等腰三角形的判定
【教学目标】（1）等腰三角形的判定
（2）三个角相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
（4）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
【教学难点】性质与判定的区别
【教学过程】
1已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．
求证：AB=AC．
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
∵△ABC中，∠B=∠C
∴AB=AC(等角对等边)
注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．
( 2)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
2．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：∠A=∠B=∠C
求证：△ABC是等边三角形
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
已知：△ABC，AB=AC, ∠A=60°
求证：△ABC是等边三角形
例1：已知：∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
练习.已知：如图，AB=AD，∠B=∠D．
求证：CB=CD．
3直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
已知：Rt△ABC中，∠B=90°,∠A=30°
求证：BC= AC
例2:如图，在△ABC中，∠B=90°，AC=DC，
∠D=15°，AB=18cm，则CD的长为
练习：如果直角三角形的一个锐角为30°，而斜边与较短的直角边之和为18cm，那么斜边长为
【当堂测评】
1.等腰三角形判定定理是证明 相等的重要定理之一.
2内角都相等的三角形是 三角形，每个内角都等于 .
3三角形一个外角平分线平行三角形一边，则这个三角形是 .
3．等腰三角形的一腰长为3a，底角为15°，则另一腰上的高为（ ）．
A．a B．a C．2a D．3a
4如图,△ABC中AB=AC，∠A=36°,BD、CE为角平分线，交于O，则图中等腰三角形共有( )
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
5已知：如图△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于H。
求证：HB=HC。
．
【能力提高】已知，在 中， 的平线与 的外角平分线交于D，过D作DE//BC交AC与F，交AB于E，求证：EF=BE-CF.5.5探索三角形全等的条件（1）
【教学目标】1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；掌握三角形的“边边边”条件，了解三角形的稳定性。
【教学重点】三角形“边边边”的全等条件
【教学难点】用三角形“边边边”的条件进行有条理的思考并进行简单的推理。
【准备活动】
1、全等三角形的 相等， 相等。
2、如图1，已知△AOC≌△BOD，则∠A=∠B，∠C= ， =∠2，对应边有AC= ， =OB， =OD。
3、如图2，已知△AOC≌△DOB，则∠A=∠D，∠C= ， =∠2，对应边有AC= ，OC= ，AO= 。
4、如图3，已知∠B=∠D，∠1=∠2，∠3=∠4， AB=CD，AD=CB，AC=CA。则△ ≌ △
5、判定两个三角形全等，依定义必须满足（ ）
（A）三边对应相等 （B）三角对应相等
（C）三边对应相等和三角对应相等 （D）不能确定
【新知构建】
1、 实验操作
1、 画出一个三角形，使它的三个内角分别为40°，60°，80°，把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？
结论：
2、画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm 4cm 7cm ,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？
结论：
2、 巩固练习：
1、 下列三角形全等的是
2、三边对应相等的两个三角形全等，简写为 或
3、三角形具有 。
【例题精讲】
例1.如图，AB=AC， BD=DC。
求证：△ABD≌△ACD
证明：在△ABD和△ACD中
∴ △ABD △ACD（ ）
练习：如图，AM=AN， BM=BN
求证：△AMB≌△ANB
证明：
例2.如图，AD=CB，AB=CD 求证：∠B=∠D
证明：在 中
∴ △ ≌△ （ ）
∴∠B=∠D（全等三角形对应角相等）
练习：如图，PA=PB，PC是△PAB的中线，∠A=55°求：∠B的度数
解：
【当堂测评】
1、 如图，已知AC=AD，BC=BD，CE=DE，则全等三角形共有 对。
2、如图6所示，木工师傅做完门框后，为防止门框变形常常像图中所示那样钉上两根斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做根据的数学道理是______．
3、如图，AB=DC，BF=CE，AE=DF，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由。
4、如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF你能找到哪些互相平行的线？说明你的理由。
【提高练习】
已知，如图，A，C，F，D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF.
（1） 试说明AB∥CD，BC∥EF；
（2） 把图中的△DEF沿直线AD平移到四个不同位置，仍有上面的结论吗？说明理由.
5.5探索三角形全等的条件（2）
【教学目标】1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；掌握三角形的“角边角”“角角边”条件，了解三角形的稳定性。
【教学重点】三角形“角边角”“角角边”的全等条件
【教学难点】用三角形“角边角”“角角边”的条件进行有条理的思考并进行简单的推理。
【准备活动】
1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为 或
2、如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AD能平
分∠BAC吗？你能说明理由吗？
解：AD平分∠BAC。
∵AD是BC边上的中线（已知）
∴ ＝ （中线的定义）
在 中
∴ ≌ （ ）
∴∠BAD＝∠CAD（ ）
∴AD平分∠BAC（ ）
【新知建构】
1、 探索练习：
1、如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
结论：
2、如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形两个内角分别是60°和45°，一条边长为3cm。你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
结论：
2、 巩固练习：
1、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成 或
2、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成 或
【例题精讲】
例1.如图，已知AC与BD交于点O，AD∥BC，且AD＝BC，你能说明BO=DO吗？
证明：
练习： 如图，∠B＝∠C ，AD平分∠BAC，你能证明△ABD≌△ACD？BD＝3cm，则CD有多长？
证明：
例2.如图，在△ABC中，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，且BE＝CF，那么BD与DC相等吗？你能说明理由吗？
解：
练习：如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，你能说明△ABO≌△DCO吗？
【当堂测评】
1、在△ABC和△A′B′C′中，已知AB=A′B，∠A=∠A′，∠C=∠C′，直接判定△ABC≌△A′B′C′的根据是（ ）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
2、如图所示，点E在AC上，AB=AD，BC=DC，则图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3、如图，AB∥CD，∠A＝∠D，BF＝CE，∠AEB＝110°，求∠DCF的度数。
【提高练习】
如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE是角平分线，ED⊥AB于D，且BD＝AD，试确定∠A的度数。
P
A
B
C本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网角的平分线
相关知识点：
1. 角的平分线：一般地，一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
2. 角平分线的性质定理：在角平分线上的点
3. 到这个角的两边距离相等。
用符号语言表示：
∵点P在∠AOB的平分线OC上,
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD＝PE.( )
4. 三角形角平分线性质
三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等。
反之，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点。
例题：
1. 在ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：AD⊥EF.
2. 已知：AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证：DE=DF.
3．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2BD，则∠ADC+∠ABC的大小是多少？
◆基础训练
一、选择题
1．如图（1），Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，下列结论错误的是（ ）．
A．BD+DE=BC B．DE平分∠ADB
C．AD平分∠EDC D．AC+DE>AD
(1) (2) (3)
2．如图（2），△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是角平分线，DE⊥AB，E为垂足，若△ADE的周长等于10cm，则AB的长是（ ）．
A．8cm B．9cm C．10cm D．20cm
3．如图（3），已知点P到BE，BD，AC的距离相等，则下列说法不正确的是（ ）．
A．P在∠B的角平分线上 B．P在∠ACE的角平分线上
C．P在∠DAC的角平分线上 D．P到A，B，C三点的距离相等
二、填空题
4．如图(4)，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，若∠A=50度，则∠BDC=________．
(4) (5) (6)
5．如图(5)，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，若BD=4cm，则点D到AB的距离是_______，AB=______．
6．如图(6)，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于________．
二、解答题
7．如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，∠A的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过D点作DE⊥AB于E，过D点作DF⊥AC，交AC的延长线于F．
（1）求证：BE=CF； （2）求AE的长．
( http: / / )
◆拓展训练
8．如图，AB，AC，BC分别代表三条公路，现要建一座加油站，使加油站到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有几处？请你在图中画出加油站的位置，并说明理由．
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认识三角形（一）
学习目标
主体知识归纳
1. 关于三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。
顶点是A,B,C的三角形，记作“ΔABC” 。ΔABC的三边，有时也用a、b、c来表示。如图5-1中，顶点A所对的边BC用a来表示，边AC、边AB分别用b、c来表示。
2. 关于三角形三条边的不等关系
根据公理“连接两点的线中，线段最短“可得三角形三边不等关系的性质定理：
三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
例题精讲
例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与他们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？
练习：下列每组数分别是三根小木棒的长度，用他们能摆成三角形吗？
（1）3cm, 4cm, 5cm; (2)8cm, 7cm, 15cm;
(3)13cm, 12cm, 20cm; (4)5cm, 5cm, 11cm.
例2 一个等腰三角形的周长为18cm.
（1） 已知腰长是底边长的2倍，求各边长。
（2） 已知其中一边长4cm，求其他两边长。
例3 如果三角形两边的长分别为4cm和15cm，其周长为奇数，求第三边的长。
练习：
（1）等腰三角形的两边长是9和4，则周长是 。
（2）若三角形的三边长分别为3，4，x-1,则x的取值范围是
（3）三角形两边的长分别为9和4，其周长为偶数，求第三边的长。
3. 关于三角形的内角和
三角形三个内角的和为180°
课本上已经给出了三角形内角和的一种证明方法，还可以用下面三种方法来证明：
（1） 在图5-1中，过A作MN∥BC,再运用平行线的性质，证得ΔABC的内角和等于平角∠MAN.
（2） 在图5-2中，在边BC上任取一点D，过D作DE∥AB,DF∥AC,分别交AC、AB于E、F再运用平行线的性质，证明ΔABC的内角和等于平角∠BDC.
（3） 在图5-3中，延长BC至D，过C作CE∥AB,证明ΔABC的内角和等于平角∠BCD.
4. 三角形按角的分类三角形按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
通常，我们用符号“RtΔABC”表示“直角三角形ABC”把直角所对的边称直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边
例4 适合下列条件的ΔABC是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形？
（1）∠A=∠B=∠C； （2）∠A+∠B=∠C；
（3）∠A=∠B=30°； （4）∠A=∠B=∠C；
5.直角三角形的两个锐角之间的关系
直角三角形的两个锐角互余
在RtΔABC中，∠C=90°则∠A+∠B=90°
例5 在ΔABC中：
（1）若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3则∠A= ,∠B= ，∠C=
(2) 若∠A+∠B=∠C则∠C=
例6 已知：在ΔABC中，∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高.求∠DBC的度数.
6.三角形的外角及外角和
把ΔABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形三边关系学习时注意以下几点：
（1）“三条线段中只有最大边小于其他两边之和”才能构成一个三角形，并且等腰三角形
的每一条腰必大于底边的一半。
（2）三角形中最小边也大于其他两边之差
三角形内角和学习时注意以下几点：
（1） 一个三角形的三个内角可能都是锐角，也可能有一个是直角或钝角。
（2） 一个三角形中只有一个内角是直角或钝角。
练习：
1.看图填空：
（1）图中共有 个三角形，它们表示为 。
（2）∠ADE是Δ 和Δ 的内角，还是 的邻补角。
（3）∠B是Δ ，Δ ，和Δ 的内角；在ΔABE中，∠AEB的对边是 ;
在Δ 中, ∠C的对边是AD
2.在ΔABC中，
（1）BC=4,AC=7,则AB边的取值范围是 .
（2）若∠B=65°30＇,∠C=101°,则∠A= .
(3) ∠A=∠C=∠B,则∠A= ,∠B= ,这个三角形是 三角形。
3.如果等腰三角形的一边等于5，一边等于6，则它的周长= .
4.三角形三边分别为3，1-2a，8，则数a的取值范围是 .
5.求∠а的度数。
（1） （2） （3）
（1）∠а= ， （2）∠а= ， （3）∠а= 。
6.平面上六个点A、B、C、D、E、F构成如图5-6, 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
图5-1
图5-2
图5-3
直角边
直角边
斜边
直角边
斜边
╮34
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三角形的角平分线和中线
【学习目标】
1三角形的角平分线和中线的概念。
2用纸和画图等方法认识它们分别共点的性质，角平分线的交点在三角形内称为三角形的内心，中线的交点在三角形内称为三角形内称为三角形的重心
新知建构：
【定义】角平分线:
线段AD是⊿ABC中∠CAB的角平分线
中线:
线段AD是⊿ABC中 BC边上的中线
【做一做】做出三角形ABC的三条角平分线,做出三角形DEF的三条中线
结论:三角形的三条角平分线 三条中线
1如图，AD﹑ AE分别是⊿ABC的中线和角平分线,
已知BC=10cm, ∠BAC=70则BD= = = ∠BAE= = =
【例题精讲】
例1如图（2），已知⊿ABC中，∠A=80，角平分线BE﹑CF相交于O，求∠BOC
练习：（2008 沈阳中考）如图（3），已知⊿ABC中，
∠A=60，∠ABC，∠ACB角平分线交于O，求∠BOC
例2．如图（4）,等腰 ⊿ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将
这个等腰三角形的周长分成15和6两部分,求这个三角形
的腰长及底边
练习:如图（5），BM是⊿ABC的中线，若AB=6cm,BC=4cm, 则⊿ABM的周长与⊿BCM的周长之差是多少
例3如图（6）⊿ABC的周长为18cm,BE﹑CF分别为AC﹑AB边上的中线, BE﹑CF相交于点O,AO的延长线交BC于D,且AF=3cm,AE=2cm,求BD的长.
【归纳小结】三角形的三条中线 三条角平分线
【当堂测评】
1. 下列关于三角形中线的描述正确的是( )
A一条中线将三角形分成两个形状一样的三角形.
B一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形.
C一条中线将三角形分成两个形状,面积都一样的三角形.
D一条中线将三角形分成两个形状一样,面积不等的三角形
2．如图,在⊿ABC中, ∠A=60,∠ABC﹑∠ACB
的角平分线相交于点P,则∠P=( )
3．如图, ⊿ABC中, ∠C=90,AD平分∠BAC,
且∠B=3∠BAD﹑求∠ADC的度数
【创新提高】
如图, ⊿ABC中, ∠B ,∠C角平分线交于O,BO的延长线交AC于D,连AO,且∠1=30,∠2=20求∠AOD的度数.
三角形的高
【学习目标】
1掌握三角形高的概念，能在锐角，直角，钝角三角形中作出高。
2理解并并应用高的性质解决问题。
新知建构：
【复习】过一点作已知直线的垂线，和点到直线的距离。
【定义】
三角形的高
线段 AD称为△ABC中BC边上的高
【作一作】作下列三角形的高
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
结论：锐角三角形的三条高均在三角形 部；
直角三角形有一条高在三角形 部，有两条高在三角形边上；
钝角三角形有一条高在三角形 部，有两条高在三角形外部。
性质：三角形的三条高所在的直线交于
例题精讲：
类型一，利用面积求线段的长
例1：如图（1），已知AD、AE分别是的高和中线，
AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm, ∠CAB=90
求：（1）AD的长
（2）△ABE的面积
（3）△ACE和△ABE的周长的差.
练习：如图CF是△ABC的高，AB=5,△ABC 的面积为15，则CF=
类型二 与三角形的高有关的角度计算
例2、 如图AF,AD分别是△ABC的高和角平分线，
且 ∠B= 36 , ∠C=76 , 求∠DAF的度数
练习：如图，已知Rt△ABC 中∠BAC=90，AD是△ABC的高，∠BAD=80 ，则 ∠ACD=
【当堂测评】
1、如图（5），△ABC的三条高AD、BE、CF相交于H, 则△ABH的三条高分别为 .
2、如图 （6），AD是 △ABC的高，BE平分∠ABC,交AD于E，若∠C=70，∠BED=64,求∠BAC的度数
3、如图，△ABC中，∠B=34∠ACB=104,
AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，
求∠DAE的度数
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4.1 用尺规作线段
【学习目标】
本节学习主要解决下列问题。作一条线段等于已知线段.此内容既为本节的重点，又为本节的难点。
【知识管理】
1、尺规作图
尺规作图：在几何中，限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图。
注 意：直尺是指没有刻度的尺子。
2、尺规作图的解答的基本要求与格式
格 式：已知……
求作……
作法……（作法的每一步必须有依据）
3、一些常见的作图语句
射线与直线：画射线XX；过点X作直线XX；或作直线XX，或作射线XX；
线 段：连接X、X；或连接XX；
截 线 段：在XX上截取XX=XX；
延 长 线：延长XX到点X，或XX到点X ，使XX=XX。
【例题精讲】
类型之一 利用尺规作线段的和与差
例1 如图，已知线段a和b（a＞b）。
a b
(1) 求作线段AB，使AB=a+b;
(2)求作线段EF，使EF=a-b。
[感悟]作图时语言要规范；另外线段之和与差的区别就在于前者在线段外侧作，后者在线段内侧作。
类型之二 作已知线段的和差倍分
例2 如图，已知线段a、b（a＞b），作一条线段x，使x=3a-2b。
a b
当堂测评
1、如图，已知线段a,直线AC⊥BD，垂足为O，利用尺规，按下列要求作图：
①在射线OD、OB上作线段OH、OF，在射线OA、OC上作线段OE、OG，使OH=OF=OE=OG=a;
②依次连接E、F、G 、H、E 。
（1）说说你得到了一个怎样的图形；
（2）利用圆规，比较EF、FG、GH、HE的大小，你得到了什么结论？
2如图，已知线段a和b，直线AC⊥BD，垂足为O，利用尺规，按下列要求作图：
①在射线OD、OB上作线段OH、OF，使OH=OF=a;
②在射线OA、OC上作线段OE、OG，使OE=OG=b;
③依次连接E、F、G 、H、E 。
（1）说说你得到了一个怎样的图形；
（2）利用圆规，比较EF、FG、GH、HE的大小，你得到了什么结论？
4.2 用尺规作角
【学习目标】
本节学习主要解决下列问题：作一个角等于已知角
此内容既为本节重点，又为本节的难点。
【知识管理】
1用尺规作角
2基本作图：作一个角等于已知角
作 用：作三角形的角和作平行线等。
3常见作图语言：（1）作∠XXX=∠XXX。
（2）作XX（射线）平分∠XXX。
（3）过点X作XX⊥XX，垂足为点X。
【例题精讲】
类型之一 作一个角等于已知角
例1 如图，已知∠AOB，求作∠CBO，使∠CBO=∠AOB，交OA于点C。
B
O
A
[感悟]作图时应注意保留作图痕迹。
类型之二 作已知角的和差倍分
例2 已知∠1、∠2，如图，（∠2>∠1），作一个角，使它等于2∠2-∠1。
1 2
[感悟]（1）作倍角问题时实际上在同一侧依次作等角。
（2）作角的和差问题要分清是在已知角的内部还是在角的外部作角。
当堂测评
（时间：10分钟 分值：100分）
1、（50分）已知直线l及其外一点P，求作：直线l1,使l1∥l且过点P。
p
l
2、（50分）如图，已知∠a，求作∠β，使∠β=3∠a。
a
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6．利用三角形全等测距离
【学习目标】
利用所探求的三角形全等的条件“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”来测距离。在利用三角形全等知识测距离的过程中，培养思维的逻辑性和发散性。 感受数学与生活的密切联系，在合作交流解决问题的过程中，培养合作精神，锻炼口头表达能力。
【 主体知识】
①全等三角形的性质及判定条件
② 在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！
【新知构建】图片显示(见教科书173页,)
已知:∠ABC=∠ABD=900, ∠BAC=∠BAD,求证:BC=BD
【例题精讲】
例题1:小明的家附近有一个美丽的池塘，他想知道最远两点A，B之间的距离。但是他没有船，不能直接 测，手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A、B之间的距离呢？
http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com / )【变式练习】
1如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD=∠ACB，这时量得的AD的长度就是水池宽AB的长度，试说明理由．
例题2（2007，武汉，）你一定玩过跷跷板吧!如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′有何数量关系？为什么？
【变式练习】2在一座楼相邻两面墙的外部有两点A，B
请设计方案测量A，B两点间的距离。
【小结】采用那些方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离。（如何把距离的测量转化为三角形全等的问题）
【当堂测评】
1．如图1所示，将两根弯曲的钢条的中点O连在一起，使它们可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
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图1 图 2 图3 图4 图5
2．如图2所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB=9cm，则容器的内径A′B′为（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
3．如图3所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离（ ）
A．大于100m B．等于100m C．小于100m D．无法确定
4．如图4所示，∠BAC=90°，AB=AC，过点A任意作一直线DE，且作CE⊥ED，BD⊥ED，经测量CE=2cm，BD=4cm，则DE的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
5．如图5要测量河对岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。判定△EDC≌△ABC 的理由是（ ）
A、SSS B、ASA C、AAS D、SAS
【提高训练】如图所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两个建筑物在太阳光下的影子BC与B′C′一样长，那么两建筑物AB与A′B′是否一样高？说明理由．
B
A
C
B
A
C
A
C
B
A
C
B
D
B
A
B
A
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网5.8探索直角三角形全等的条件
[教学目标]1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程； 2、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
[课前准备]：
1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
2、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，斜边是
3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF ，根据
（3）若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF ，根据
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC与△DEF ，根据
[新知建构]
（一）探究活动：做一做
画一个直角三角形，使得一条直角边长为3cm，斜边长为5cm，同桌之间比较所画的Rt△是否全等，从中你发现了什么？
（二）判定两个直角三角形全等的公理：有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”.
[精讲精练]
例1、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
随堂练习：已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.
例题2、已知:如图AC、BD相交于点O,AC=BD,∠C=∠D=90°,求证:OC=OD.
随堂练习：已知：如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D、E，DC、BE相交于F。求证：AF平分∠BAC
[当堂测评]
1、如图，∠D=∠C=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC，并在
添加的条件后的（ ）内写出判定全等的依据。
（1） （ ） （2） （ ）
（3） （ ） （4） （ ）
2、 要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的( )
①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
3、如图，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E是AB上任意一点.求证：CE=DE.
[提高训练]如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.
(1)用圆规比较EM与FM的大小.
(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗
C
E
A
B
D
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台球桌面上的角
余角、补角
【学习目标】
1、掌握互余、互补的概念。
2、认识图形，分解图形，能利用互余、互补合理计算
【新知识构建】
1、 互余的角的定义
2、 互补的角的定义
如图，Ｏ是直线ＡＢ上的一点，ＯＣ是∠ＡＯＢ的平分线．看图回答：
①图中互余的角是_________．②图中互补的角是_________．
③图中相等的角是_________．
在上面图形中再添加一条射线ＯＥ，使得∠ＤＯＥ是一个直角，再请你回答下列问题：
1 图中∠ＤＯＣ的余角有________ _．如果∠DOC＝30 ，∠ＡＯＤ和∠ＣＯＥ各是 ，它们有什么关系____ ____．如果∠DOC＝25 ，这个关系还成立吗？
②图中∠ＡＯＤ的余角有_________．∠ＤＯＣ和∠ＢＯＥ什么关系_______ _．为什么？
③通过上述两小题你能得到的结论：
思考题：右图中，两条相交的直线a,b，所有互补的角有_______ __;
相等的角有________ __．为什么？
你能得到的结论：
3、对顶角的定义：
由同角的补角相等，可知∠1与∠4，∠2与∠3的关系是 。从而得出
对顶角的性质：
4、知识表格
互补的角 互余的角
数量关系
对应图形
性 质
图例 名称 位置关系 数量关系
对顶角
邻补角
【例题精讲】
基础练习：
1 若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2＝_________°．
2 若∠1＝180°－∠2，则∠1与∠2_________．
3 30°的余角是_________°，补角是_________°；
4 若一个角的度数是ｘ，则它的余角的度数和补角的度数分别是_________．
5 60°角的余角的补角是_________．
类型一 利用代数方法求角
例1：一个角是它的补角的3倍，求这个角
随堂练习
一个角的补角加上300后等于这个角的余角的3倍，求这个角。
类型二 识图
例3、下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？
B B B A
C D C D C D
A A
B B B（A）
C D C A C D
随堂练习：
如图，三条直线AB、CD、EF相交于O点，图中有对顶角 对，
∠COF的对顶角是 ，共有邻补角 对，∠COB的邻补角有 对
类型三 对顶角性质的应用
例4 如图,直线AB、CD相交于点O.
(1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.
(2)若∠BOC比∠AOC的2倍多33°,求各角的度数.毛
随堂练习
如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠AOE=40°求∠BOD
【当堂测评】
1、判断下列图中是否存在对顶角.
2、如图，直线AB、CD相交于点O，∠1=90°：
①∠AOC和∠DOB是 角，
②∠DOB和∠DOE互为 角，
③∠DOB和∠BOC互为 角，∠AOC和∠DOE互为 角。
3、若∠A+∠B=900,∠B+∠C=900，则∠A ∠C，理由
4、若∠1+∠3=1800,∠2+∠4=1800且∠1=∠4，则∠2 ∠3，理由
5、已知，直线AB、CD、EF相交于点O，
（1）写出∠AOD，∠EOC的对顶角
（2）写出∠AOC，∠EOB的邻补角
（3）已知∠AOC=500，求∠BOD, ∠COB的度数
【拓展训练】
已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE,
∠AOE=3∠AOC, 求∠DOE的度数.
1
3
4
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
A
B
C
D
E
F
O
E
A
D
O
C
1
A
B
OP
C
D
E
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同位角、内错角、同旁内角
【学习目标】
1、理解同位角、内错角、同旁内角的意义。
2、会熟练地识别图中的同位角、内错角、同旁内角。
【主体知识归纳】
与被截直线的关系 与截线的关系
同位角
内错角
同旁内角
【例题精讲】
类型一 认识图中的同位角、内错角、同旁内角
例1 ① 图1中，∠1、∠2由直线 被直线
所截而成 。
②图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的
三线八角图形中的角？
③图3中，∠1、∠2由直线 被直线
所截而成。
随堂练习：
1、(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角
(2)∠B与∠4是同旁内角.则截出这两个角的截线与被截线是哪两条直线？
(3)∠B和∠E是同位角吗 为什么
2、如图∠E与∠1是＿＿＿角, ∠E与∠2是＿＿＿角
∠B与∠1是＿＿＿角,∠B与∠3是＿＿＿角,
当堂测评
1、下列各图中的与，哪些是同位角？哪些不是？
2、如图，（1）、和是直线_______与直线_______被直线_______所截而成的，它们是_____________；
（2）、和是直线_______与直线_______被直线_______所截而成的，它们是_____________；
3、图中，与哪个角是内错角？与哪个角是同旁内角？它们分别是由哪两条直线被哪一条直线截成的？
4、如图，∠3与∠B是直线AB、______被直线______所截而成的______角；∠1与∠A是直线AB、______被直线______所截而成的______角；∠2与∠A是直线AB、______被直线______所截而成的______角。
5 、在图中分别找到∠1的同位角，∠2的内错角，∠3的同旁内角。
6、创新提高
如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？
3
2
6
1
4
5
7
8
————
————
1
2
1
2
1
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1
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4题图
2
1
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2题图
1
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4
5
3题图
O
P
M
N
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三角形全等的判定（SAS）
一、教学目标：
1、知识与技能：⑴掌握边角边判定方法的内容，会运用边角边判定方法证明两三角形全等。
（2）体会证明两线段相等，两个角相等通常转化为“证明两三角形全等”来解决的数学方法。
2、教学重点与难点：重点：掌握三角形全等的判定方法——“边角边”。
难点：理解“边边角”不一定会全等，熟练运用“边角边”判定方法。
二、课前准备
. 如图，已知∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（2）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为 ．
三、新知建构：
1、探究：两边及其夹角分别对应相等的两三角形全等吗？
做一做:
在右边方框内画△ABC,使AB=2cm，∠A= 60°AC=4cm。同学之间比较是否全等。
判定三角形全等的方法:
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。简记为“SAS”（或“边角边”）
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ ）
2、探究“边边角”两个三角形是否全等？
做一做：以3.5cm，4cm为三角形的两边，长度为3.5cm的边所对的角为30°，动手在右边画一个三角形，
把你画的三角形与同桌同学画的三角形进行比较，
那么所有的三角形都全等吗？
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形 全等
四、精讲精练：
例题1、 已知：AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA
随堂练习： 如图，AB∥CD,AF=CE，，那么BE与DF相等吗？请说明理由．
例题2、如图，已知AB＝AC，AE＝AD，∠1＝∠2，你能说明△ABD≌△ACE吗？
随堂练习：如图，等边△AEB和等边△BDC，连结AD，EC，求证：△ABD≌△EBC
五、小结与反思：
（1）三角形全等的条件,两边和它们的 对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“ ”)
（2）两边及其一边所对的角相等，两个三角形 全等
（3）判定两条线段相等或两个角相等可以通过从它们所在的两个三角形 而得到。
【当堂测评】
1、如图，要使，还需添加一个
条件是 （填上你认为适当的一个条件即可）。
2、如图，AB=AC，BE=CD，，，
则的度数等于 °。
3、.下列各组图形中，一定全等的是( )
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.各有一个角是40°，腰长都为3 cm的两个等腰三角形
D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
4、如图，D、E是AB、AC中点，且BD=CE，求证：∠B=∠C。
5、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA的延长线上一点，，
（1）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论。
（2）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使变到的位置。
D
E
F
A
B
C
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网线段垂直平分线
1. 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（简称：中垂线）.
2.线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
用符号语言表示：
∵点M在线段AB的垂直平分线上,
∴MA=MB.( )
3.三角形的三边垂直平分线的性质
三角形的三边垂直平分线交于一点，并且交点和三个顶点距离相等。反之，和三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点。
例题：
1.在ABC中，AB=AC,AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50，则底角B的大小为
2.如图，在ΔABC中∠B=2∠C,AD⊥BC于D求证：CD=AB+BD.
3．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC于E，使CE=CD．求证：点D在线段BE的垂直平分线上．
( http: / / )
4．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，连接AE、DF，求证：（1）DF∥AC； （2）∠B=∠EAC．
( http: / / )
◆基础训练
一、选择题
1．三角形中，一条边的垂直平分线恰好经过三角形的另一个顶点，那么这个三角形一定是（ ）．
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．已知直线a是线段AB的垂直平分线，C，D是直线a上的两点，则∠CAD与∠CBD的关系是（ ）．
A．∠CAD>∠CBD B．∠CAD<∠CBD
C．∠CAD与∠CBD互补 D．∠CAD=∠CBD
3．如图(1)，Rt△ABC的斜边AB的中点为E，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=
1：7，则∠BAC=（ ）．
A．70° B．60° C．48° D．45°
(1) (2) (3)
二、填空题
4．如图(2)，△ABC中，∠BAC=100°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，如果BC=16cm，那么△AEG的周长为_______，∠EAG=_______．
5．如图(3)，在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠A=50°，AB+BC=6，则△BCF的周长=________，∠EFC=_______． (4)
6．如图(4)，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，MN垂直平分AB，则
∠NBC=______，∠BNC=______．
三、解答题
7．如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，∠B=22.5°，AB的中垂线DN交BC于D，DF⊥AC于F，交AE于M．求证：EM=EC．
8．如图，A，B，C分别是三个居民区，要在居民区附近建个休闲广场P，要求休闲广场离三个居民区的距离相等，请画图表示休闲广场P的位置．
9．在一条公路旁有A，B两个工厂，要在公路旁修一个汽车站，请分别按如下要求确定汽车站M的位置：①要求车站M到A，B两厂的距离相等；②要求车站M到A，B两厂的距离之和AM+BM最短．
（1）如图，当A，B两厂在公路的同侧时；
（2）如图，当A，B两厂在公路的两侧时．
◆拓展训练
10．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点称为三角形的外心．一个三角形的外心一定在三角形的内部吗？画几个三角形试一试，并将你的猜想写出来．
11．如图，在△ABC中，BD，CF分别是高，M为BC的中点，N为DF的中点.
求证：MN⊥DF．
( http: / / )
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台球桌面上的角
余角、补角
【学习目标】
1、掌握互余、互补的概念。
2、认识图形，分解图形，能利用互余、互补合理计算
【主体知识归纳】
1、互余的角的定义
2、互补的角的定义
3、知识表格
互补的角 互余的角
数量关系
对应图形
性 质
4、对顶角、邻补角
图例 名称 位置关系 数量关系
对顶角
邻补角
5、对顶角性质：
【例题精讲】
基础练习：
1 若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2＝_________°．
2 若∠1＝180°－∠2，则∠1与∠2_________．
3 30°的余角是_________°，补角是_________°；
4 若一个角的度数是ｘ，则它的余角的度数和补角的度数分别是_________．
5 60°角的余角的补角是_________．
类型一 利用代数方法求角
例1：一个角是它的补角的3倍，求这个角
随堂练习
一个角的补角加上300后等于这个角的余角的3倍，求这个角。
类型二、由“数”到“形”的训练——识图
例2：如图，Ｏ是直线ＡＢ上的一点，ＯＣ是∠ＡＯＢ的平分线．
看图回答：
①图中互余的角是_________．
②图中互补的角是_________．
③图中相等的角是_________．
随堂练习：
在例2的图形中再添加一条射线ＯＥ，使得∠ＤＯＥ是一个直角，再请你回答下列问题：
①图中∠ＤＯＣ的余角有_________．∠ＡＯＤ和∠ＣＯＥ什么关系________．
②图中∠ＡＯＤ的余角有_________．∠ＤＯＣ和∠ＢＯＥ什么关系________．
③通过上述两小题你能得到的结论：
思考题：右图中，
所有互余的角有__________；所有相等的角有__________；所有互补的角有_________．
类型三 识图
例3、下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？
B B B A
C D C D C D
A A
B B B（A）
C D C A C D
随堂练习：
如图，三条直线AB、CD、EF相交于O点，图中有对顶角 对，
∠COF的对顶角是 ，共有邻补角 对，∠COB的邻补角有
类型四 对顶角性质
例4 如图,直线AB、CD相交于点O.
(1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.
(2)若∠BOC比∠AOC的2倍多33°,求各角的度数.毛
随堂练习
如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠AOE=40°求∠BOD
【当堂测评】
1、判断下列图中是否存在对顶角.
2、如图，直线AB、CD相交于点O，∠1=90°：
①∠AOC和∠DOB是 角，
②∠DOB和∠DOE互为 角，
③∠DOB和∠BOC互为 角，∠AOC和∠DOE互为 角。
3、若∠A+∠B=900,∠B+∠C=900，则∠A ∠C，理由
4、若∠1+∠3=1800,∠2+∠4=1800且∠1=∠4，则∠2 ∠3，理由
5、已知，直线AB、CD、EF相交于点O，
（1）写出∠AOD，∠EOC的对顶角
（2）写出∠AOC，∠EOB的邻补角
（3）已知∠AOC=500，求∠BOD, ∠COB的度数
拓展训练：
已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE,
∠AOE=3∠AOC, 求∠DOE的度数.
1
3
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1
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A
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2.2平行线的判定（一）
【学习目标】
掌握直线平行的判定，并能解决一些简单的问题
【主体知识归纳】
平行判定1：两条线被第三条线所截，如果同位角 ，那么这两直线 。
简称： （公理）
如图，可表述为：
∵ ( )
∴ ( )
平行判定2：两条线被第三条线所截，如果内错角 ，那么这两直线 。
简称：
如图，可表述为：
∵ ( )
∴ （ )
【精讲精练】
类型一 “同位角相等，两直线平行”的运用
例1：如图已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1＝∠2，∠2＋∠3=180 ,a与c平行吗？试说明理由。
解：a∥c 理由如下：
∵∠1=∠2( 已知)
∴a∥b( )
又∵∠3＋∠4＝180 （平角的定义）
∠2＋∠3＝180 （已知）
∴ （ ）
∴b∥c ( )
∴ ( )
随堂练习：
1.找出下图中互相平行的直线，并说明理由。
2.如图，∠1＝∠2＝55 ，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗 说明你的理由。
类型二 “内错角相等，两直线平行”的运用
例2，如图所示，AB与CD相交于点O，∠A+∠1=110°，
∠B+∠2=110°，判断AC与DB的位置关系，并说明理由．
随堂练习：
1.如图4所示，∠1=∠2，则_____∥___，理由是_ ______．
2.如图5所示，已知∠A=∠1，∠D=∠2，则AB与CD的位置关系是______．
3.如图所示，AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，∠1=∠2，那么EB∥CF吗？为什么？
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当堂测评：
1．如图1所示，若∠1=60°，∠2=60°，则AB_______CD．
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图1 图2 图3
2．如图2所示，若∠1=∠2，则a∥_____ ；若∠2=∠3，则b______c ；b∥c，若∠1=______，则a∥c．
3.如图3所示，能说明AD∥BC，下列条件成立的是（ ）
A．∠2=∠3 B．∠1=∠4 C．∠1+∠2=∠3+∠4 D．∠A+∠C=180°
4.所示，完成下列填空．
（1）∵∠1=∠5（已知）
∴a∥______（ ）
（2）∵∠3=_______（已知）
∴a∥b（ ）
平行线的判定（二）
【教学目标】
掌握直线平行的条件，并能解决一些问题
【主体知识归纳】
平行判定3：两条线被第三条线所截，如果同旁内角 ，那么这两直线 。
简称：
如图，可表述为：
∵ ( )
∴ （ )
【精讲精练】
类型一“同旁内角互补，两直线平行”的运用
例1. 如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由．
解：AB∥CD 理由如下：
∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线（ ）
∴∠1= ,∠2＝ （ ）
∵∠1+∠2=90 ( )
∴∠ABD+∠CDB＝ ＝ ＝180 。
∴CD∥AB（ ）
随堂练习：
如图所示，∠A=105°，∠B=75°，则_____∥_____，
理由是___ 。
类型二，三个判定的综合应用
例2.如图所示，根据下列条件可推得哪两条直线平行，并说明理由。
（1）∠ABD=∠CDB；（2）∠CBA+∠BAD=180 ；
（3）∠CAD＝∠ACB。
随堂练习：
如图所示，若∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF与GH平行吗？
解：为∠1+∠2=180°（ ）
所以AB∥_______（ ）
又因为∠1=∠3（ ）
所以∠2+∠________=180°（ ）
所以EF∥GH（ ）
当堂测评：
1．如图1所示，若∠BEF+______=180°，则AB∥CD．
2．（2008，齐齐哈尔市）如图2所示，请你写一个适当的条件_______， 使AD∥BC．
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图2 图3 图4
3．如图3所示，若∠1=30°，∠2=80°，∠3=30°，∠4=70°，若AB∥____．
4．如图4所示，若∠1=110°，∠2=70°，则a_______b．
5．如图5所示AE∥BD，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠A=∠CBD C．∠BDE+∠DEA=180° D．∠3=∠4
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图5 图6 图7
6．如图6所示，能说明AB∥DE的有（ ）
①∠1=∠D； ②∠CFB+∠D=180°； ③∠B=∠D； ④∠BFD=∠D．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.如图7所示，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠A+∠ADC=180° C．∠1=∠2 D．∠A=∠5
【提高练习】
１．（结论探究题）如图所示，已知∠B=40°，∠BCD=71°，∠D=31°，试探究AB与DE的位置关系．
２．（条件开放题）如图所示，已知∠1=∠2，请你添上一个适当的条件，使AB∥CD．
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c
╮1
╮2
3╰
a
b
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b
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《作三角形》
[教学目标]
分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能利用尺规作出三角形.
2.能结合三角形全等条件与同伴交流作图过程和结果的合理性.
3.在利用尺规作图的过程中，培养动手能力和探索精神.
[主体知识]：
1、用尺规作图的步骤： 已知、求作、分析、作法.
2、基本作图:①画一条线段等于已知线段. ②作一个角等于已知角
3、利用SAS、ASA、SSS、等，作三角形
[例题精讲]
类型之一 根据已知条件求作三角形
已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形
已知：线段a，c，∠α. 求作：△ABC，使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
（先画出所要求作的图形的草图，然后根据草图把已知事项具体化）
将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
这个题还有没有其他的作法呢？
[变式]．1．你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？并写出作法。
2、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.
已知：∠α、∠β，线段c求作：△ABC，使∠A=∠α、∠B=∠β，BA=c.
在画图时，要准确运用直尺和图规，并要注意保留作图痕迹.
[变式]．2．已知∠α和∠β、线段c，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β ，且∠α的对边等于c。
3、已知三角形的三条边，求作这个三角形.
已知：线段a，b，c求作：△ABC,使AB=c，AC=b,BC=a.
[感悟]应用尺规作图，写作法时应注意作图语句的规范。
类型之二 几何作图与几何说理的综合运用
例2 [2008 西宁中考]如图一块三角形模具的部分已被损。
（1）只要从残留模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具A`B`C`？请简要说明理由。
（2）作出模具△A`B`C`的图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）。
[感悟]准确地作出图形是几何说理的关键。
[变式]3小明课本上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上画一个与课本上完全一样的三角形，他该怎么办？你能帮助他画出来吗？
[当堂测评]
1、用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上已知条件是（ ）
A．三角形的两条边和它们的夹角
B．三角形的三条边
C．三角形的两角和它们的夹边
D．三角形的三个角
2、在下列各题中，属于尺规作图的是（ ）
A．利用三角板画45度的角
B．用直尺和三角板画平行线
C．用直尺画一工件边缘的垂线
D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段。
[提高训练] 已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有一边等于b。
提问：同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角形呢？你从中可以感悟到什么？
a
b
A
B
C
α
a
b
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５.２图形的全等
教学目标：借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程，了解图形全等的意义，了解全等图形的特征。
课前预习：
1、 全等图形的定义：
2、 全等图形的性质：
3、下面描述“全等形”的三种不同说法，哪种是恰当的？
①形状相同的两个图形叫全等形， ②大小相同的两个图形叫全等形
③能够完全重合的两个图形叫全等形
4、 找找看：
典型例题
例1、如图所示是两个全等的五边形，则a= ,
b= ,c= ,d= ,e= ,
随堂练习
1、把五边形ABCDE平移得到五边形，则AB A＇B＇,∠E ∠E＇
例2、把大小4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如,图1,请在图2中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.
随堂练习：
2、把图中右边的L型纸片分成四个和左边L型纸片全等的图形
当堂测评
一、判断题
1.两个形状相同的图形，称为全等图形.（ ） 2.两个圆是全等图形.（ ）
3.两个正方形是全等图形.（ ） 4.全等图形的形状和大小都相同.（ ）
5.面积相同的两个直角三角形是全等图形.（ ）
二、选择题
6.下列图形能分成两个全等图形的是（ ）
7.不能把一个圆分成下列全等图形个数的是（ ）
A.3 B.5 C.6 D.7
8.下面是网球场地，A、B、C、D、E、F几个区域中，其中全等图形的对数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9.请将如图所示的等边三角形分成两个全等图形,你还能将它分成三个、四个、六个全等的图形吗 请试一试.
提高训练
10、给你两块全等的含30°角的三角板,如图,展开你的想像力,
你能拼成哪些不同的几何图形
11.如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b), 能否把余下部分剪拼成一个长方形 若能,则剪拼;若不能,说明为什么
⑴
⑵、下面图形中哪些是全等图形
5
8
11
a
b
β
10
12
e
d
c
1150
а
1、、
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网等腰三角形的性质
【学习目标】
(1)灵活运用等腰三角形的两个底角相等
(2) 灵活运用等腰三角形三线合一
(3) 灵活运用等边三角形每一个角都是60
【主体知识】
等腰三角形规范写法为：△ABC中，AB=AC
已知：如图，△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．
定理 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
符号书写： ∵在△ABC中，AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角)
等腰三角形顶角和底角的关系 △ABC中AB=AC，则∠A=180°—2∠B=180°—2∠C．
例1：如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，求∠B，∠C的度数。
(1)等腰直角三角形的每一个锐角都等于多少度
(2)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角为多少度
(3)若等腰三角形的一个底角为 40°,则它的顶角为多少度
(4)若等腰三角形的一个内角为 40°,则它的其余各角为多少度
(5) 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的其余各角为多少度
(6)等边三角形的三个内角有什么关系 各等于多少度
推论2：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.
推论2的应用书写：
∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C＝60 .
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边，并且垂直于底边.
“三线合一”性质 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论1的应用书写：
（1）∵AB=AC,∠1=∠2 （2）∵AB=AC，BD=DC
∴BD=DC，AD⊥BC. ∴∠1=∠2, AD⊥BC.
（3）∵AB=AC, AD⊥BC
∴∠1=∠2,BD=DC.
练习填空：在△ABC中
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠＿=∠＿，＿=＿；
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠＿=∠＿，＿⊥＿；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴＿⊥＿，＿=＿。
例2：已知：如图，房屋的顶角 ∠BAC=100°。求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
练习：在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，∠B=40°，求∠BAD的度数。
【当堂测评】
1、关于等腰三角形的角：
①在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B= ，∠C= 。
②在等腰△ABC中，∠A=100°，则∠B= ，∠C= 。
③在等腰△ABC中，∠A=40°，则∠B= 。
2、关于等腰三角形的边：
①在等腰△ABC中，AB=3，AC=4，则△ABC的周长为 。
②在等腰△ABC中，AB=3，AC=7，则△ABC的周长为 。
3如图，D、E在BC上，AB=AC，AD=AE，则BD与CE相等吗？请说明理由。
【提高训练】
如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，AO的延长线交BC于点D，试说明AD⊥BC，BD=CD。
等腰三角形的判定
【教学目标】（1）等腰三角形的判定
（2）三个角相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
（4）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
【教学难点】性质与判定的区别
【教学过程】
已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
书写表达为： ∵△ABC中，∠B=∠C
∴AB=AC(等角对等边)
注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．
( 2)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
2．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：∠A=∠B=∠C。求证：△ABC是等边三角形
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
已知：△ABC，AB=AC, ∠A=60°求证：△ABC是等边三角形
例1：已知：∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
练习.已知：如图，AB=AD，∠B=∠D。求证：CB=CD．
3直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
已知：Rt△ABC中，∠B=90°,∠A=30°求证：BC= AC
例2:如图，在△ABC中，∠B=90°，AC=DC，∠D=15°，AB=18cm，则CD的长为
练习：如果直角三角形的一个锐角为30°，而斜边与较短的直角边之和为18cm，那么斜边长为多少？
【当堂测评】
1.等腰三角形判定定理是证明 相等的重要定理之一.
2内角都相等的三角形是 三角形，每个内角都等于 .
3三角形一个外角平分线平行三角形一边，则这个三角形是 .
3．等腰三角形的一腰长为3a，底角为15°，则另一腰上的高为（ ）．
A．a B．a C．2a D．3a
4．如图,△ABC中AB=AC，∠A=36°,BD、CE为角平分线，交于O，则图中等腰三角形共有( )
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
5已知：如图△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于H。
求证：HB=HC。
【能力提高】已知，在 中， 的平线与 的外角平分线交于D，过D作DE//BC交AC与F，交AB于E，求证：EF=BE-CF.
C
C
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A
A
B
A
B
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D
E
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C
B
A
D
O
C
B
A
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