2024-2025学年四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)高一下学期第一次月考考试（3月）数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都市第十二中学高一下学期第一次月考考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与角终边相同的角的集合是( )
A. B.
C. D.
2.计算的值等于( )
A. B. C. D.
3.已知是第二象限角且，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知点在角的终边上，若，则( )
A. B. 为第二象限的角 C. D.
5.在斜三角形中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示已知某勒洛三角形的周长是，则该勒洛三角形的面积是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，两动点在以坐标原点为圆心，半径为的圆上从点处同时出发做匀速圆周运动．已知点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，且两点在第秒末第一次相遇于点处，则它们从出发后到第次相遇时，点走过的总路程为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若方程在的解为，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值为的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. 在上单调递增
B. 关于的方程在上有个相异实根
C. 的图象关于点对称
D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数
11.如图，角，的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点．为的中点，则下列说法中正确的是( )
A. 点的坐标为
B.
C.
D. 若的终边与单位圆交于点，分别过，，作轴的垂线，垂足为，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知，且，则 ．
14.正割及余割这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入．这两个符号是荷兰数学家基拉德在三角学中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称．
若点的纵坐标为，求的值；
若，求的最小值．
16.本小题分
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象某海滨浴场内水位单位：是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据：
经长期观察，的曲线可近似的满足函数．

根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式；
一般情况下，水深超过米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午：到晚上：，有多长时间可以开放？
17.本小题分
已知函数最小正周期为．
求的值和函数图象的对称中心；
将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围．
18.本小题分
近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设．
求扇形的面积；
若，求矩形的面积；
若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
19.本小题分
已知函数．
求方程在上的解集；
设函数．
求在区间上的零点个数；
记函数的零点为，证明：．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.因为点的纵坐标为，
所以又．
因为，
所以
因为，所以所以．
所以．
所以当时，取最小值为．
16.函数简图如下：

，
过点，
则，
的一个解析式可以为
由题意得：即，
或
解得或
又，解得
又
故开放时间共．
17.，
由的最小正周期为，得，故，所以，
令，得，故函数的对称中心为；
令，由，得，
在递减，在递增，所以，
又，所以有两个解时，．
18.由题意，，扇形半径即米，
则扇形的面积为平方米．
因为，在中，，，
在中，，则，
所以．
则矩形的面积．
所以当时，矩形的面积平方米．
在中，，，
在中，，则，
所以．
则矩形的面积
，
所以，其中．
由于，
则当时，即时，．
所以当时，取得最大值，最大值为．
19.由结合题意，，
即，则或．
当时，显然，可得，因，故或；
当时，，由，可得，
则或，解得或．
综上，方程在上的解集为．
由，
当时，，此时在上单调递增，
在上单调递增，故在上单调递增，
又，故在区间上有且只有个零点；
由题意，，且，则，
则，
设，因，则，故，
又，故，
故，
因，此时是增函数，故可得．

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