2024-2025学年福建省厦门市厦门大学科技中学高二（下）段考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年福建省厦门大学科技中学高二（下）3月段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线的焦距为，则( )
A. B. C. D.
2.某公交车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.已知函数的定义域为，其导函数为，的部分图象如图所示，则( )
A. 在上单调递增 B. 的最大值为
C. 的一个极大值为 D. 的一个减区间为
4.已知等比数列的前项和为，若公比，，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上无极值，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.如图，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间单位：的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若不等式的解集中佮有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线过点，且直线与圆：相切，则直线的方程可能是( )
A. B.
C. D.
10.对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若函数，则下列说法正确的是( )
A. 的极大值为
B. 有且仅有个零点
C. 点是的对称中心
D.
11.已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数在处存在导数为，则 ______．
13.如图为我国数学家赵爽约世纪初在为周髀算经作注时验证勾股定理的
示意图，现在提供种颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，
相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______．
14.已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数在处取得极大值．
求的值；
求在区间上的最大值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，点满足．
若平面，求的值；
若，求平面与平面所成的二面角的正弦值．
18.本小题分
已知动点其中到定点的距离比点到轴的距离大．
求点的轨迹的方程；
过椭圆：的右顶点作直线交曲线于、两点，其中为坐标原点．
求证：；
设、分别与椭圆相交于点、，证明：原点到直线的距离为定值．
19.本小题分
已知函数，其中．
讨论的单调性；
当时，证明：；
求证：对任意的且，都有：．
其中为自然对数的底数．
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，
由题意知，，，
即，化简得．
所以数列的通项公式．
令，
则 ，
，
．
．
16.解：易知的定义域为，
可得，
令，
解得或，
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，不符合题意；
当，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
则；
由得，
可得，
此时在，上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极大值，极大值，
又，
因为．
所以在区间上的最大值为．
17.解：延长，交于，由，，，
可知：，
又因为平面，平面，且平面平面，
所以，即，
所以，
故；
由，，又由底面，
则以为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，
则有，
又因为，
所以，
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，，则，
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，，则，
所以有，
此时平面与平面所成的二面角的正弦值为．
18.解：设，
由题意，，
两边平方得，
所以，所求点的轨迹方程为：．
证明：设过椭圆的右顶点的直线的方程为，
代入椭圆的方程，
得，
设，，
得，
所以，
所以，
证明：设，，
直线的方程为，代入椭圆的方程，
得，
所以，，
从而
，
因为，所以，
代入整理得，
所以原点到直线的距离，为定值．
19.解：函数 的定义域为，
当时，，所以在上单调递增
当时，令，解得．
当时，，所以，所以在上单调递减；
当时，，所以，所以在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
当时，，要证明，
即证，即即．
设则，令得，．
当时，，当时，所以为极大值点，也为最大值点
所以，即故．
证明：由，当且仅当时等号成立令，则 ，
所以 ，
即，所以
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