华师大版七下（2024）8.3.2用多种正多边形铺设地面 教案

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分课时教学设计
《8.3.2用多种正多边形铺设地面》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 本节课主要在实验探究的学习活动中，使学生理解多种正多边形能够铺满地面的数学道理，掌握两种及两种以上的正多边形能够铺满地面的种类.探索用多种正多边形拼地板的过程和原理.
学习者分析 在上节用相同正多边形铺设地面的基础上，通过对“用两种及多种正多边形铺地板问题”的探究，让学生在参与中去体验、去感受、去领悟、去创造，激发学生的探究精神、培养创造能力.
教学目标 1.使学生理解多种正多边形能够铺满地面的数学道理，掌握两种及两种以上的正多边形能够铺满地面的种类. 2.通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象能力．
教学重点 通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力.
教学难点 通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境导入教师活动1： 一、复习回顾 1.在同种正多边形中，可以铺满地板的有哪些？ 共有三种：正三角形,正方形,正六边形. 2.用同种正多边形瓷砖铺满地面，既能不留空隙，又不重叠的关键是什么？ 当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面. 二、情境问题 小亮在观察了用相同的正多边形的地面铺设方案后觉得图形太过简单，单调，他想若用两种或两种以上的正多边形铺设的话更美观，你有什么设计方案吗？学生活动1： 通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知.活动意图说明： 通过对上节内容的复习回顾，掌握拼成无缝隙、不重叠的地板的关键之处，为新知识做铺垫.环节二：新知探究教师活动2： 探究一、两种正多边形组合 如图 8.3.3, 用正三角形和正六边形也能铺满地面. 类似的情况还有吗 两个正三角形,一个内角，两个正六边形，一个内角，. 我们还可以发现其他情况, 如图 8.3.4 至图 8.3.7. 一个正三角形，一个内角；两个正十二边形，一个内角，. 一个正方形，一个内角；两个正八边形，一个内角，. 总结：两种组合：正三角形与正方形；正三角形与正六边形；正三角形与正十二边形；正方形与正八边形. 铺满地面关键：当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面. 探究二、三种正多边形组合 现以图 8.3.5 为例, 观察一下其中的关系. 正十二边形的一个内角为, 正六边形的一个内角为, 正方形的一个内角为, 三者之和恰为一个周角. 实际上, 这三种正多边形结合在一起正好能铺满地面. 其他图形是否也满足这一条件 一个正三角形，两个正方形和一个正六边形，. 总结: 三种组合：正三角形、正方形、正六边形；正三角形、正方形、正十二边形；正方形、正六边形、正十二边形 铺满地面关键：当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面.学生活动2： 学生可小组合作交流，自主探究，得出结论 教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论. 活动意图说明：引导学生建立模型，鼓励学生大胆探索，使学生理解多种正多边形能够铺满地面的数学道理，掌握两种及两种以上的正多边形能够铺满地面的种类. 积累解题经验，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例：用正五边形、正十边形铺设地面，能铺满整个地面吗？ 解：可以在一个顶点处组成一个周角，如图： 但在继续进行铺设时出现重合的情况，故不能扩展到整个平面，如图： 易错点： 有时几种正多边形的组合虽然能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面。 如正五边形和正十边形的组合.学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，巩固例题，学生尝试练习师巡视，个别指导. 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象能力．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计 8.3.2用多种正多边形铺设地面 两种正多边形： 三种正多边形： 密铺的条件： 例：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正六边形，则可以再选择的正多边形是（　 　） A.正七边形 B.正五边形 C.正四边形 D.正三角形 2.如果用边长相同的正三角形和正六边形两种图形铺满平面，那么一个顶点处需要（　 　） A.三个正三角形，两个正六边形　 B.四个正三角形，两个正六边形　 C.两个正三角形，两个正六边形　 D.三个正三角形，一个正六边形 3.小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面.现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是 .（填一种即可） 4.下列组合不能密铺平面的是（　 　） A.正三角形、正方形和正六边形　 B.正三角形、正方形和正十二边形　 C.正三角形、正六边形和正十二边形　 D.正方形、正六边形和正十二边形 选做题： 5.下列美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（　 　） 6.在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，任选两种正多边形铺设地面，这样的组合最多能找到（　 　） A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 7.如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形……以此类推，第6层中含有正三角形个数是 个，第n层中含有正三角形个数是 个. 【综合拓展类作业】 8.在数学活动课上，研究用正多边形镶嵌平面.请解决以下问题：用两种正多边形镶嵌平面. 若这两种正多边形分别是边长相等的正三角形和正方形，请画出两种不同的摆放方案. 1.D；2.C；3.4(答案不唯一) 4.C；5.D；6.B 7.66,(12n-6)； 8. 解：边长相等的正三角形和正方形镶嵌平面，两种不同的摆放方案，如图所示.（答案不唯一）
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．能够铺满地面的正多边形组合是(　　) A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形 C．正方形和正五边形 D．正三角形和正方形 2．如图所示是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是________． 3．如图，已知用边长相等的三种不同形状的正多边形恰好可以实现平面镶嵌，其中有两种正多边形的形状分别是正方形和正六边形，则第三种正多边形的形状是________． 4．如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 选做题： 5．用正三角形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有m个正三角形和n个正方形(m、n为正整数)，则m＋n的值为(　　) A．4　 B．3　 C．6　 D．5 6．如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则∠ABC的度数为________． 【综合拓展类作业】 7.相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题． (1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由； (2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺？请说明理由． 1．D　2.6　 3．正十二边形 4．D　解析：设正多边形地砖的边数是n，则正多边形的一个内角＝(360°－60°)÷2＝150°，则150°n＝(n－2)·180°，解得n＝12.故选D. 5．D　解析：∵正三角形和正方形的一个内角分别是60°，90°，∴60m＋90n＝360，且m、n为正整数，∴m＝3，n＝2.∴m＋n＝5.故选D. 6．120°　解析：正六边形内角和为 (6－2)×180°＝720°，所以每个内角度数为720°÷6＝120°.所以∠ABC＝360°－120°×2＝120°. 7．解：(1)能．理由如下： ∵正三角形的内角和为180°， ∴正三角形的每一个内角为180°÷3＝60°. ∵360°÷60°＝6， ∴正三角形能镶嵌成一个平面图形． (2)能．理由如下： ∵正十二边形的内角和为(12－2)×180°＝1 800°， ∴正十二边形的每一个内角为1 800°÷12＝150°. ∵150°×2＋60°＝360°， ∴同时用1块正三角形和2块正十二边形能镶嵌成一个平面图形．
教学反思 本节课通过实验探究引导学生理解多种正多边形密铺的原理，学生积极参与小组合作，在操作中验证内角和为周角的条件，成功推导出可行组合。但部分学生在分析复杂组合时仍存在思维局限，对“能否铺满平面”的判断不够严谨。课堂时间稍显紧张，例题讲解可适当精简，留更多时间让学生自主尝试。后续需增加生活中的密铺案例，强化数学与实际的联系，并设计分层练习，兼顾不同学习能力的学生。总体目标达成，但需进一步优化活动设计以提升探究深度。
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