2024-2025学年上海市青浦高级中学高一下学期3月质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市青浦高级中学高一下学期3月质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是第四象限角，，，则( )
A. B. C. D.
2.在中，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 无法判断
3.某参考书中有这样一道题：“中，与是方程的两积，对 ”对于这道题目，评价最恰当的是( )
A. 这道题将三角与一元二次方程相结合，考察了韦达定理的应用，是一道好题
B. 这道题先求出的值，再利用诱导公式求得的值，是一道好题
C. 通过计算，可得
D. 这道题数据有误，是一道错题
4.已知函数，，则下列说法正确的是( )
A. 与的定义域都是
B. 为奇函数，为偶函数
C. 的值域为，的值域为
D. 与都不是周期函数
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.函数的最小正周期是 ．
6.已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为 ．
7.已知锐角满足，则 ．
8.化简： ．
9.在中，若，，，则 用角度表示，精确到小数点后位
10.已知，且，则 ．
11.不等式的解集是 ．
12.已知，则 ．
13.将点绕着原点顺时针旋转得到，则的坐标是 ．
14.函数的最大值为 ．
15.已知，则 ．
16.计算： 填近似值不得分
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，求的值；
证明：．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最大值及的取值；
求函数的单调增区间．
19.本小题分
已知均为锐角，且．
求的值：
求的值．
20.本小题分
某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域阴影部分上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

求的值；
测得，观光通道每米的造价为元，若景区准备预算资金万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
21.本小题分
已知．
用表示的值；
用表示的值；
用反证法证明：是无理数．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.
16.
17.由，，则且，
由负值舍．
，得证．
18.由，
当，即时，．
令，则，
所以函数的单调递增区间为．
19.因为为锐角且，
所以，
因为，且，
所以
所以
，是锐角，则，
于是，
所以
所以．
20.解：由，
得，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
在中，由余弦定理得，
整理得，
解得舍去．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于观光通道每米的造价为元，所以总造价低于元，故预算资金够用．

21.由；
由，则；
假设为有理数，则也是有理数，
，
所以也为有理数，同理可得为有理数，
由也是有理数，而为无理数，
所以，与假设有矛盾，则是无理数．

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