18.1平行四边形同步练习（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学下册

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18.1平行四边形
一、知识梳理
1.定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
如图1-1所示, 若AB∥CD, AD∥BC, 则四边形ABCD是平行四边形.
2.性质
如图1-2所示，在平行四边形中，
(1) 边: 对边平行且相等, 即AB∥CD且. 且
(2)角：对角相等，邻角互补，即
(3)对角线：对角线互相平分，即(
(4)对称性：中心对称图形，对称中心是对角线的交点，即点O.
3.重要结论
在平行四边形中，任意一条经过对称中心的直线都把平行四边形分成面积和周长相等的两部分.如图 1-3所示，在 中，
4.判定
如图1-4所示，四边形ABCD满足下列任意条件时，可判定为平行四边形.
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义).
∵AB∥CD, AD∥BC,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD, AD=BC,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB∥CD, AB=CD,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵OA=OC, OB=OD,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵∠BAD=∠BCD, ∠ABC=∠ADC,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
二、分层练习
万丈高楼平地起
1. 如图1-5所示, 平行四边形ABCD的周长为32cm,AB∶BC=3∶5,则AB,BC的长分别为 ( ).
A. 20cm, 12cm
B. 10cm, 6cm
C. 6cm, 10cm
D. 12cm, 20cm
2. 如图1-6所示, ABCD的对角线AC, BD相交于点O, 且AC+BD=16. 若△BCO 的周长为14, 则 AD 的长为 ( ).
A. 12
B. 9
C. 8
D. 6
3. 如图1-7所示, 在 ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, 点E是BC边上的中点. 若OE=3, AD=8, 则 ABCD的周长为( ).
A. 11
B. 14
C. 28
D. 33
4. 如图1-8所示, ABCD的对角线相交于点O,. , 则BC的长可能为 ( ).
A. 8
B. 20
C. 14
D. 22
5. 如图1-9所示, 过 ABCD对角线交点O的线段EF,分别交AD, BC于点E,F,当AE=ED时,△AOE的面积为4,则四边形EFCD的面积是( ).
A. 8
B. 12
C. 16
D. 32
6. 如图 1-10 所示, 在 ABCD中, 对角线 AC, BD 相交于点 O,. AD=5cm, OC=2cm, 则对角线BD的长为( ).
B. 8cm
C. 3cm
7. 如图1-11 所示, 在 ABCD中,若. ,则∠B 的度数为( ).
A. 110°
B. 70°
C. 55°
D. 35°
8. 如图1-12所示, 在 ABCD中, BD为对角线,下列结论正确的是( ).
A. α+β>γ
B. α+β=γ
C. α+β<γ
D. α+β与γ的大小关系无法确定
9. 如图1-13 所示, MN过 ABCD对角线的交点O, 交AD于点M, 交BC于点N. 若 ABCD的周长为20,OM=2,则四边形ABNM的周长为( ).
A. 14
B. 13
C. 12
D. 10
10.如图1-14所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 ( ).
A. OB=OD, OA=OC
B. AD∥BC, AB=CD
C. AB∥CD, AD∥BC
D. AB∥CD, AB=CD
11.如图1-15 所示,四边形ABCD 的对角线AC和BD 相交于点 O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( ).
A. OA=OC, AB∥DC
B. ∠ABC=∠ADC, AD∥BC
C. ∠ABD=∠ADB, ∠BAO=∠DCO
D. AB=DC, AD=BC
如图1-16所示, 在四边形ABCD中, AB∥CD,对角线AC, BD相交于点O.下列条件，添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是 ( ). ①AD∥BC; ②AB=CD; ③AD=BC; ④∠ADC=∠ABC; ⑤BO=DO; ⑥∠DBA=∠CAB.
A. ①②③⑤
B. ①②④⑤
C. ①②④⑥
D. ①③④⑥
13. 如图 1-17 所示, 的顶点O, A, B 的坐标分别是(0, 0), (3, 0),(1，1)，下列点M中，以点O，A，B，M为顶点的四边形不是平行四边形的是 ( ).
D. (4, 1)
14. 如图1-18 所示, 在 中, AE, CF分别是 的角平分线.
求证： 四边形AFCE 是平行四边形.
15. 如图1-19(a)所示, 已知点 E, F在. 的对角线BD上，且.
(1) 求证:
(2)如图1-19(b)所示, 连接AF, CE,求证: 四边形AECF是平行四边形.
16. 如图 1-20 所示, 在 中, 点 E,F 分别是 AD,BC 边上的点,且
(1)求证： 四边形BFDE是平行四边形；
(2) 连接CE, 若CE平分 , 求CE的长.
17. 如图1-21 所示, 平行四边形ABCD 的对角线AC, BD 相交于点 O, AC于点E, 于点F.
(1)求证： 四边形DEBF为平行四边形；
(2) 若 求 的面积.
18. 如图1-22所示, 在四边形ABCD中, 点E是边CD的中点，连接BE 并延长，与AD的延长线相交于点F，且. 连接CF.
(1)求证：四边形 BDFC是平行四边形；
(2) 连接AE, 若 求四边形ABCF的周长.
19. 如图1-23 所示, 在. 中, BE平分. 交AD于点 E, CF平分 交AD于点F. 若 则AB为( ).
A. 3
B. 2.5
C. 3.5
D. 4
1.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD, BC=AD.
∵AB:BC=3:5,
∴可设AB=3xcm, BC=5xcm.
∵平行四边形ABCD的周长为32cm.
∴2(AB+BC)=32,
即2(3x+5x)=32, 解得x=2.
∴AB=6 (cm), BC=10 (cm).
故选 C.
3.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵点E 是BC边上的中点，
∴OE是△ABC的中位线.
∴AB=2OE=6.
∵AD=8,
∴□ABCD的周长=2×(6+8)=28.
故选C.
2.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC+BD=16,
∴BO+CO=8.
∵△BCO的周长为14,
∴AD=BC=6.
故选 D.
4.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵在△BCO中,
BO-OC∴2故选 A.
5.选C.
6. 解: ∵□ABCD的对角线AC, BD相交于点O,
∴BO=OD, AO=OC=2(cm), BC=AD=5 (cm).
∵AB⊥AC,
∴∠BAO=90°.
∴在Rt△ABO中,
故选D.
选B.
选B.
9.解： ∵四边形ABCD是平行四边形，且周长为20，
∴AB=CD, BC=AD, AO=OC, AD∥BC.
∴CD+AD=10, ∠OAM=∠OCN.
在△AMO和△CNO中,
∴△AMO≌△CNO (ASA).
∴ON=OM=2, AM=CN.
∴四边形ABNM的周长=AB+BN+NM+MA
=(BN+MA) +AB+NM
=BC+AB+MN=10+4=14.
故选 A.
10.C
11.D
12. B.
13.解：如图1所示，点O，A，B，M组成平行四边形的情况有三种.
(1)当AB为对角线时，
∵BM∥OA, 点 O, A, B 的坐标分别是(0, 0), (3, 0), (1, 1),
∴点 M的坐标为 (3+1, 1), 即 M (4, 1).
(2)当OB为对角线时，
∵BM'∥OA, 点 O, A, B 的坐标分别是(0, 0), (3, 0), (1, 1),
∴点 M'的坐标为(1-3, 1), 即 M(-2, 1).
(3)当OA为对角线时，
∵点 M"与M'关于原点 O 对称,
∴M"的坐标为 (2, - 1).
综上所述, 点M的坐标为(4, 1) 或(-2, 1) 或(2, - 1).
故选A.
14.证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD,AB∥CD, AD∥BC. ∴AB∥DC, AB=CD.
∴∠DEA=∠BAE, 在△ABE和△CDF中,
∠DCF=∠BFC.
∵AE, CF分别是∠DAB,∠BCD的角平分线，
∴∠DAE=∠BAE, ∴△ABE≌△CDF(SAS).
∠DCF=∠BCF. (2) ∵由 (1) 可知,
∵∠DAB=∠BCD, △ABE≌△CDF,
∴∠BAE=∠BFC. ∴∠AEB=∠DFC, AE=CF.
∴AE∥CF. ∴∠AED=∠BFC.
∵AB∥CD, ∴AE∥CF.
∴AF∥EC. ∴四边形AECF 是平行四边形.
∴四边形AFCE 是平行四边形.
16. (1) 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC, AD=BC, ∠A=∠DCF, AB=CD.
∵∠ABE=∠CDF,
∴△ABE≌△CDF (ASA).
∴AE=CF.
∴DE=BF.
又∵DE∥BF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
(2)解： ∵四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF, BE∥DF, DE=BF.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠DEC=∠ECB.
∵CE平分∠DCB,
∴∠DCE=∠ECB.
∴DC=DE=5.
∵在△DFC中, CF=3, DF=4, DC=5, 则有
∴△DFC是直角三角形.
∴∠DFC=90°.
∴∠EBC=90°.
∵在Rt△EBC中, BC=BF+FC=5+3=8, BE=4,
17. (1) 证明: ∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC, AD∥BC.
∴∠DAE=∠BCF.
∵DE⊥AC于点 E, BF⊥AC于点 F,
∴∠DEA=∠BFC=90°.
在△DEA与△BFC中,
∴△DEA≌△BFC (AAS).
∴DE=BF.
∵DE⊥AC于点E, BF⊥AC于点F,
∴∠DEO=∠BFO=90°.
∴DE∥BF.
∴四边形DEBF 是平行四边形.
(2)解: ∵四边形ABCD 是平行四边形,
∵DE⊥AC,
∴在Rt△ADE中, 在 Rt△DEC中, 即 解得AE=5.
∴OE=OA-AE=10.5-5=5.5, DE=√AD -AE = -5 =12.
∴△DOE 的面积
18.(1)证明:∵∠BAF=∠ABC=90°, (2) 解: ∵AF=16, AD=4,
∴BC∥AD. ∴DF=AF-AD=12.
∴∠CBE=∠DFE. ∵四边形BDFC是平行四边形，
∵点E 是边 CD的中点, ∴BC=DF=12, BE=EF.
∵在△ABF中, ∠BAF=90°,BE=EF,
∴BF=2AE=20.
∴△BEC≌△FED (AAS).
∴BE=FE.
∴四边形BDFC是平行四边形.
∴四边形ABCF 的周长
=AF+CF+BC+AB
19.解：如图2所示，过点E作. 交BC延长线于点G.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC, AD∥BC.
∴∠AEB=∠EBC.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC.
∴∠ABE=∠AEB.
∴AE=AB.
∴同理可证, DC=DF.
∵AB∥DC,
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∵BE平分∠ABC, CF平分∠BCD,
∴BE⊥CF.
∵EG∥FC,
∴BE⊥EG.
又∵EF∥CG,
∴四边形EFCG 是平行四边形.
∴EG=FC=3.
∵在Rt△BEG中, BE=4, EG=3,
∵AB=AE=CD=DF, CG=EF=1, AD=BC,
∴BG=BC+CG=AE+DE+CG=AE+DF-EF+EF=2AB.
∴5=2AB, 即AB=2.5.
故选B.