2024-2025学年四川省广安友谊中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省广安友谊中学高一下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，正确的是( )
A. 若与都是单位向量，则
B. 若与是平行向量，则
C. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
D. 若，则
2.( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
4.在中，若点满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，且，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.数学里有一种证明方法叫做，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是( )
A. B.
C. D.
8.已知，记，，，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面给出的关系式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是( )
A. 在区间上有且仅有个不同的零点
B. 的最小正周期可能是
C. 的取值范围是
D. 在区间上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简： ．
13.求值： ．
14.如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接平行四边形，使点在上，点在上，则该平行四边形面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，且与的夹角为，求：
；
若向量与平行，求实数的值．
16.本小题分
已知，，，，
求的值；
求角的值．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调减区间；
将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
，若对，，使得，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求方程在上的解集；
设函数；
证明：在有且只有一个零点；
在的条件下，记函数的零点为，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.，
所以．
由于向量与平行，
所以存在实数，使得，
所以，解得．
16.由得，因，则；
又由知，因，
则，
由
，
又因，故

17.函数，
当，时，解得：，，
因此，函数的单调减区间为．
将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，
再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，
由，即，得，，
解得，令，可得，
令，可得，
又，所以，
即当时，不等式的解集为．
18.由图可得，函数的最小正周期为，
则，于是，
当时，取得最小值，则得，
所以，又因为，故；．
设的值域为集合，的值域为集合，
根据题意可得：，，，
，即的值域为，故．
又，在上恒成立，
易知在上单调递减，，，
，
由得，
解得， 的取值范围是．
19.
所以．
所以或
当时，，则，又，所以或，
当，则，又．
所以或，所以或，
所以方程在上的解集为．
设．
当，则
此时在区间上单调递增，
又在区间上也单调递增，所以在区间上单调递增，
又
所以在时有唯一零点，
当，所以，
所以在上没有零点，
综上，在有唯一零点．
记函数的零点为，
所以，且，所以，
所以，
令，因为，所以，
又，则，
所以．

第1页，共1页