2024-2025学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省聊城第一中学高一下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等于( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是( )
A. B. C. D.
3.函数是( )
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
4.，则( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
8.正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数相邻两个最高点之间的距离为，则以下正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增
10.一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时图中点位置开始计时，则下列判断正确的有( )
A. 点第一次到达最高点需要秒
B. 在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的上方
C. 当水轮转动秒时，点在水面上方，点距离水面米
D. 当水轮转动秒时，点在水面下方，点距离水面米
11.已知函数，下列说法正确的是 ．
A. 函数是奇函数 B. 函数的值域为
C. 函数是周期为的周期函数 D. 函数在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.已知函数在区间上单调递增，且直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，则实数的取值范围是 ．
14.已知，若互不相等的，使得，若的最大值为，最小值为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知求：
的值；
若，求角．
16.本小题分
已知，．
求的值；
求的值．
17.本小题分
某市某日气温是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据：
时
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数的图象．
根据以上数据，试求函数的表达式
大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据中所得模型，一个小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段用区间表示将该种商品放在室外销售？忽略商品搬运时间及其他非主要因素
18.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调递增区间；
若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
某高校专家楼前现有一块矩形草坪，已知草坪长米，宽米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路，和，并要求是的中点，点在边上，点在边上，且为直角，如图所示．
设弧度，试将三条路的全长即的周长表示成的函数，并求出此函数的定义域；
这三条路，每米铺设预算费用均为元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用结果保留整数可能用到的参考值：取，取
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以．
因为，所以，
又因为，所以，
故．
16.解：解：因为，所以，又，
，，
所以，解得，
解：
，
，，
，即，将两边平方得，
即，
．
．
17.解：解：由的图象，可得，解得，
又由，解得，所以，
因为时，可得，即，解得，
即，所以，
又因为，解得，所以．
解：令，即，可得，
解得，解得，
又因为，所以当时，可得，
所以一个小时营业的商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售．
18.解：依题意，，
所以函数最小正周期；
由，解得
所以的单调递增区间为．
当时，，则，
函数的值域为，方程，，
由方程在上有解，得，
所以实数的取值范围是．

19.解：解：在中，，，，
，
在中，，，，
，
又，
，
三条路的全长即的周长，
当点在点时，这时角最小，求得此时；
当点在点时，这时角最大，求得此时，
故此函数的定义域为；
解：由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可，
由得，，
设，则，
，
由，，
得，
从而，当，即时，，
所以当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．

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