2024-2025学年重庆市巴蜀中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市巴蜀中学高二（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线与圆相交于，两点，当的面积最大时，的值是( )
A. B. C. D.
5.在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为，，其中为显性基因，为隐形基因，生物学中将和统一记为，且这三种基因型的比为：：如果在子二代中任意选取株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知高为的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的倍，则该圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：的焦点为，，为抛物线上的两点，满足，线段的中点为，到抛物线的准线的距离为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知对任意的正数，不等式恒成立，则正数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数满足，则( )
A. B. 为纯虚数 C. D.
10.定义在上的函数满足，，且的图象关于直线对称，设，则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 的图象关于点中心对称 D.
11.数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们之和为奇数的概率为，数列的前项积为，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中系数最大的项为______．
13.已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，上顶点为，且内切圆的半径为，则椭圆的方程为______．
14.设函数在内有且只有两个极值点，且对任意实数、在上存在零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为，且满足．
求角的大小；
若，求的周长．
16.本小题分
如图所示，在正三棱柱中，．
证明：；
点在棱上且满足，求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
17.本小题分
甲、乙两名同学参加科技周活动，该活动需要依次参加，两个闯关环节，闯关规则如下：，两个环节共有次闯关机会，为了累计奖金最高，甲、乙两人都将次机会全部用完；某同学参加环节或环节闯关，无论闯关结果是成功还是失败都视为已使用了一次闯关机会．
若环节闯关成功即进入环节；若环节闯关失败，那么继续重复环节，直到次机会用完；若进入环节后，无论闯关成功还是失败，一直都重复环节，直到次机会全部用完．
参加环节，闯关成功可以获得奖金元；参加环节，每次闯关成功可以获得奖金元；不管参加哪一个环节，闯关失败均无奖金．
已知甲同学参加每一个环节闯关成功的概率都是；乙同学参加环节闯关成功的概率是，参加环节闯关成功的概率是，甲、乙同学每次参加各个环节闯关是否成功是相互独立的．
已知甲同学环节闯关成功多次闯关中只要有一次成功即视为闯关成功，求他参加了两次环节闯关的概率；
活动结束时乙同学获得的奖金为元，求的分布列和期望．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性；
若函数在上的最大值为，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线的离心率为，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为．
求双曲线的方程；
设，若点在双曲线上，在点处的切线与两条渐近线分别交于，两点，是坐标原点，且．
证明数列是等差数列，并求通项公式；
设数列的前项和为．
求证：对．
其中表示不超过的最大整数，例如，，
参考答案
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19.解：由双曲线的离心率为，
可得，
又其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 ，
则，又，
所以，，故双曲线的方程为．
证明：因为点在双曲线上，
则．
因，则在第一象限，
则此时点满足方程：，
则，故点对应切线斜率为：
．
则切线方程为：．
与渐近线联立，可得，同理可得．
则，
又，
则，
又，则，
故数列 是以为首项，公差为的等差数列，则；
由可得，则．
则，
注意到
，
又，则；
另一方面，．
注意到，时，，则．
则
，又，
则．
下面证明：，
注意到，
则要证，即证，
注意到，
则证明．
令，因，则，则对于函数．
有，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，所以当时，．
则．
最后由不等式同向可加性可得：
又注意到，则，
则．
则
．
综上，．
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