2024-2025学年山东省青岛第二中学高一下学期3月阶段练习数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省青岛第二中学高一下学期3月阶段练习
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
2.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是( )
A. B.
C. D.
3.已知向量满足，则在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
6.已知向量满足，则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
7.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的最小正周期为，则( )
A. 的最大值为
B. 在上单调递增
C. 点是的图象的对称中心
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
10.在中，，，则下列结论中正确的是( )
A. 若是的重心，则
B. 若是内的一点，满足，则
C. 若、为边上的两个动点，且；则的最小值为
D. 若是内部含边界一点，若，且，则的最大值是
11.函数定义域为，满足，且当时，，则下列说法正确的是( )
A. 与有无数个交点
B. 在区间上，总有三个零点
C. 恒成立
D. 的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.在中，，为线段上一点，且，则的最小值为 ．
14.已知正六边形边长为，点满足，当取最小值时，则 ．
四、解答题：本题共4小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
当且时，求；
当，求向量与的夹角．
16.本小题分
已知向量，函数．
求函数的最小正周期及函数图象的对称轴；
当，且时，求的值．
17.本小题分
经研究表明，同一地区在一天内的温度单位：随时间单位：变化的曲线接近于函数的函数图象根据历年气象台测量数据显示预测年月下旬某市区一天内的最高温度出现在，最高温度为；最低温度出现在，最低温度为．
根据以上信息，求出该市区一天内的气温与时间的函数关系式；
月日月日，某家居公司将举办家居博览会，展出时间为每天上午，下午，晚上根据公司规定当气温大于或等于时，会场内需开启空调制冷以保证产品质量在此条件下，博览会期间会场内的空调每天需要开启多长时间？
18.本小题分
已知是单位向量，记，其中．
当时，计算；
证明：对于，均存在，使得；
当时，求的最大值．
参考答案
1.
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4.
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7.
8.
9.
10.
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13.
14.
15.因为向量
则，，
又因为，则，
可得，解得或，
且，则，则，，
所以．
由，则，
由，可得，解得，即，
可得，，，
则，
且，所以向量与的夹角．
16.因为，
所以
，所以．
最小正周期为，令，得，
即图象的对称轴为．
由得，
因为，所以，所以；
．
17.振幅：最高与最低温差的一半，即．
平均值：最高与最低温度的平均值，即．
角频率：周期为小时，故．
相位：最高温度出现在，代入最大值条件
，结合得．
最终函数为：
温度 时需开启空调．
由函数可知，当
．
分析各展出时段与高温时段的交集：
上午：有效时间为，共小时．
下午：完全在高温时段内，共小时．
晚上：有效时间为，共小时．
总开启时间：小时．
18.因为，所以间的夹角为，
所以，
由题意，所以，
；，
所以．
证明：在单位圆上构造个单位向量，
使得每两个相邻向量之间的夹角均相同，
此时，所以，所以．
因为为单位向量，所以，所以的最大值为；
构造单位向量序列，其中，
，
，，
，
，
四组为一个周期，其和为，
所以．

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