2024-2025学年山东省济南市高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省济南市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则( )
A. B.
C. D.
3.若圆锥的轴截面过圆锥轴的一个截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.在中，，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知复数的实部大于等于，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的底面边长为，高为，则其内切球半径是( )
A. B. C. D.
8.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，则该坐标系中和两点间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列命题一定成立的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
10.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 对任意，都有
11.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为的正方体中，，，，，过三点可做一截面，类似地，可做个形状完全相同的截面关于该几何体，下列说法正确的是( )
A. 当时，该几何体是一个半正多面体
B. 若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为
C. 若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为
D. 该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，为实数，且，虚数为方程的一个根，则的值为______．
13.如图所示，，，，为空间四点，在中，，，等边三角形以所在直线为轴旋转，当平面平面时， ______．
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧劣弧沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心即三角形三条高线的交点如图，已知锐角外接圆的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点若，则 ______；若：：：：，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为海里，与小岛相距为海里为钝角，且．
求小岛与小岛之间的距离；
已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，所有棱长均为，是的中点．
求证：平面；
求异面直线与所成角的正弦值．
17.本小题分
在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且．
求角；
若，求周长的取值范围．
18.本小题分
如图，圆的半径为，其中，为圆上两点．
若，当为何值时，与垂直？
若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，求最小值．
若的最小值为，求的值．
19.本小题分
如图，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：．
如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，求二面角平面角的正弦值；
如图，在三棱锥中，平面，，连接，，，，，，求三棱锥体积的最大值；
当时，请在图的基础上，试证明三面角余弦定理．
参考答案
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14. ；
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16.证明：连接交于，
在直三棱柱中，所有棱长均为，
因此四边形是正方形，所以是的中点，而是的中点，
因此有，而平面，平面，
所以平面；
解：由可知：，
因此异面直线与所成角为或其补角，
因为是正方形，所以，
在直三棱柱中，所有棱长均为，
因此四边形是正方形，因此有，
在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
因此有，
由余弦定理可知：，
因此．
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18.
19.解：取的中点，连接，，如图所示，
则，，于是是二面角的平面角，
设，则，
由余弦定理得，
故．
二面角的平面角的大小为，
利用三面角余弦定理得，
计算得，
于是，
由于，则，
，
即当时，三棱锥体积的最大值为．
证明：如图过射线上一点在面作交于点，
在面内作交于点，连接，
则是二面角的平面角，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
两式相减得：，
则，
两边同除以，得：
，
从而得证．
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