2024-2025学年福建省福州市福清一中高二（下）段考数学试卷（三）（含答案）

2024-2025学年福建省福州市福清一中高二（下）段考数学试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
2.若奇函数的定义域为，在上的图象如图所示，则不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
3.某班有名学生准备参加校运会的米、米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报人，则这名学生的参赛的不同方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知函数和在区间上的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. 在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率
B. 在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率
C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率
D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率
5.在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁．如图，已知矩形的宽为，高为，且梁的抗弯强度，则当梁的抗弯强度最大时，矩形的宽的值为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数的定义域为，其导函数是，有，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知实数，，，且，，，则( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数有最小值的为( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，在单调递增
B. 当时，在处的切线方程为
C. 当时，在上至少有一个零点
D. 当时，在上不单调
11.已知函数有两个极值点，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 曲线在点处的切线可能与直线垂直
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.已知函数的导函数为，且满足，则 ______．
13.已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数的取值范围是 ．
14.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，，若，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若函数在上单调递增，求的最小值；
若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
讨论的单调区间；
若在区间上存在唯一零点，证明：．
参考答案
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15.解：由题可得，
，
因为函数在上单调递增，
所以在恒成立，
即在恒成立，
解得，
的最小值为；
由题可得与有且只有一个交点，
即只有一个根，
只有一个根，
令，所以的图象与的图象只有一个交点，
，令，解得或，
令，解得，
所以在，上单调递增，上单调递减，的图象如下所示：
，，
又的图象与的图象只有一个交点，
所以或，
的取值范围为．
16.解：由题意可知：的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，令，解得；令，解得；
可知的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，的单调递增区间为，单调递减区间为．
证明：因为在区间上存在唯一零点，
所以存在唯一的，有，化简得，
若要证明，则只需，即只需，
不妨设，，求导得，，
令，，继续求导得，，
所以当时，单调递增，
所以，
所以当时，单调递增，
所以，
即当时，有不等式成立，
综上所述：若在区间上存在唯一零点，则．
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