2024-2025学年湘教版八年级（下）数学期末模拟试题2（含解析）

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2024-2025学年湘教版八年级（下）数学期末模拟试题2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．2，3，5 B．3，4，5 C．4，12，13 D．1，2，3
2．组成单词（数学）的字母中，既是中心对称又是轴对称图形的字母是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，平分，，则（　　）
A． B． C． D．
4．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当，平行四边形是矩形
B．当，平行四边形是矩形
C．当，平行四边形是菱形
D．当，平行四边形是正方形
5．已知点，点关于轴对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（ ）
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D．第30天的日销售利润是750元
9．中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生每天的书面作业时间不得超过90分钟．某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（ ）
A．调查的样本容量为70
B．频数分布直方图中完成作业时间在60～70分钟内的人数最多
C．若该校有1480名学生，则完成作业的时间不少于60分钟的约有560人
D．样本中学生完成作业时间少于50分钟的人数比不低于60分钟的人数多
10．如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为（　　）
A．2 B．1 C．4 D．
二、多选题
11．下列命题：①一个凸多边形的内角中最多有三个锐角；②十边形的对角线有条；③带根号的数都是无理数；④全等三角形的对应中线相等．其中，真命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
12．如图，已知在中，，点C，D，点在同一条直线上，连接，．以下四个选项正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
三、填空题
13．若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则它是 边形．
14．为了帮助班上的两名贫困学生解决经济困难，班上的20名学生捐出了零花钱，他们的捐款数（单位：元）如下：19，20，25，30，24，23，25，29，27，27，28，28，26，27，21，30，20，19，22，20．班主任老师准备将这组数据制成频数分布直方图，以表彰他们的爱心，制图时先计算最大值与最小值的差： ．若取组距为2，则应分成 组；若第一组的起点定为18.5，则在26.5～28.5范围内的频数为 ．
15．鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用来表示（表示码数，x表示厘米数）．小亮爸爸的皮鞋鞋底长26厘米，是 码；小亮买了一双36码的凉鞋，鞋底长 厘米．
16．如图，在中，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且．若分别是的中点，则的最小值为 ．

17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，E是边上一点．连接，将沿折叠，点刚好与边上点重合，则的长为 ．
18．如图，在矩形中，E，F是对角线上两点，连接，，添加下列条件之一：①；②；③；④；仍然不能判定的是 ．（填写序号）
四、解答题
19．如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，求的长．
20．学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．
(1)设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）；
(2)请你求出旗杆的高度．
21．如图，已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若为轴上一点，且的面积为6，求点的坐．
22．衡阳东洲岛旁“雁街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售，已知1000元采购A种的件数是450元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．
(1)求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
(2)若一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折，求让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
23．年泰州早茶文化节已落下帷幕．预计年全年将接待品尝早茶的市民、游客约1000万人次，拉动消费超亿元．早茶文化节期间对市民、游客“最喜欢的早茶品类”进行随机抽样调查（每人限选1项），将调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)本次调查的样本容量为______ ，并请补全条形统计图；
(2)请估计年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”的人次；
(3)泰州早茶“厨神”争霸赛按上述统计的四种品类及比例，准备了1000份早茶（每一份均为单一品类），游客小王随机领取一份，你认为游客小王领到哪种早茶品类的概率最大？
24．如图，是的高，E是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求线段和的长．
25．如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．
(1)求证： 四边形是菱形．
(2)过点作，垂足为点，若，，求四边形的面积．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，以点A为直角顶点构造等腰直角，点C在的左侧．

(1)已知点B是x轴正半轴上一点，若．
①求的长度；
②求经过点C的正比例函数解析式；
(2)当点B在x轴上运动时，连接，求的最小值．
参考答案
1．【考点】判断三边能否构成直角三角形、构成三角形的条件
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件，掌握勾股定理逆定理是解答本题的关键．分别利用构成三角形的条件和勾股定理逆定理判断即可．
解：A、，构成不了三角形，故不符合题意；
B、，能组成直角三角形，符合题意；
C、，不能组成直角三角形，不符合题意；
D、，构成不了三角形，故不符合题意；
故选：B．
2．【考点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
3．【考点】利用平行四边形的性质求解、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，根据平行四边形的性质，，，结合平分，解答即可，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
∵平行四边形中，平分，，
∴，，，
∴，
故选：D．
4．【考点】正方形的判定定理理解、证明四边形是菱形、证明四边形是矩形
【分析】本题考查了对矩形、菱形和正方形判断的应用，牢记四边形的判定定理是解题的关键.
解：∵四边形是平行四边形，
∴当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
5．【考点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查坐标与图形的变化—轴对称，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此解答即可．
解：点关于轴对称点的坐标是．
故选：C．
6．【考点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了函数自变量的范围，二次根式有意义额条件，掌握当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数是解题关键．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解：由题意可知，，
解得：，
故选：D．
7．【考点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，属于中考常考题型．根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答．
一次函数的图象过一、二、四象限，
，，
一次函数的图象过二、三、四象限，
，，
、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
8．【考点】其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息.由图①的信息可判断A；再求解一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式，计算当时，，可判断B；再求解当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系式：分别计算第12天与第30天的销售量与当天一件产品的销售利润，从而可判断C和D．
解：由图①中的信息可得：第24天的销售量为200件，故A不符合题意；
设当时，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为：
，
，
解得：，
，
当时，，
所以第10天销售一件产品的利润是15元，故B不符合题意；
当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系为：
，
，
解得：，
，
当时，，，
所以第12天的日销售利润为：元，
第30天的日销售利润为：元，而，故C符合题意；
由第30天的日销售利润为：元，故D不符合题意，
故选：C．
9．【考点】频数分布直方图、总体、个体、样本、样本容量
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，以及频数分布直方图，根据图中信息得出一共抽样调查了人，完成作业时间在50～60分钟内的人数最多以及完成作业的时间不少于60分钟的约有人，样本中学生完成作业时间少于50分钟的有人，据此进行逐项分析，即可作答．
解：依题意，
∵（人），
∴一共抽样调查了人，
故A选项是错误的；
频数分布直方图中完成作业时间在50～60分钟内的人数最多；
故B选项是错误的；
若该校有1480名学生，
则完成作业的时间不少于60分钟的约有（人）；
故C选项是正确的；
样本中学生完成作业时间少于50分钟的有（人），
学生完成作业时间不低于60分钟的有（人）．
故D选项是错误的；
故选：C．
10．【考点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，于是得到结论．
解：在中，，，，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：A．
11．【考点】判断命题真假、多边形对角线的条数问题、全等三角形的性质、无理数
【分析】根据多边形外角和判断①、多边形对角线条数的计算公式判断②、无理数定义判断③，全等三角形的性质，判断④即可得到答案；
解：由题意可得，
多边形外角和是可得，一个凸多边形的内角中最多有三个锐角，故①正确；
根据对角线公式可得十边形的对角线有条，故②错误；
开不尽方是无理数，故③错误；
全等三角形的对应中线相等，故④正确；
故选：AD；
【点评】本题考查多边形外角和、对角线、无理数定义，全等三角形中线，解题的关键是熟练掌握多边形外角和是，多边形对角线公式．
12．【考点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用
【分析】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等．证明，可判断A选项；证明可判断C选项；证明，利用勾股定理解和可判断D选项．
解： ，
，
，
在和中，
，
，
，故选项A正确；
若，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
，故选项C正确；
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
为等腰直角三角形，
，即，
同理可得，在中，，
为等腰直角三角形，
，即，
，
故选项D正确；
和中仅有一组角和一组边相等，不能证明，
故选项B不正确；
综上可知，正确的有，
故选．
13．【考点】多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查凸多边形的外角和与内角和．根据任意凸多边形的外角和都为，内角和都为（其中n为边数），再结合题意列出等式，求出n即可．
解：设这个多边形是n边形，则依题意得：
，
解得，
故这个多边形是十边形．
故答案为：十．
14．【考点】频数分布直方图
【分析】根据极差=最大值﹣最小值即可求解；根据极差÷组距来定分成的组数；查找在范围内数的个数即可．
解：由题意知，极差为，
由于组距为2，不是整数，所以取6组，
在范围内的频数有28，27，27，28，27共5个数，即频数为5．
故答案为：11，6，5．
【点评】本题考查了频数分布直方图及极差的知识，比较简单，关键是读懂题意才能作出正确的判断和解决问题．
15．【考点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，解决此题关键是根据“码”或“厘米”之间的关系式，推出，进而代数计算得解．根据题意，可知用字母y表示码数，x表示厘米数，它们之间的关系有，进而推出；据此把厘米或码分别代入关系式，计算得解．
解：当厘米时，
，
当码时，
故答案为：42，．
16．【考点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确在同一直线上时，取最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由当在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为3．
解：如图，连接，
中，，
，点分别是的中点，
，
当在同一直线上时，取最小值，
的最小值为：．
故答案为：3．
17．【考点】坐标与图形综合、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质和勾股定理，解题关键是求出的长，设未知数，利用勾股定理列出方程．
根据勾股定理求出的长，再设，利用勾股定理列出方程即可求解．
解：∵矩形的顶点B坐标为，
∴，，，
由折叠可知，，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得；
的长为．
故答案为．
18．【考点】利用矩形的性质证明、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理（、和）即可得．
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
当选择①时，
在和中，
，
∴；
当选择②时，不能判定；
当选择③时，
∵，
∴，
∴，即．
在和中，
，
∴；
当选择④时，
在和中，
，
∴；
综上，添加条件后，仍然不能判定的是②，
故答案为：②．
19．【考点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
20．【考点】求旗杆高度(勾股定理的应用)、列代数式
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．
（1）根据题意可得，，将代入即可得解；
（2）结合（1）再根据，，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度．
（1）解：根据题意得：，，
设长为x米，则绳子长为米，的长度为米，
故答案为：；；
（2）解：在中，米，
米，米，
由勾股定理可得，，
解得：．
答：旗杆的高度为米．
21．【考点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）设点坐标为，根据三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标．
（1）设一次函数的解析式为，
把点，分别代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）设点坐标为，
的面积为6，
，
即
解得或，
或．
22．【考点】分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）根据题意，确定等量关系，列分式方程求解，注意检验；
（2）根据题意，确定不等关系，列一元一次不等式组求解，确定变量取值范围；根据题意，分情况讨论，列出相应的解析式，根据一次函数的增减性求解．
解：（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为元，
由题意得：，
解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，，
答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；
（2）设购进A种饰品x件，由题意得：
，解得：，
购进A种饰品件数x的取值范围为：，且x为整数；
设采购A种饰品x件时的总利润为w元，
当时，，
，
随x的增大而减小，
当时，w有最大值是：，
当时，，
，
随x的增大而增大，
当时，w有最大值是：，
，
w有最大值是3630，此时，
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的增减性，注意自变量在不同的取值范围有不同的解析式，分情况讨论是解题的关键．
23． (2)估计年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”有万人次
(3)游客小王领到烫干丝的概率最大
【考点】判断几个事件概率的大小关系、条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量
【分析】本题考查概率公式、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握概率公式以及用样本估计总体是解题的关键．
（1）用喜欢鱼汤面的人数除以其所占的百分比可得样本容量；求出喜爱烫干丝的人数，补全条形统计图即可；
（2）用1000万乘以最喜欢“蟹黄包”的人数的百分比，即可得出答案；
（3）根据四种品类的比例可得出答案．
（1）解：本次调查的样本容量为，
喜爱烫干丝的人数为（人次），
补全条形统计图如图所示，
故答案为：1000；
（2）（万人次），
∴估计年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”有万人次；
（3）∵喜爱烫干丝的人数最多，所占比例为，
∴游客小王领到烫干丝的概率最大．
24．【考点】全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识，
（1）由是的高，得，进而即可根据“”证明；
（2）由全等三角形的性质得，再由，即可得，的长；
熟练掌握其性质并能灵活选择全等三角形的判定定理证明是解决此题的关键．
（1）证明：是的高，
，
在和中，
，
；
（2），
，
，
，
∵，
，
，．
25．【考点】等腰三角形的定义、证明四边形是菱形、利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，求出，，根据等腰三角形的判定得出，，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即可得出答案；
（2）先求出的长，进而即可求出菱形的面积．
（1）解：，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积为．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识，熟练掌握以上考点是解答本题的关键．
26．【考点】线段问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、正比例函数的定义
【分析】（1）①当，，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可；②如图1，过作轴于，证明，则，，即，待定系数法求过点C的正比例函数解析式即可；
（2）由题意知，分点在轴左侧，点在轴右侧，两种情况求解：①当点在轴左侧，如图2，过过作轴于，同理可证，，则，，在直线上运动，如图2，作关于直线的对称点，则，，可知当三点共线时，的值最小，由勾股定理得，，计算求解即可；②当点在轴右侧，如图3，过作轴于，同理可证，求解同（2）中②．
（1）①解：当，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
②解：如图1，过作轴于，

∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
设经过点C的正比例函数解析式为，
将代入得，，解得，
∴；
（2）解：由题意知，分点在轴左侧，点在轴右侧，两种情况求解：
①当点在轴左侧，如图2，过过作轴于，

同理可证，，
∴，，
∴在直线上运动，
如图2，作关于直线的对称点，则，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，
由勾股定理得，，
∴的最小值为；
②当点在轴右侧，如图3，过作轴于，

同理可证，
∴，，
∴在直线上运动，
如图3，作关于直线的对称点，则，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，
由勾股定理得，，
∴的最小值为；
综上所述，的最小值为．
【点评】本题考查了含的直角三角形，正比例函数解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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