2024-2025学年福建省厦门三中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年福建省厦门三中高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.质点的运动方程为 ，则在时间段内的平均速度为( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
3.设是数列的前项和，已知且，则( )
A. B. C. D.
4.现有人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，这样的排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
6.已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于( )
A. B. C. D.
8.已知点是曲线上任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，点是曲线上任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则下列结论正确的是( )
A. 向量与向量的夹角为
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量与向量，共面
10.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到，，，，五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有( )
A. 如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有种
B. 如果同学甲必须选择社区，则不同的安排方法有种
C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有种
D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有种
11.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，不过原点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，则下列结论正确的有( )
A. 椭圆的离心率为
B. 椭圆的长轴长为
C. 若点是线段的中点，则的斜率为
D. 的面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间是_________．
13.曲线上的点到直线的最短距离是______．
14.已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行．
求的解析式；
求函数在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，，，．
求数列和的通项公式；
若，设数列的前项和为，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若，求的取值范围．
19.本小题分
已知圆：，点，点在圆上运动的垂直平分线交于点．
求动点的轨迹的方程；
过点的动直线交曲线于、两点，证明：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求出的坐标．
参考答案
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12.，
13.
14.
15.解：由，可得，
所以由题意得，即，解得，，
所以．
由题意可知，
所以，
令，解得，，
列表有
递增 极大值 递减 极小值 递增
由上可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以最小值为，最大值为．
16.解：设公差为的等差数列前项和为，数列是以公比为的等比数列，，，，，
所以，解得；
故，．
由得：，整理得；
所以，
令，；
，；
得：，
整理得，
故，
整理得．
17.Ⅰ证明：连接，交于，连接，
底面为矩形，为的中点，
又是的中点，则，
平面，平面，
平面；
Ⅱ解：以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
平面的一个法向量为，
平面与平面夹角的余弦值为；
Ⅲ解：设，，，，
，
，
设直线与平面所成的角为，
，，
化简得，解得或，
，或．
18.解：因为的定义域为，
可得．
当时，，在上单调递减；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
若，
即，
设，函数定义域为，
此时，
所以，
因为，
所以在上单调递增，
则，
即．
设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
则．
故的取值范围为．
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