2024-2025学年广东省广州市南武中学高二（下）月考数学试卷（一）（3月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州市南武中学高二（下）3月月考
数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个等比数列前项的和为，前项的和为，则前项的和为( )
A. B. C. D.
2.曲线：在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线设原正三角形图的边长为，把图，图，图，图中图形的周长依次记为，，，，则( )
A. B. C. D.
4.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. B. C. D.
5.若函数在上可导，且，则( )
A. B. C. D.
6.在中，是以为第三项，为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是( )
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 以上都不对
7.数列中，，且，则数列前项和为( )
A. B. C. D.
8.若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导结果错误的是( )
A. B.
C. D.
10.在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
11.等差数列的前项和为，若，公差，则下列命题正确的是( )
A. 若，则必有 B. 若，则必有是中最大的项
C. 若，则必有 D. 若，则必有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的极大值为______．
13.已知等差数列中，，且，则为______．
14.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：个空心圆点到下一行仅生长出个实心圆点，个实心圆点到下一行生长出个实心圆点和个空心圆点．则第行的实心圆点的个数是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设数列的前项和为，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求的单调区间．
17.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列．
若，求满足条件的最大整数．
18.本小题分
已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若数列是等差数列，且，．
求证：数列是等差数列；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数，．
若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间；
已知，当，试比较与的大小，并给予证明．
参考答案
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15.解：数列的前项和为，．
当时，
解得：，
当时，
得：，
所以：常数，
故：数列是以为首项，为公比的等比数列．
则：首项符合通项，
所以：．
由于：，
则：．
所以：，
则：，
故：．
16.解：Ⅰ时，，
，
则，，
曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ，
由，得，，
当时，在或时，
在时，
的单调增区间是和，单调减区间是；
当时，在时，
的单调增区间是．
当时，在或时，
在时．
的单调增区间是和，单调减区间是．
17.证明：由，得，
则，又，，
数列是以为首项，以为公比的等比数列；
解：由可得，，
，
则
．
由，得，
即，
为单调增函数，满足的最大正整数为．
即满足条件的最大整数．
18.解：证明：因为数列是等差数列，且，
所以，
所以的首项为，公差为，
所以，所以，
当时，，
所以常数，
所以数列是以为公差的等差数列．
由知数列是以为公差的等差数列，
因为，所以公差为，
所以，
由，所以，
所以，
，
所以，
即，
化简可得，
所以．
19.解：由题意得，
是的极值点，
，解得，
，
又，
曲线在点处的切线方程为，即．
由题意得定义域为，，
当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，由得，
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为；
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
判断：．
证明：令，
则，
令，则，
函数在上单调递增，
又，，存在唯一零点，使得，
当时，；当时，；
即当时，；当时，；
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，即，
又，即，
，
，
在上恒成立．
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