2024-2025学年北师大版数学七年级下册期中试卷（考试范围：第1~3章 ）（含解析）

2024-2025学年数学七年级下册期中试卷（考试范围：第1~3章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若，，则的值为（ ）
A．11 B．10 C． D．
2．在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3.某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下．根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与的比值 0.93 0.89 0.92 0.91 0.90 0.92 0.92 0.92 0.92
A．0.90 B．0.91 C．0.92 D．0.93
4.已知a，b，c满足，，，则的值为（ ）
A．5 B． C．6 D．
5．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为（ ）时，与平行．（ ）
A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒
6．设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．如图，，，，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
8.某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）

A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃
C．一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球
D．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5
9．如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（ ）
A． B． C． D．
10．如图1是宽为，长为的小长方形纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积）分别表示为，若，且为定值，则满足的数量关系（ ）

A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知，m，n为正整数，则的值为 （用含有a、b的式子表示）．
12．一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色．
13．已知，，．求的值为 ．
14．有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为 ．
15．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数是 ．
16．（如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ．

三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)写出，，之间的数量关系．
18．（6分）某批乒乓球的质量检验结果如下表：
抽取的乒 乓球数
优等品的 个数
优等品的 频率
(1)填写表中的空格；
(2)这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？（结果保留小数点后一位）
19．（8分）（1）已知实数，满足，，求的值；
（2）已知实数，满足，，求的值．
20．（8分）已知：如图，直线与直线交点O，，平分．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数．
21．（10分）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
(1)【观察】 _____；
_____；
_____；……
(2)【猜想】由此可得：__________；
(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值．
22．（10分）【概念学习】
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
【特例感知】
代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
(1)下列代数式中是对称式的有______（填序号）；
①
②
③
④
(2)若关于，的代数式为对称式，则的值为______；
(3)在（2）的条件下，已知上述对称式，且，求的值．
23．（12分）（1）探究：观察图①，图形的面积能说明的乘法公式是_________________________．
（2）运用：观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积____________．
若x满足，求的值．
（3）拓展：如图③，某学校有一块梯形空地于点．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，求种草区域的面积．
24．（12分）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ；
【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题：
已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明，由垂线的性质容易得出答案．
【详解】解：
，
，即，
．
，
，
，
．
故答案为：A．
3.C
【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题关键．直接根据利用频率估计概率求解即可得．
【详解】解：由表格可知，经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数的比值稳定在附近，
所以该区初中生体质健康合格的概率为，
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是根据完全平方公式将代数式转化为偶次方的和的形式，求出，，的值，将题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所求式子的值．
【详解】解： ，，，
，
，
，
，
，，，
解得，，，，
故选：．
5．D
【分析】分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
∵，，
∴，，
要使，则，
即，
解得；
此时，
∴；
②旋转到与都在的右侧时，
∵，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
∴；
③旋转到与都在的左侧时，
∴，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
而，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行．
故选：D．
6．B
【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案．
【详解】解：由题意知，是100的倍数
∵与100互质
∴是100的倍数
∴的末尾数字是01
∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数，
设：（t为正整数）
则：
∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01
∴t的最小值为5，
∴的最小值为10
故答案为：B
7．D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，首先过点作，过点作，根据平行线的性质可证，根据，，可得，，再根据两直线平行内错角相等可得，，从而可得．
【详解】解：如下图所示，过点作，过点作，
，
，，
，，
，
又，，
，，
，
，
，，
，
．
故选：D．
8.D
【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，错误，不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃的概率是：，错误，不符合题意；
C、一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球的概率为，错误，不符合题意；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，正确，符合题意．
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，再求出，根据垂直的定义可得，从而可得，最后根据对顶角相等即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
故选：B．
10．D
【分析】根据题意得出两块阴影部分的长和宽，再根据长方形面积公式得出S的表达式，根据S为定值，得出S的值与x无关，即可得出结论．
【详解】解：设，
由图可知，上面阴影部分长为，宽为，
下面阴影部分长为，宽为，
∴，
∵S为定值，
∴S的值与x无关，
∴，则，
故选：D．
二．填空题
11．
【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则的逆耳用是解题的关键．
直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则以及它们运算法则的逆用计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴．
故答案为：．
12．4
【分析】本题考查可能性，可能性的大小与数量的多少有关，要黄色朝上的次数最多，所以涂黄色面最多；红色和绿色朝上的次数一样多，所以涂红色和绿色的面一样多，据此解答即可．
【详解】解：一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多．
如果每种颜色朝上的数量都一样多，则红、黄、绿各涂2个面，
但现在黄色朝上的次数最多，而红色和绿色朝上的次数要一样多，
因此只能是红色、绿色各1个面，黄色涂4个面．
故答案为：4．
13．
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得是解题的关键．
根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得即可求解．
【详解】解：已知，，，
∵
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据题目中的数据，设大长方形的短边长为d，用含a，b，c，d的式子表示出，，，，代入即可求解．
【详解】解：设大长方形的短边长为d，
∴由图2知，，
∴，
，
，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
故答案为：．
15．24°
【分析】先根据平行线的性质，设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得a的值．
【详解】∵，
∴设∠DEF＝∠EFB＝a，
图2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2a，
图3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2a﹣a＝108°．
解得a＝24°．
即∠DEF＝24°，
故答案为：24°．
16．
【分析】过点作，根据平行线性质推出，，所以，由平分，平分，，进而得到，再由三角形内角和即可求出的度数．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴．
（3）解：∵，
又，
∴，
∴．
18.（1）解：，，；
（2）由表中数据可判断优等品频率在左右摆动，于是利于频率估计概率可得这批乒乓球优等品概率的估计值是．
19．解：（1） ，，
，
，
．
（2） ，
，
，
．
，
．
20．（1） ，
平分，
，
，
，
，
平分．
（2）平分，平分，
，
，
，
，
，
由（1）知
，
∴．
21．（1）解：；
；
，
故答案为：；；；
（2）解：（1）总结得到，，
故答案为：；
（3）解： 设，
根据
则，
∴．
22．（1）解：①，
∵，
∴是对称式；
②，
∵，
∴是对称式；
③，
∵，
∴不是对称式；
④，
∵，
∴是对称式；
综上所述：对称式有①②④，
故答案为：①②④；
（2）解：∵是对称式，
∴，，
即，
解得：，
故答案为：；
（3）解：由（2）得，即可化简为：，
即，
∵，
∴，
∴，
解得：
23．解：（1）大正方形的边长为，因此大正方形的面积为．组成大正方形的四个部分的面积分别为、、、，
由面积之间的关系可得，．
故答案为：；
（2）由（1）知大正方形的面积为，
∴图中阴影部分的面积
，
的值是5；
（3），
，
∴种花区域的面积为，
，
，
，
，
，
又
，
．
∴种草区域的面积为．
24．问题提出：
（1）猜想：，
证明：过E点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）如图2，作，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵和的平分线相交于F，
∴，，
∴，
∴；
类比迁移：
．理由如下：
如图3，过E作，过G作，
∵，
∴，
∴，，，
∵平分与的平分线相交于点G，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
变式挑战：
，理由如下：
如图4，延长，，交于点P，
过M作射线，过E作，过P作，过N作，
∴，，，
∴，
同理得，
∴，
∵同时平分和，
∴，，
∴，
即．
故答案为：．