，
四边形的面积是86．
19．（1）四边形能够成为菱形，理由如下：
∵中，，，
．
在中，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，解得：，
即当时，四边形是菱形；
（2）四边形不能为正方形，理由如下：
当时，．
，
，
，
，
时，
但，
四边形不可能为正方形．
20．（1）证明：、、分别是，，的中点，
、都是△ABC的中位线，
∴，，
四边形为平行四边形，
、互相平分；
（2）解：①；②平分；③，
∵四边形为平行四边形，
∴添加①时，四边形是矩形；
添加②平分时，，则，此时四边形是菱形；
添加③时，由得到，四边形是菱形；
∴选择①③或①②时，四边形是正方形；
选择①③，
证明：四边形为平行四边形，，
四边形是矩形，
点、分别是、的中点，
是△ABC的中位线，
∴，
，
，
四边形是正方形，
选择①②，
证明：四边形为平行四边形，，
四边形是矩形，
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，此时四边形是菱形；
四边形是正方形，
故答案为：①③或①②．
21．（1）解：垂直．
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
．
（2）①如图：过点作，
，
四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
为等腰直角三角形，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
在和中
≌
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
的值为常量．
②如图：将绕点顺时针旋转，则点落在点处，点落在点处，得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
在和中
≌，
，
即：，
，
周长为：，
，
，
，
正方形面积为：．
22．（1）证明：如图，作于，于，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
（2）∵四边形是正方形，，
∴，， ，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）当与的夹角为时，如图，
∴，，
∴，
∵，
∴，
当与的夹角为时，如图，
过作于点，过作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又，
在和中，
，
∴，
∴，
综上所述：或 ．
23．（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
故答案为：④；
（2）解：；
理由如下：如图1，
∵四边形是“中方四边形”，
∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点，
∴，，，，
∴，
故答案为：，；
（3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K，
∵四边形各边中点分别为M、N、R、L，
∴分别是的中位线，
∴，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴．
又∵
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴菱形是正方形，
即原四边形是“中方四边形”．
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