2024-2025学年北京五十五中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年北京五十五中高二（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.与向量平行的一个向量的坐标是( )
A. B. C. D.
4.若函数，则的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知棱长为的正方体，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为( )
A. B. C. D.
7.设，，，其中为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
8.如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是( )
A. 有极小值点，没有极大值点
B. 有极大值点，没有极小值点
C. 至少有两个极小值点和一个极大值点
D. 至少有一个极小值点和两个极大值点
9.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
10.已知函数若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．
12.函数，则 ______．
13.已知在上不是单调增函数，那么实数的取值范围是______．
14.已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间是______．
15.我们把分子，分母同时趋近于的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在早在年，洛必达在他的著作无限小分析一书中创造一种算法洛必达法则，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：，则 ______．
16.已知函数，下列命题正确的有 写出所有正确命题的编号
是奇函数；
在上是单调递增函数；
方程有且仅有个实数根；
如果对任意，都有，那么的最大值为．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求函数的极值．
18.本小题分
在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，，是棱的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面夹角的正弦值；
Ⅲ求点到平面的距离；
19.本小题分
已知函数，其中为常数，且．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求函数的单调区间；
Ⅲ若函数在上单调递减，请直接写出一个满足条件的值．
20.本小题分
已知椭圆：过点，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．
求椭圆的方程；
若直线：与椭圆交于，两点，线段的中点为，在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”．
若函数是二次函数，证明：是“等差函数”．
判断函数是否为“等差函数”，并说明理由．
判断函数是否为“等比函数”，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：函数的定义域为，导函数，
令，解得，
则，随的变化情况如下表：
取极大值 取极小值
故函数的单调增区间为和，单调减区间为；
由知，当时，函数取得极大值；
当时，函数取得极小值．
18.解：Ⅰ证明：连接交于点，因为，分别为，的中点，所以，
又平面，平面，
则平面；
Ⅱ直线平面，平面，
所以，且，，
则以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由，得，
令，得，且，
所以，
直线与平面夹角的正弦值为；
Ⅲ因为，
且平面的法向量为，
则点到平面的距离．
19.解：Ⅰ当时，函数，
令，得，即切点坐标为，
，则，即切线斜率，
故切线方程为，即．
Ⅱ函数的定义域为，，
当时，恒成立，故函数的单调增区间为．
当时，令，解得，
当，单调递增，
当，单调递减，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．
Ⅲ．
由Ⅱ可知且，解得，故均为正确答案．
20.解：由题知，椭圆过点和，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为；
假设在轴上存在定点，使得恒成立，
设，，，
由，得，
，
，，
，，，
点在以为直径的圆上，则，
，，
，
恒成立，
，解得，
存在定点，使得恒成立．
21.解：证明：因为函数是二次函数，
所以设，
设，，是曲线上三个不同的点，
则直线的斜率：，
又，所以，
根据题意可得，
所以，
则，
即，，成等差数列，
所以是“等差函数”；
假设函数为“等差函数”，
因为，且，，成等差数列，
所以，
直线的斜率，
因为，所以，
又，所以，
令，即，
令，
则．
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以当时，，
即无解，
所以函数不是“等差函数”；
假设函数为“等比函数”，
因为，且，，成等比数列，
设公比为，所以，，
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率：
，
由，整理得．
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以在时无实数解，
所以函数不是“等比函数”．
第1页，共1页