2024-2025人教版八年级下数学期中质量检测卷（含解析）

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2024-2025人教版八年级下数学期中质量检测卷
（时间120分钟，满分120分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．二次根式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知钓竿的长为5m，露在水面上的鱼线的长为，某钓鱼人想看看鱼钩上的情况，把钓竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长为，则的长为（ ）
A．1m B．2m C．3m D．4m
3．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，则该三角形边上的高为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（ ）
A． B．
C． D．
7．若，则的结果是（ ）
A．0 B． C．0或2 D．2
8．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
10．如图一个大平行四边形被分割成 2 个全等的小平行四边形和三个菱形后仍是中心对称图形，已知哪个图形的周长，就能得到大平行四边形的周长（ ）
A．①或③ B．②或③ C．①或③ D．①或②
第Ⅱ卷
填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11．计算： ．
12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则中间小正方形的面积为 ．
13．如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是 ．
14．甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，则乙船航行的方向为 ．
15．如图，在边长为6的正方形中，为对角线上一点，连接，过点作的垂线交边所在的直线于点，连接，交对角线所在直线于点，若，则线段 ．
解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）计算：
(1)；
(2)．
17．（7分）如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响．
(1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？
(2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？
18．（8分）如图，在中，，为对角线上的两点（点在点的上方），．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，且，，求，两点之间的距离．
19．（8分）如图①，在中，，，边上的高为4．求作菱形，使点在边上，点，在边上．
小明的作法1．如图②，在边上取一点．2．以点为圆心，长为半径画弧，交于点．3．在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．
(1)证明小明所作的四边形是菱形．
(2)若点与点重合，则的长为__________．
(3)小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．
20．（8分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答；
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？
21．（9分）阅读理解
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化．
例2：
请仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）．
(2)若是的小数部分，化简．
(3)利用你发现的规律计算下面式子的值
22．（12分）学科实践
项目主题 为校园空地设计创意花坛
项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛．
实践工具 卷尺、铅笔等．
设计说明 如图，是校园里的一块空地，线段，是将该空地分割成两块区域的花栏，其中区域内种植矮牵牛，另一区域种植三色堇，并沿三角形空地外围安装一圈篱笆．
测量数据 通过测量得到：，，，，．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求所需篱笆的总长（接口处忽略不计）；
(2)若种植三色堇的费用为每平方米60元，求学校按上述设计种植三色堇所需的费用．
23．（13分）综合与实践
在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．连接并延长交于点Q，连接．
(1)数学思考：
如图1，当点M在上时，与的数量关系是_______．
(2)拓展再探：
如图2，当改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），使点M不在上时，判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)迁移应用：
在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，的长为多少？
2024-2025人教版八年级下数学期中质量检测卷（解析版）
（时间120分钟，满分120分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．二次根式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故选：C．
2．如图，已知钓竿的长为5m，露在水面上的鱼线的长为，某钓鱼人想看看鱼钩上的情况，把钓竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长为，则的长为（ ）
A．1m B．2m C．3m D．4m
【答案】A
【分析】利用勾股定理分别求出和的长，再根据即可得出答案．
本题考查了勾股定理，解题关键是根据已知条件求出和的长度．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
3．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得，，，根据角平分线的性质，则，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，可得，根据即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
【详解】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，则该三角形边上的高为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出，根据勾股定理求出，再利用面积即可求出答案．
【详解】解：∵点A到的距离为4，，
∴．
根据勾股定理可知，．
设点C到的距离为h，
则，
解得．
故选：B
6．如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用平行四边形的判定与性质．根据可得，利用平行四边形的判定可知，如，则四边形是平行四边形．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
A．如，
则，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴A选项不符合题意，
B．如添加，无法证明四边形是平行四边形，
∴B选项不符合题意，
C.如，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴C选项不符合题意，
D．如，
则，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∴D选项不符合题意，
故选：B．
7．若，则的结果是（ ）
A．0 B． C．0或2 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简、分式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式的性质可得，再化简即可得．
【详解】解：∵，
∴
，
故选：D．
8．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接，

∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
故选：D．
9．如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．由矩形可得，，，，由折叠得到，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，，，
∴，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
故选：B．
10．如图一个大平行四边形被分割成 2 个全等的小平行四边形和三个菱形后仍是中心对称图形，已知哪个图形的周长，就能得到大平行四边形的周长（ ）
A．①或③ B．②或③ C．①或③ D．①或②
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形、菱形、整式加减的应用，熟练掌握菱形和平行四边形的性质是解题关键．设菱形③的边长为，小平行四边形①的短边的长为，先求出菱形②的边长为，小平行四边形①的长边的长，大平行四边形的短边的长、大平行四边形的长边的长，再分别求出图形①②③和大平行四边形的周长，由此即可得．
【详解】解：设菱形③的边长为，小平行四边形①的短边的长为，
∴菱形②的边长为，
∴小平行四边形①的长边的长为，
大平行四边形的短边的长为，
∴大平行四边形的长边的长为，
∴小平行四边形①的周长为，
菱形②的周长为，
菱形③的周长为，
大平行四边形的周长为，
由此可知，已知①或②的周长，就能得到大平行四边形的周长，
故选：D．
第Ⅱ卷
填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算进行求解．
【详解】解：
；
故答案为．
12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则中间小正方形的面积为 ．
【答案】36
【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，再求出的值，即可得出答案，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵中间小正方形的边长为，
∴中间小正方形的面积为：
，
故答案为：．
13．如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是 ．
【答案】12
【分析】根据题意判定四边形是平行四边形．如图，过点A作于点E，过点A作于点F，利用面积法求得与的数量关系，从而求得该平行四边形的面积．
【详解】解：依题意得：，，则四边形是平行四边形．
如图，过点A作于点E，过点A作于点F，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴四边形的面积；
答案为：9
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法．
14．甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，则乙船航行的方向为 ．
【答案】南偏东
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出是直角三角形是解题关键．
根据题意得出，的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
（海里），（海里），
，
，
故，
是直角三角形，
，
∴，
乙船航行的方向是南偏东．
故答案为：南偏东．
15．如图，在边长为6的正方形中，为对角线上一点，连接，过点作的垂线交边所在的直线于点，连接，交对角线所在直线于点，若，则线段 ．
【答案】或
【分析】根据分两种情况①当点在线段上时，②当点在延长线上时，作辅助线，结合正方形性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，证明三角形全等，结合全等三角形性质建立方程求解，即可解题．
【详解】解：①当点在线段上时，
过点作，
四边形为正方形，
，，
四边形为矩形，
，
，
为正方形对角线，
，
，
，
设，又正方形边长为6，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
同理可证，，
又，
，解得，
，
②当点在延长线上时，
由①同理可得，
又，
，
综上所述，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查正方形性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形，并结合全等三角形性质建立方程．
解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用二次根式的乘法公式进行计算即可得出答案；
（2）应用二次根式的乘法公式进行计算即可得出答案．
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．（7分）如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响．
(1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？
(2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？
【答案】(1)受噪音影响，见解析；
(2)秒
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键
（1）根据点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围100m范围内有噪音影响，即可得出结论；
（2）设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，则，即可解决问题．
【详解】（1）解：货车开过学校受噪音影响，理由如下：
点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响，
，
∴货车开过学校受噪音影响；
（2）如图，设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则，
，
，
由勾股定理得：
，
∵汽车速度为
∴影响时间（秒），
答：学校受噪音影响秒钟．
18．（8分）如图，在中，，为对角线上的两点（点在点的上方），．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，且，，求，两点之间的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、勾股定理等知识．
（1）连接交于点，根据平行四边形的性质可得，，再由，可得，即，由平行四边形的判定即可证得结论；
（2）先根据勾股定理得出，再由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理可得，最后可求出结果．
【详解】（1）证明：连接交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，两点之间的距离为．
19．（8分）如图①，在中，，，边上的高为4．求作菱形，使点在边上，点，在边上．
小明的作法1．如图②，在边上取一点．2．以点为圆心，长为半径画弧，交于点．3．在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．
(1)证明小明所作的四边形是菱形．
(2)若点与点重合，则的长为__________．
(3)小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)①当时，菱形的个数为0；②当时，菱形的个数为1；③当时，菱形菱形的个数为2；④当时，菱形的个数为1；⑤当时，菱形的个数为0．
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，再由作图方法可知，，据此可证明结论；
（2）如图，当重合时，连接，过作于，求解，，设，再利用勾股定理求解即可；
（3）结合（2）的结论，根据能构成菱形则要保证以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有交点，并且要满足且点F在上，据此画图求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，当重合时，连接，过作于，
∵，，边上的高为4．
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴设，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：由（2）得：当重合时，，
①当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与没有交点，如图，
∴此时菱形的个数为0；
②当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点，如图，
∴此时菱形的个数为1；
③当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有2个交点，
∴此时菱形菱形的个数为2；
④当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点，
如图，
∴此时菱形的个数为1；
⑤当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点，但是此时在的右边找不到点F使得，如图，
∴此时菱形的个数为0．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，线段的尺规作图，清晰的分类讨论是解本题的关键．
20．（8分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答；
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？
【答案】(1)见解析
(2)原路长6.5千米
【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解；
（2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴梯形的面积为或，
∴，
∴，
即；
（2）解：设千米，则千米，
在中，，即，
解得，即，
答：原路长6.5千米．
21．（9分）阅读理解
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化．
例2：
请仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）．
(2)若是的小数部分，化简．
(3)利用你发现的规律计算下面式子的值
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，
（1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式和的有理化因式；
（2）先求出，再代入进行分母有理化即可；
（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是，小数部分是，
∴，
∴，
（3）
．
22．（12分）学科实践
项目主题 为校园空地设计创意花坛
项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛．
实践工具 卷尺、铅笔等．
设计说明 如图，是校园里的一块空地，线段，是将该空地分割成两块区域的花栏，其中区域内种植矮牵牛，另一区域种植三色堇，并沿三角形空地外围安装一圈篱笆．
测量数据 通过测量得到：，，，，．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求所需篱笆的总长（接口处忽略不计）；
(2)若种植三色堇的费用为每平方米60元，求学校按上述设计种植三色堇所需的费用．
【答案】(1)；
(2)5760元
【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是：
（1）在中，根据勾股定理求出，然后根据三角形周长公式计算即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后根据求出种植三色堇的面积，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理得
． ；
答：所需篱笆的总长是．
（2）解：在中，，，，
，，
．
是直角三角形，其中．
；
元．
答：种植三色堇区域的费用总共需要5760元．
23．（13分）综合与实践
在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．连接并延长交于点Q，连接．
(1)数学思考：
如图1，当点M在上时，与的数量关系是_______．
(2)拓展再探：
如图2，当改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），使点M不在上时，判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)迁移应用：
在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，的长为多少？
【答案】(1)；
(2)成立，理由见解析；
(3)当的周长最小时，的长为
【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识：
（1）由折叠得，证明，得到，再根据平角定义和三角形内角和定理可得结论；
（2）方法同（1）；
（3）的周长表示为，，当取最小值时，的周长最小，设，则，由勾股定理列方程求解即可
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠得，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：成立，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠得，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：由折叠得，，
∴的周长为，
当取最小值时，的周长最小，
∵点的轨迹是以点为圆心，的长为半径的圆弧；
以点为圆心，的长为半径画圆，当点D，M，B共线时，最小，
设，则，
由折叠得，，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴
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