2024-2025学年宁夏银川二十四中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年宁夏银川二十四中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知角，且，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，，当时，为( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
5.已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.若单位向量满足，则的夹角为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数其中若，在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法错误的是( )
A. 若是共线的单位向量，则
B. 若，则
C. 若，则不是共线向量
D. 若，则一定存在实数，使得
10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色已知摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有个座舱，转一周需要游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，后距离地面的高度为单位：，下述结论正确的是( )
A.
B. 甲进舱分钟后距离地面的高度是
C. 在运行一周的过程中，的时间超过
D. 游客乙在甲后的第个座舱进舱，乙进舱后内，存在某一时刻甲、乙距离地面高度相等
11.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上的取值范围为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，正六边形中，化简 ______．
13.已知向量满足，则 ______．
14.如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设是不共线的两个非零向量．
若，求证：，，三点共线；
若与共线，求实数的值．
16.本小题分
已知、均为锐角，，，求，的值；
化简：．
17.本小题分
已知点和向量．
若向量与向量同向，且，求点的坐标；
若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
18.本小题分
在长方形中，，，分别是线段，的中点，是长方形含边界内一点．
求；
求的值；
求的取值范围．
19.本小题分
已知向量，，，函数，且的最小正周期为．
若，求满足条件的的集合；
求的值域；
将的图象先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值．
参考答案
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15.证明：由，
得，，
则，所以，且有公共点，
所以，，三点共线；
解：由题意，与共线，
则存在实数，使得，
即，
又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，
故实数的值是．
16.解：因为、均为锐角，所以，
由，得，
由，得，
所以
；
．
17.解：已知点和向量．
设，
则，
因为向量与向量同向，且，
所以且，
即，
即或，
所以或，
当时，，此时向量与向量反向，不符合；
当时，，此时向量与向量同向，符合，
故，
所以．
若向量，则，
因为向量与的夹角是锐角，
所以，
又，
即，
所以实数的取值范围为．
18.解：在长方形中，，，
以点为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，
则，，，所以，
所以；
由平面向量数量积的坐标运算可得，
故；
设点，则，，则，，
所以，，
因为，，则，则，
所以，，即的取值范围是．
19.解：因为向量，
函数
，
由于函数的最小正周期为，则，
可得，即，
因为，则，可得，
所以，或，
解得或，
所以，若，满足条件的的集合为或，；
由可知，函数的最大值为，
最小值为，
所以，函数的值域为；
将的图象先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，
可得出函数的图象，
最后将所得图象上每点的横坐标变为原来的两倍，可得出函数，
又因为函数的图象与函数的图象重合，
则，可得，
因为，故当时，取最小值．
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